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Calculus - Practice Questions (28)

Question 1: 已知函数 $f ( x )$ 的导函数为 $f ^ { \prime } ( x )$ ,且 $f ( x ) = \sin 2 x$ ,则 $f ^ { \prime } \left( \frac ...

已知函数 $f ( x )$ 的导函数为 $f ^ { \prime } ( x )$ ,且 $f ( x ) = \sin 2 x$ ,则 $f ^ { \prime } \left( \frac { \pi } { 3 } \right) =$

  • A. A. $- \frac { 1 } { 2 }$
  • B. B. $\frac { 1 } { 2 }$
  • C. C. - 1
  • D. D. 1

Answer: C

Solution: 【知识点】简单复合函数的导数,求某点处的导数值 【分析】利用复合函数求导公式求出导数,进而求出导数值. 【详解】函数 $f ( x ) = \sin 2 x$ ,求导得 $f ^ { \prime } ( x ) = 2 \cos 2 x$ , 所以 $f ^ { \prime } \left( \frac { \pi } { 3 } \right) = 2 \cos \frac { 2 \pi } { 3 } = - 1$ .

Question 2: 函数 $y = x ^ { 5 }$ 在 ${ } ^ { x = 2 }$ 处的导数是

函数 $y = x ^ { 5 }$ 在 ${ } ^ { x = 2 }$ 处的导数是

  • A. A. 160
  • B. B. 80
  • C. C. 32
  • D. D. 16

Answer: B

Solution: 【知识点】基本初等函数的导数公式,求某点处的导数值 【分析】利用导数的运算法则求解即可. 【详解】由 $y = x ^ { 5 }$ ,得 $y ^ { \prime } = 5 x ^ { 4 }$ ,当 $x = 2$ 时,$y ^ { \prime } = 5 \times 2 ^ { 4 } = 80$ .

Question 3: 已知函数 $f ( x ) = x ^ { 3 } - x$ ,则 $f ^ { \prime } ( 1 ) =$

已知函数 $f ( x ) = x ^ { 3 } - x$ ,则 $f ^ { \prime } ( 1 ) =$

  • A. A. - 1
  • B. B. 0
  • C. C. 1
  • D. D. 2

Answer: D

Solution: 【知识点】导数的运算法则,求某点处的导数值 【分析】求出函数的导数,进而求出导数值. 【详解】函数 $f ( x ) = x ^ { 3 } - x$ ,求导得 $f ^ { \prime } ( x ) = 3 x ^ { 2 } - 1$ ,所以 $f ^ { \prime } ( 1 ) = 2$ .

Question 4: 已知函数 $f ( x ) = x ^ { 3 } + \ln x - 2$ ,则 $f ^ { \prime } ( 1 )$ 的值为

已知函数 $f ( x ) = x ^ { 3 } + \ln x - 2$ ,则 $f ^ { \prime } ( 1 )$ 的值为

  • A. A. 2
  • B. B. 4
  • C. C. - 1
  • D. D. 0

Answer: B

Solution: 【知识点】求某点处的导数值,基本初等函数的导数公式,导数的运算法则 【分析】求导,代入运算得解. 【详解】由 $f ^ { \prime } ( x ) = 3 x ^ { 2 } + \frac { 1 } { x }$ ,则 $f ^ { \prime } ( 1 ) = 4$ .

Question 5: 设 $f ( x ) = \mathrm { e } ^ { x }$ ,则 $f ^ { \prime } ( 1 ) =$

设 $f ( x ) = \mathrm { e } ^ { x }$ ,则 $f ^ { \prime } ( 1 ) =$

  • A. A. 0
  • B. B. e
  • C. C. 1
  • D. D. － e

Answer: B

Solution: 【知识点】基本初等函数的导数公式,求某点处的导数值 【分析】根据基本初等函数的导数公式,即可求得答案. 【详解】由 $f ( x ) = \mathrm { e } ^ { x }$ ,得 $f ^ { \prime } ( x ) = \mathrm { e } ^ { x }$ ,故 $f ^ { \prime } ( 1 ) = \mathrm { e }$ ,

Question 6: 曲线 $y = \frac { \cos x } { x }$ 在点 $M \left( \frac { \pi } { 2 } , 0 \right)$ 处的切线方程是

