指数函数zhǐshù hánshù

Concept fondamental

Une fonction exponentielle est une fonction de la forme :

$f(x) = a^x \quad (a > 0, a \neq 1)$

ou :

• $a$ est la base (doit etre positive et differente de 1)
• $x$ est l'exposant (variable)

Distinction importante avec la fonction puissance : dans les fonctions exponentielles, la variable est dans l'exposant ; dans les fonctions puissances $x^n$, la variable est dans la base.

Ensemble de definition et ensemble image

• Ensemble de definition : $\mathbb{R}$ (tous les nombres reels)
• Ensemble image : $(0, +\infty)$ (tous les nombres reels positifs)

Remarque : $a^x > 0$ pour tout reel $x$ lorsque $a > 0$.

Proprietes fondamentales

1. Passe par (0, 1)

$f(0) = a^0 = 1 \quad \text{pour tout } a > 0$

Toute fonction exponentielle passe par le point $(0, 1)$.

2. Toujours positive

$a^x > 0 \quad \text{pour tout } x \in \mathbb{R}$

3. Monotonie

• Si $a > 1$ : $f(x) = a^x$ est strictement croissante
• Si $0 < a < 1$ : $f(x) = a^x$ est strictement decroissante

4. Regles des exposants

$a^{x+y} = a^x \cdot a^y$ $a^{x-y} = \dfrac{a^x}{a^y}$ $(a^x)^y = a^{xy}$ $(ab)^x = a^x \cdot b^x$

Caracteristiques graphiques

Lorsque $a > 1$ (ex. $y = 2^x$)

• Croissante de gauche a droite
• Tend vers 0 lorsque $x \to -\infty$
• Croit sans limite lorsque $x \to +\infty$
• Asymptote horizontale : $y = 0$

Lorsque $0 < a < 1$ (ex. $y = (1/2)^x$)

• Decroissante de gauche a droite
• Croit sans limite lorsque $x \to -\infty$
• Tend vers 0 lorsque $x \to +\infty$
• Asymptote horizontale : $y = 0$

Comparaison de valeurs

Pour $a > 1$ :

• $a^{x_1} > a^{x_2} \Leftrightarrow x_1 > x_2$

Pour $0 < a < 1$ :

• $a^{x_1} > a^{x_2} \Leftrightarrow x_1 < x_2$

Aide-memoire : "Base > 1 : plus grand exposant, plus grande valeur ; Base < 1 : plus grand exposant, plus petite valeur"

Exercices pratiques CSCA

💡 Remarque : Les exercices suivants sont concus selon le programme de l'examen CSCA.

Exemple 1 : Niveau elementaire (Difficulte ★★☆☆☆)

Comparez les valeurs : $2^{0.5}$, $2^{0.3}$, $2^{-0.1}$.

Solution : Puisque la base $2 > 1$, $y = 2^x$ est croissante.

Comme $0.5 > 0.3 > -0.1$ : $2^{0.5} > 2^{0.3} > 2^{-0.1}$

Reponse : $2^{0.5} > 2^{0.3} > 2^{-0.1}$

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Exemple 2 : Niveau intermediaire (Difficulte ★★★☆☆)

Comparez : $0.5^{-0.1}$, $0.5^{0.1}$, $1.5^{0.1}$.

Solution :

Pour $0.5^{-0.1}$ et $0.5^{0.1}$ : Puisque $0 < 0.5 < 1$, $y = 0.5^x$ est decroissante. Donc $0.5^{-0.1} > 0.5^{0.1}$.

Pour $0.5^{0.1}$ : $(1/2)^{0.1} = \dfrac{1}{2^{0.1}} < 1$.

Pour $1.5^{0.1}$ : Puisque $1.5 > 1$ et $0.1 > 0$, on a $1.5^{0.1} > 1^{0.1} = 1$.

Pour $0.5^{-0.1}$ : Cela vaut $2^{0.1} > 1$.

Comparaison de $2^{0.1}$ et $1.5^{0.1}$ : Puisque $2 > 1.5$ et l'exposant est positif : $2^{0.1} > 1.5^{0.1}$

Reponse : $0.5^{-0.1} > 1.5^{0.1} > 0.5^{0.1}$

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Exemple 3 : Niveau avance (Difficulte ★★★★☆)

Trouvez l'ensemble image de $f(x) = 4^x - 2^{x+1} + 2$, $x \in [-1, 2]$.

Solution :

Posons $t = 2^x$. Puisque $x \in [-1, 2]$ : $t \in [2^{-1}, 2^2] = [\dfrac{1}{2}, 4]$

Or $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2 = t^2$ et $2^{x+1} = 2 \cdot 2^x = 2t$.

Donc : $f = t^2 - 2t + 2 = (t-1)^2 + 1$

Pour $t \in [\dfrac{1}{2}, 4]$ :

• Minimum en $t = 1$ : $f = 0 + 1 = 1$
• Verification aux extremites :
  • En $t = \dfrac{1}{2}$ : $f = \dfrac{1}{4} - 1 + 2 = \dfrac{5}{4}$
  • En $t = 4$ : $f = 16 - 8 + 2 = 10$

Ensemble image : $[1, 10]$

Fonctions exponentielles speciales

Fonction exponentielle naturelle

$f(x) = e^x \quad \text{ou } e \approx 2.71828$

C'est la fonction exponentielle la plus importante en analyse, car $(e^x)' = e^x$.

Erreurs courantes

❌ Erreur 1 : Confusion avec les fonctions puissances

Faux : $x^2$ est une fonction exponentielle ✗

Correct : $2^x$ est exponentielle (variable dans l'exposant), $x^2$ est une fonction puissance ✓

❌ Erreur 2 : Mauvais sens de l'inegalite

Faux : Puisque $0.5 < 1$, on a $0.5^2 < 0.5^3$ ✗

Correct : Pour $0 < a < 1$, un plus grand exposant donne une plus petite valeur : $0.5^2 = 0.25 > 0.125 = 0.5^3$ ✓

❌ Erreur 3 : Oublier que $a^x > 0$

Faux : L'equation $2^x = -1$ a une solution ✗

Correct : Pour tout $x$, $2^x > 0$, donc l'equation n'a pas de solution. ✓

Conseils d'etude

1. ✅ Maitriser les deux cas : $a > 1$ (croissante) vs. $0 < a < 1$ (decroissante)
2. ✅ Utiliser la substitution : Poser $t = a^x$ pour convertir en equation algebrique
3. ✅ Retenir l'asymptote : $y = 0$ est toujours l'asymptote horizontale
4. ✅ Verifier la position de la variable : Dans l'exposant = fonction exponentielle

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💡 Conseil pour l'examen : Pour resoudre les equations exponentielles, utilisez la substitution $t = a^x$ pour les convertir en equations algebriques. N'oubliez pas : $t > 0$ !