组合zǔhé

Concept fondamental

Une combinaison est une sélection$m$

d'éléments ($m \leq n$

) parmi éléments$n$

distincts sans tenir compte de l'ordre.

Caractéristiques clés

1. L'ordre n'a pas d'importance : les mêmes éléments dans des ordres différents comptent comme une seule combinaison
2. Pas de répétition : chaque élément est utilisé au maximum une fois
3. Sélection : choisir$m$

parmi$n$

éléments ($m \leq n$

)

Différence avec la permutation

• Permutation : ordonnée,$\{A, B, C\}$

et$\{B, A, C\}$

sont différents

• Combinaison : non ordonnée,$\{A, B, C\}$

et$\{B, A, C\}$

sont identiques

Formule de combinaison

Nombre de combinaisons de$m$

éléments parmi éléments$n$

distincts, noté$C_n^m$

ou$\binom{n}{m}$

ou$C(n,m)$

:

$C_n^m = \frac{A_n^m}{A_m^m} = \frac{n!}{m!(n-m)!}$

Compréhension :

• Organiser d'abord : $A_n^m = \frac{n!}{(n-m)!}$

• Supprimer l'ordre interne : $A_m^m = m!$

• Résultat :$C_n^m = \frac{A_n^m}{m!} = \frac{n!}{m!(n-m)!}$

Propriétés des combinaisons

1.

$C_n^m = C_n^{n-m}$

Symétrie

Signification : Sélectionner$m$

parmi$n$

= Laisser$n-m$

parmi$n$

2. Identité de Pascal

$C_n^m = C_{n-1}^{m-1} + C_{n-1}^m$

Signification : inclure un élément spécifique + exclure un élément spécifique

3. Valeurs spéciales

-$C_n^0 = 1$

(ne sélectionner aucun, un seul) -$C_n^1 = n$

(sélectionner un,$n$

choix) -$C_n^n = 1$

(sélectionner tous, un seul)

4. Somme$C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + \cdots + C_n^n = 2^n$

binomiale

(Nombre total de façons de sélectionner un nombre quelconque d'éléments parmi$n$

)

Techniques de calcul

Technique 1 : Utiliser la

$C_{100}^{98} = C_{100}^{2} = \frac{100 \times 99}{2} = 4950$

symétrie### Technique 2 : Identité de

$C_5^3 = C_4^2 + C_4^3 = 6 + 4 = 10$

Pascal### Technique 3 : Simplifier par annulation

$C_8^3 = \frac{8!}{3! \cdot 5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$

Problèmes d'entraînement CSCA

[Exemple 1] Basique (Difficulté ★★☆☆☆)

Calculez$C_7^3$

.

Solution :

$C_7^3 = \frac{7!}{3! \cdot 4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

Réponse :

---$35$

[Exemple 2] Intermédiaire (Difficulté ★★★☆☆)

Parmi 10 garçons et 8 filles, sélectionnez 5 personnes pour former une équipe comprenant au moins 2 filles. Combien de façons y a-t-il ?

Solution :

Analyse des cas :

Cas 1 : 2 filles, 3 garçons :

$C_8^2 \cdot C_{10}^3 = 28 \times 120 = 3360$

Cas 2 : 3 filles, 2 garçons : $C_8^3 \cdot C_{10}^2 = 56 \times 45 = 2520$

Cas 3 : 4 filles, 1 garçon : $C_8^4 \cdot C_{10}^1 = 70 \times 10 = 700$

Cas 4 : 5 filles, 0 garçon : $C_8^5 = 56$

Réponse : $3360 + 2520 + 700 + 56 = 6636$

Idées reçues courantes

❌ Idée fausse n° 1 : confondre combinaison et permutation

Faux : utiliser$C_n^5$

pour disposer 5 personnes en ligne.

Correct : une ligne a un ordre, il faut utiliser$A_n^5$

❌ Idée fausse n° 2 : oublier l'analyse des cas

Faux : calculer directement « au moins 2 filles ».

Correct : diviser en cas : 2 filles, 3 filles, 4 filles, 5 filles.

Relation avec la permutation

$A_n^m = C_n^m \times m!$

$C_n^m = \frac{A_n^m}{m!}$

Conseils d'étude

1. ✅ Comprendre l'essence : la combinaison ignore l'ordre.

2. ✅ Maîtriser la formule :$C_n^m = \frac{n!}{m!(n-m)!}$

3. ✅ Se souvenir des propriétés : symétrie, identité de Pascal.

4. ✅ Analyse de cas : « au moins », « au plus » nécessitent des cas

5. ✅ Distinguer de la permutation : vérifier si l'ordre a de l'importance

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💡 Conseil pour l'examen : la combinaison est la clé de la combinatoire, obligatoire en CSCA ! Elle représente environ 60 % des problèmes de comptage. L'analyse de cas et l'inclusion-exclusion sont des techniques essentielles.