曲线 $y = \frac { \cos x } { x }$ 在点 $M \left( \frac { \pi } { 2 } , 0 \right)$ 处的切线方程是

  • A. A. $x + \pi y + \pi = 0$
  • B. B. $x + \pi y - \pi = 0$
  • C. C. $2 x + \pi y - \pi = 0$
  • D. D. $x + \pi ^ { 2 } y - \pi = 0$

Answer: C

Solution: 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）,基本初等函数的导数公式,导数的运算法则 【分析】求导,即可根据点斜式求解直线方程. 【详解】由函数的解析式可得 $y ^ { \prime } = \frac { ( - \sin x ) \cdot x - \cos x } { x ^ { 2 } }$ , 所求切线的斜率为 $k = \left. y ^ { \prime } \right| _ { x = \frac { \pi } { 2 } } = \frac { \left( - \sin \frac { \pi } { 2 } \right) \cdot \frac { \pi } { 2 } - \cos \frac { \pi } { 2 } } { \frac { \pi ^ { 2 } } { 4 } } = - \frac { 2 } { \pi }$ .由于切点坐标为 $\left( \frac { \pi } { 2 } , 0 \right)$ , 故切线方程为 $y = - \frac { 2 } { \pi } \left( x - \frac { \pi } { 2 } \right)$ ,即为 $2 x + \pi y - \pi = 0$ .

Question 7: 已知函数 $f ( x ) = \mathrm { e } ^ { x } \ln ( x + 1 )$ ,则 $f ^ { \prime } ( 0 ) =$

已知函数 $f ( x ) = \mathrm { e } ^ { x } \ln ( x + 1 )$ ,则 $f ^ { \prime } ( 0 ) =$

  • A. A. 0
  • B. B. 1
  • C. C. 2
  • D. D. e

Answer: B

Solution: 【知识点】求某点处的导数值,基本初等函数的导数公式,导数的运算法则 【分析】求导,即可代入求解. 【详解】$f ^ { \prime } ( x ) = \mathrm { e } ^ { x } \ln ( x + 1 ) + \frac { \mathrm { e } ^ { x } } { x + 1 }$ ,则 $f ^ { \prime } ( 0 ) = 0 + 1 = 1$

Question 8: 曲线 $y = x + \frac { 2 } { x }$ 在 $x = 1$ 处的切线斜率为

曲线 $y = x + \frac { 2 } { x }$ 在 $x = 1$ 处的切线斜率为

  • A. A. 1
  • B. B. - 1
  • C. C. 3
  • D. D. - 3

Answer: B

Solution: 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】对给定的函数求导,再将 $x = 1$ 代入导函数中,得到的结果就是曲线在 $x = 1$ 处的切线斜率. 【详解】因为 $y ^ { \prime } = 1 - \frac { 2 } { x ^ { 2 } }$ ,所以曲线 $y = x + \frac { 2 } { x }$ 在 $x = 1$ 处的切线斜率为 $1 - \frac { 2 } { 1 ^ { 2 } } = - 1$ .

Question 9: 已知函数 $f ( x ) = ( 3 x + 1 ) ^ { 2 }$ ,则 $f ^ { \prime } ( 3 ) =$

已知函数 $f ( x ) = ( 3 x + 1 ) ^ { 2 }$ ,则 $f ^ { \prime } ( 3 ) =$

  • A. A. 10
  • B. B. 20
  • C. C. 60
  • D. D. 42

Answer: C

Solution: 【知识点】简单复合函数的导数,求某点处的导数值 【分析】求得导函数 $f ^ { \prime } ( x )$ ,令 $x = 3$ ,可求得 $f ^ { \prime } ( 3 )$ . 【详解】$f ^ { \prime } ( x ) = \left[ ( 3 x + 1 ) ^ { 2 } \right] ^ { \prime } = 2 ( 3 x + 1 ) \cdot 3 = 6 ( 3 x + 1 )$ ,则 $f ^ { \prime } ( 3 ) = 6 \times 10 = 60$ .

Question 10: 已知函数 $f ( x ) = \frac { x - 1 } { x + 1 } , f ^ { \prime } ( m ) = 2$ ,则 $m =$

已知函数 $f ( x ) = \frac { x - 1 } { x + 1 } , f ^ { \prime } ( m ) = 2$ ,则 $m =$

  • A. A. - 2
  • B. B. - 1
  • C. C. 0
  • D. D. 0 或－2

Answer: D

Solution: 【知识点】导数的乘除法,已知某点处的导数值求参数或自变量 【分析】求出函数的导数,再列式求解. 【详解】函数 $f ( x ) = \frac { x - 1 } { x + 1 } = 1 - \frac { 2 } { x + 1 }$ ,求导得 $f ^ { \prime } ( x ) = \frac { 2 } { ( x + 1 ) ^ { 2 } }$ , 则 $f ^ { \prime } ( m ) = \frac { 2 } { ( m + 1 ) ^ { 2 } } = 2$ ,解得 $m = 0$ 或 $m = - 2$ .

Question 11: 已知函数 $f ( x ) = 2 x$ ,则 $f ^ { \prime } ( - 2 ) =$

已知函数 $f ( x ) = 2 x$ ,则 $f ^ { \prime } ( - 2 ) =$

  • A. A. 4
  • B. B. - 4
  • C. C. - 2
  • D. D. 2

Answer: D

Solution: 【知识点】基本初等函数的导数公式,求某点处的导数值 【分析】对函数求导,即可得解. 【详解】由题意可得 $f ^ { \prime } ( x ) = 2$ ,所以 $f ^ { \prime } ( - 2 ) = 2$ .

Question 12: 函数 $y = x - \cos ( 2 x - 1 )$的导数为

函数 $y = x - \cos ( 2 x - 1 )$的导数为

  • A. A. $y ^ { \prime } = 1 - \sin ( 2 x - 1 )$
  • B. B. $y ^ { \prime } = 1 + \sin ( 2 x - 1 )$
  • C. C. $y ^ { \prime } = 1 - 2 \sin ( 2 x - 1 )$
  • D. D. $y ^ { \prime } = 1 + 2 \sin ( 2 x - 1 )$

Answer: D

Solution: 【知识点】导数的运算法则,简单复合函数的导数 【分析】根据给定条件,利用导数运算法则及复合函数求导法则求解. 【详解】依题意,$y ^ { \prime } = 1 + \sin ( 2 x - 1 ) \cdot ( 2 x - 1 ) ^ { \prime } = 1 + 2 \sin ( 2 x - 1 )$ .

Question 13: 已知函数 $f ( x ) = e \ln x , f ^ { \prime } ( x )$ 为 $f ( x )$ 的导函数,则 $f ^ { \prime } ( 1 )$ 的值为（ ）

已知函数 $f ( x ) = e \ln x , f ^ { \prime } ( x )$ 为 $f ( x )$ 的导函数,则 $f ^ { \prime } ( 1 )$ 的值为（ ）

  • A. A. 0
  • B. B. 1
  • C. C. ${ } _ { e }$
  • D. D. $\frac { 1 } { \mathrm { e } }$

Answer: C

Solution: 【知识点】基本初等函数的导数公式 【分析】根据求导公式求出函数 $f ( x ) = e \ln x$ 的导函数 $f ^ { \prime } ( x )$ ,再将 $x = 1$ 代入导函数 $f ^ { \prime } ( x )$ 中,从而求得 $f ^ { \prime } ( 1 )$ 的值. 【详解】对 $f ( x )$ 求导可得：$f ( x ) = e \ln x \Rightarrow f ^ { \prime } ( x ) = \mathrm { e } \frac { 1 } { x } = \frac { \mathrm { e } } { x }$ , 将 ${ } _ { x = 1 }$ 代入导函数 $f ^ { \prime } ( x )$ 中,可得：$f ^ { \prime } ( 1 ) = \frac { \mathrm { e } } { 1 } = \mathrm { e }$ . 综上,$f ^ { \prime } ( 1 ) = \mathrm { e }$ .

Question 14: 函数 $f ( x ) = x - \sin x$ 在 $( 0 , + \infty )$ 上

函数 $f ( x ) = x - \sin x$ 在 $( 0 , + \infty )$ 上

  • A. A. 既无极大值也无极小值
  • B. B. 有极小值无极大值
  • C. C. 既有极大值又有极小值
  • D. D. 有极大值无极小值

Answer: A

Solution: 【知识点】函数极值的辨析 【分析】由 $f ^ { \prime } ( x ) = 1 - \cos x \geq 0$ 可判断函数 $f ( x )$ 的单调性即可得出结论. 【详解】由题意 $f ^ { \prime } ( x ) = 1 - \cos x \geq 0$ 恒成立,所以 $f ^ { ( x ) }$ 在 $( 0 , + \infty )$ 上单调递增,$f ( x )$ 既无极 大值也无极小值.

Question 15: 已知函数 $f ( x ) = x ^ { 3 } + 3 x f ^ { \prime } ( 2 )$ ,则 $f ^ { \prime } ( 2 ) =$

已知函数 $f ( x ) = x ^ { 3 } + 3 x f ^ { \prime } ( 2 )$ ,则 $f ^ { \prime } ( 2 ) =$

  • A. A. - 15
  • B. B. - 6
  • C. C. 3
  • D. D. 15

Answer: B

Solution: 【知识点】导数的运算法则,求某点处的导数值 【分析】对等式两边求导,再赋值计算即得. 【详解】函数 $f ( x ) = x ^ { 3 } + 3 x f ^ { \prime } ( 2 )$ ,求导得 $f ^ { \prime } ( x ) = 3 x ^ { 2 } + 3 f ^ { \prime } ( 2 )$ ,则 $f ^ { \prime } ( 2 ) = 12 + 3 f ^ { \prime } ( 2 )$ , 所以 $f ^ { \prime } ( 2 ) = - 6$ .

Question 16: 已知曲线 $y = a x + \ln x$ 在点 $( 1 , f ( 1 ) )$ 处的切线方程为 $y = 2 x + b$ ,则 $b$ 值为 $\_\_\_\_$

已知曲线 $y = a x + \ln x$ 在点 $( 1 , f ( 1 ) )$ 处的切线方程为 $y = 2 x + b$ ,则 $b$ 值为 $\_\_\_\_$

  • A. A. 0
  • B. B. - 1
  • C. C. 1
  • D. D. 2

Answer: B

Solution: 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）,已知切线（斜率）求参数 【分析】求导,根据导数的几何意义列方程,解方程即可. 【详解】由已知 $y = f ( x ) = a x + \ln x$ , 则 $f ^ { \prime } ( x ) = a + \frac { 1 } { x }$ , 且 $f ^ { \prime } ( 1 ) = a + 1 , f ( 1 ) = a$ , 由曲线 $y = a x + \ln x$ 在点 $( 1 , f ( 1 ) )$ 处的切线方程为 $y = 2 x + b$ , 则 $\left\{ \begin{array} { l } a + 1 = 2 \\ a = 2 + b \text { ,} \end{array} \right.$ 解得 $\left\{ \begin{array} { l } a = 1 \\ b = - 1 \end{array} \right.$ ,

Question 17: 函数 $f ( x ) = x ^ { 2 }$ 在点 ${ } ^ { ( 1,1 ) }$ 处的切线方程为

函数 $f ( x ) = x ^ { 2 }$ 在点 ${ } ^ { ( 1,1 ) }$ 处的切线方程为

  • A. A. $y = 2 x - 1$
  • B. B. $y = x + 1$
  • C. C. $y = 2 x + 1$
  • D. D. $y = x - 1$

Answer: A

Solution: 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】求导,得到切线斜率,从而得到切线方程. 【详解】$f ^ { \prime } ( x ) = 2 x$ ,故切线斜率 $k = 2$ ,方程为 $y - 1 = 2 ( x - 1 )$ ,即 $y = 2 x - 1$ .

Question 18: 下列式子错误的是 A $\cdot \left( \mathrm { e } ^ { 2 x } \right) ^ { \prime } = \mathrm { e } ^ { 2 x }$ B. ...

下列式子错误的是 A $\cdot \left( \mathrm { e } ^ { 2 x } \right) ^ { \prime } = \mathrm { e } ^ { 2 x }$ B. $( 2 \ln x ) ^ { \prime } = \frac { 2 } { x }$ C. $\left( \frac { 1 } { x } \right) ^ { \prime } = - \frac { 1 } { x ^ { 2 } }$ D $\cdot ( \cos x ) ^ { \prime } = - \sin x$ 19.已知函数 $f ( x ) = \sin x \cos x$ ,则 $f ^ { \prime } \left( \frac { \pi } { 6 } \right) =$

  • A. A. $- \frac { \sqrt { 3 } } { 2 }$
  • B. B. $- \frac { 1 } { 2 }$
  • C. C. $\frac { 1 } { 2 }$
  • D. D. $\frac { \sqrt { 3 } } { 2 }$

Answer: A

Solution: 【知识点】基本初等函数的导数公式,简单复合函数的导数 【分析】根据基本导数法则求出各选项的正确导数值,逐一验证各选项的正确性. 【详解】选项 A： $\left( \mathrm { e } ^ { 2 x } \right) ^ { \prime } = 2 \mathrm { e } ^ { 2 x }$ ,故 A 错； 选项 B： $( 2 \ln x ) = 2 \ln x = \frac { 2 } { x }$ ,故 B 对； 选项 C ： $\left( \frac { 1 } { x } \right) ^ { \prime } = \left( x ^ { - 1 } \right) ^ { \prime } = - x ^ { - 2 } = - \frac { 1 } { x ^ { 2 } }$ ,故 C 对； 选项 D： $( \cos x ) ^ { \prime } = - \sin x$ ,故 D 对.

Question 19: 设函数 $f ( x ) = a x + \ln x$ ,若 $f ^ { \prime } ( 1 ) = 2$ ,则 $a =$

设函数 $f ( x ) = a x + \ln x$ ,若 $f ^ { \prime } ( 1 ) = 2$ ,则 $a =$

  • A. A. 0
  • B. B. 1
  • C. C. 2
  • D. D. 3

Answer: B

Solution: 【知识点】导数的运算法则,已知某点处的导数值求参数或自变量 【分析】求导,得到 $f ^ { \prime } ( 1 ) = a + 1 = 2$ ,求出答案. 【详解】$f ^ { \prime } ( x ) = a + \frac { 1 } { x } , f ^ { \prime } ( 1 ) = a + 1 = 2$ ,解得 $a = 1$ .

Question 20: 已知函数 $f ( x ) = f ^ { \prime } ( 1 ) \mathrm { e } ^ { x } - \mathrm { e } x$ ,则 $f ^ { \prime } ( 1...

已知函数 $f ( x ) = f ^ { \prime } ( 1 ) \mathrm { e } ^ { x } - \mathrm { e } x$ ,则 $f ^ { \prime } ( 1 )$ 的值为

  • A. A. $\frac { \mathrm { e } } { \mathrm { e } - 1 }$
  • B. B. $\frac { \mathrm { e } } { 1 - \mathrm { e } }$
  • C. C. 1
  • D. D. - 1

Answer: A

Solution: 【知识点】求某点处的导数值 【分析】求导,代入 $x = 1$ 计算. 【详解】$f ^ { \prime } ( x ) = f ^ { \prime } ( 1 ) \mathrm { e } ^ { x } - \mathrm { e }$ ,则 $f ^ { \prime } ( 1 ) = f ^ { \prime } ( 1 ) \mathrm { e } - \mathrm { e }$ ,所以 $f ^ { \prime } ( 1 ) = \frac { \mathrm { e } } { \mathrm { e } - 1 }$ .

Question 21: 已知 $f ( x ) = 2 f ^ { \prime } ( 0 ) \sin x - 3 x$ ,则 $f ^ { \prime } ( 0 ) =$

已知 $f ( x ) = 2 f ^ { \prime } ( 0 ) \sin x - 3 x$ ,则 $f ^ { \prime } ( 0 ) =$

  • A. A. 3
  • B. B. 1
  • C. C. - 3
  • D. D. . - 1

Answer: A

Solution: 【知识点】基本初等函数的导数公式 【分析】对函数求导,令 $x = 0$ 即可求出 $f ^ { \prime } ( 0 )$ 的值. 【详解】因为 $f ( x ) = 2 f ^ { \prime } ( 0 ) \sin x - 3 x$ , 对函数求导 $f ^ { \prime } ( x ) = 2 f ^ { \prime } ( 0 ) \cos x - 3$ , 令 $x = 0$ ,则 $f ^ { \prime } ( 0 ) = 2 f ^ { \prime } ( 0 ) - 3$ ,解得 $f ^ { \prime } ( 0 ) = 3$ .

Question 22: 下列曲线中,存在与 $x$ 轴平行的切线的是

下列曲线中,存在与 $x$ 轴平行的切线的是

  • A. A. $y = \cos x + 1$
  • B. B. $y = \sqrt { x }$
  • C. C. $y = \mathrm { e } ^ { x }$
  • D. D. $y = - x ^ { 3 }$

Answer: A

Solution: 【知识点】导数的运算法则,求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】原题条件等价于导函数有零点,且对应的切点不在 $x$ 轴上,逐一求导验算即可得解. 【详解】原题条件等价于导函数有零点,且对应的切点不在 $x$ 轴上,对于 $\mathrm { A } , y ^ { \prime } = - \sin x$ 显然有零点,比如 ${ } ^ { x } = 0$ 即满足条件,此时对应的切点为 $( 0,2 )$ 不在 ${ } ^ { x }$ 轴上,故 A 正确； 对于 B,$y ^ { \prime } = \frac { 1 } { 2 \sqrt { x } } > 0$ 无零点,故 B 错误； 对于 C,$y ^ { \prime } = \mathrm { e } ^ { x } > 0$ 无零点,故 C 错误； 对于 D,$y ^ { \prime } = - x ^ { 2 }$ 有唯一的零点 $x = 0$ ,此时对应的切点为 $( 0,0 )$ 在 $x$ 轴上,故 D 错误.

Question 23: 已知函数 $f ( x ) = x ^ { \alpha }$（ $\alpha$ 为常数）,若 $f ^ { \prime } ( 1 ) = 3$ ,则 $\alpha$ 的值为

已知函数 $f ( x ) = x ^ { \alpha }$（ $\alpha$ 为常数）,若 $f ^ { \prime } ( 1 ) = 3$ ,则 $\alpha$ 的值为

  • A. A. 1
  • B. B. 2
  • C. C. 3
  • D. D. 4

Answer: C

Solution: 【知识点】基本初等函数的导数公式 【分析】先求得 $f ^ { \prime } ( x ) = \alpha x ^ { \alpha - 1 }$ ,再由 $f ^ { \prime } ( 1 ) = 3$ 列式求解即得. 【详解】因为 $f ( x ) = x ^ { \alpha } , f ^ { \prime } ( x ) = \alpha x ^ { \alpha - 1 }$ , 则 $f ^ { \prime } ( 1 ) = \alpha \cdot 1 ^ { \alpha - 1 } = 3$ ,解得 $\alpha = 3$ .

Question 24: 设函数 $f ( x ) = 2 \cos x$ ,则 $f ^ { \prime } ( 2 )$ 的值为

设函数 $f ( x ) = 2 \cos x$ ,则 $f ^ { \prime } ( 2 )$ 的值为

  • A. A. $2 \cos 2$
  • B. B. $- 2 \cos 2$
  • C. C. $2 \sin 2$
  • D. D. $- 2 \sin 2$

Answer: D

Solution: 【知识点】导数的运算法则 【分析】根据基本初等函数的导数公求解即可式. 【详解】由 $f ( x ) = 2 \cos x$ , 则 $f ^ { \prime } ( x ) = - 2 \sin x$ , 所以 $f ^ { \prime } ( 2 ) = - 2 \sin 2$ .

Question 25: 若 $f ( x ) = x ^ { 2 }$ ,则 $f ^ { \prime } ( - 1 ) =$ $\_\_\_\_$

若 $f ( x ) = x ^ { 2 }$ ,则 $f ^ { \prime } ( - 1 ) =$ $\_\_\_\_$

  • A. A. - 2
  • B. B. - 1
  • C. C. 1
  • D. D. 2

Answer: A

Solution: 【知识点】基本初等函数的导数公式 【分析】先对函数求导,再代值计算即可. 【详解】由 $f ( x ) = x ^ { 2 }$ ,得 $f ^ { \prime } ( x ) = 2 x$ ,则 $f ^ { \prime } ( - 1 ) = - 2$ .

Question 26: 下列求导正确的是

下列求导正确的是

  • A. A. $( \cos x ) ^ { \prime } = \sin x$
  • B. B. $\left( \mathrm { e } ^ { 2 x } \right) ^ { \prime } = \mathrm { e } ^ { 2 x }$
  • C. C. $\left( x ^ { 2 } - 2 \right) ^ { \prime } = 2 x - 2$
  • D. D. $( \ln 2 ) ^ { \prime } = 0$

Answer: D

Solution: 【知识点】基本初等函数的导数公式,导数的运算法则,简单复合函数的导数 【分析】对于 AD：根据基本初等函数导函数分析判断；对于 B：根据复合函数的导函数分析判断；对于 C：根据导数的减法运算法则分析判断. 【详解】对于选项 A：由余弦函数的导数可得 $( \cos x ) ^ { \prime } = - \sin x$ ,故 A 错误； 对于选项 B：由复合函数可得 $\left( \mathrm { e } ^ { 2 x } \right) ^ { \prime } = \mathrm { e } ^ { 2 x } \cdot ( 2 x ) ^ { \prime } = 2 \mathrm { e } ^ { 2 x }$ ,故 B 错误； 对于选项 C：因为 $\left( x ^ { 2 } - 2 \right) ^ { \prime } = \left( x ^ { 2 } \right) ^ { \prime } - ( 2 ) ^ { \prime } = 2 x$ ,故 C 错误； 对于选项 D：因为 $\ln 2$ 为常数,则 $( \ln 2 ) ^ { \prime } = 0$ ,故 D 正确；

Question 27: 下列等式中正确的是（ ） A $\cdot ( \cos x ) ^ { \prime } = \sin x$ B. $\left( \frac { 1 } { x + 1 } \right) ^ {...

下列等式中正确的是（ ） A $\cdot ( \cos x ) ^ { \prime } = \sin x$ B. $\left( \frac { 1 } { x + 1 } \right) ^ { \prime } = - \frac { 1 } { ( x + 1 ) ^ { 2 } }$ C. $( \sqrt { x } ) ^ { \prime } = \frac { 1 } { \sqrt { x } }$ D. $\left( 2 x ^ { 2 } + 1 \right) ^ { \prime } = 4 x + 1$ 29.已知函数 $f ( x ) = \ln ( 2 x )$ ,则 $f ^ { \prime } ( 1 ) =$（ ）

  • A. A. $\ln 2$
  • B. B. $\frac { 1 } { 4 }$
  • C. C. $\frac { 1 } { 2 }$
  • D. D. 1

Answer: B

Solution: 【知识点】基本初等函数的导数公式 【分析】按照基础函数的导数计算逐一判断即可. 【详解】对 $\mathrm { A } , ( \cos x ) ^ { \prime } = - \sin x$ ,故错误； 对 $\mathrm { B } , \left( \frac { 1 } { x + 1 } \right) ^ { \prime } = - \frac { 1 } { ( x + 1 ) ^ { 2 } }$ ,正确； 对 C, $( \sqrt { x } ) ^ { \prime } = \frac { 1 } { 2 \sqrt { x } }$ ,故错误； 对 D, $\left( 2 x ^ { 2 } + 1 \right) ^ { \prime } = 4 x$ ,故错误.

Question 28: 已知函数 $f ( x ) = \sin x + \cos x$ ,则 $f ^ { \prime } \left( \frac { \pi } { 2 } \right) =$

已知函数 $f ( x ) = \sin x + \cos x$ ,则 $f ^ { \prime } \left( \frac { \pi } { 2 } \right) =$

  • A. A. 1
  • B. B. $\frac { \pi } { 2 }$
  • C. C. - 1
  • D. D. 0 ## 参考

Answer: C

Solution: 【知识点】基本初等函数的导数公式,求某点处的导数值 【分析】根据三角函数求导公式求出导函数,将 $x = \frac { \pi } { 2 }$ 代入导函数计算即可. 【详解】$f ( x ) = \sin x + \cos x , f ^ { \prime } ( x ) = \cos x - \sin x , f ^ { \prime } \left( \frac { \pi } { 2 } \right) = \cos \frac { \pi } { 2 } - \sin \frac { \pi } { 2 } = - 1$ .
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导数

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