Skip to main content

Vector and Complex Number - Practice Questions (40)

Question 1: 1. เมื่อมีเวกเตอร์ $\vec { a } = \left( \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } , 1 \right) , b = ( - \sqrt { 3 ...

1. เมื่อมีเวกเตอร์ $\vec { a } = \left( \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } , 1 \right) , b = ( - \sqrt { 3 } , 0 )$ หาก $( a + \lambda b ) \perp b$ เป็นจริง แล้ว $\lambda =$

  • A. A. $\frac { 1 } { 2 }$
  • B. B. $- \frac { 1 } { 2 }$
  • C. C. $\frac { \sqrt { 3 } } { 6 }$
  • D. D. $- \frac { \sqrt { 3 } } { 6 }$

Answer: A

Solution: $\vec { a } + \lambda \vec { b } = \left( \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } - \sqrt { 3 } \lambda , 1 \right)$ เนื่องจาก $( a + \lambda b ) \perp b$ ดังนั้น $- \sqrt { 3 } \times \left( \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } - \sqrt { 3 } \lambda \right) = 0$ จึงให้ผลลัพธ์เป็น $\lambda = \frac { 1 } { 2 }$

Question 2: 2. ให้ $i z = 3 + 4 i$ ถูกกำหนดไว้ก่อน จากนั้น $z =$

2. ให้ $i z = 3 + 4 i$ ถูกกำหนดไว้ก่อน จากนั้น $z =$

  • A. A. $- 4 - 3 i$
  • B. B. $- 4 + 3 \mathrm { i }$
  • C. C. $4 - 3 \mathrm { i }$
  • D. D. $4 + 3 \mathrm { i }$

Answer: C

Solution: โดย $Z = \frac { 4 \mathrm { i } - 3 \mathrm { i } ^ { 2 } } { \mathrm { i } } = 4 - 3 \mathrm { i }$

Question 3: 3. หาก ${ } ^ { Z ( - 3 + \mathrm { i } ) = 10 }$, ให้ $Z =$

3. หาก ${ } ^ { Z ( - 3 + \mathrm { i } ) = 10 }$, ให้ $Z =$

  • A. A. $3 + \mathrm { i }$
  • B. B. $- 3 - \mathrm { i }$
  • C. C. $- 3 + \mathrm { i }$
  • D. D. 3- i

Answer: B

Solution: จาก $z ( - 3 + i ) = 10$ มาเป็น $z = \frac { 10 } { - 3 + i } = \frac { 10 ( - 3 - i ) } { ( - 3 + i ) ( - 3 - i ) } = - 3 - i$

Question 4: 4. จุดที่สอดคล้องกับจำนวนเชิงซ้อน $\frac { 5 i } { 3 - i }$ (โดยที่ $i$ คือหน่วยจินตภาพ) ในระนาบเชิง...

4. จุดที่สอดคล้องกับจำนวนเชิงซ้อน $\frac { 5 i } { 3 - i }$ (โดยที่ $i$ คือหน่วยจินตภาพ) ในระนาบเชิงซ้อนนั้นตั้งอยู่ที่

  • A. A. ไตรมาสแรก
  • B. B. ควอดแรนต์ที่สอง
  • C. C. ไตรมาสที่สาม
  • D. D. ควอแดรนท์ที่สี่

Answer: B

Solution: เนื่องจาก $\frac { 5 i } { 3 - i } = \frac { 5 i \times ( 3 + i ) } { ( 3 - i ) ( 3 + i ) } = \frac { i ( 3 + i ) } { 2 } = \frac { - 1 + 3 i } { 2 } = - \frac { 1 } { 2 } + \frac { 3 } { 2 } i$, พิกัดของจุดที่สอดคล้องกับจำนวนเชิงซ้อน $\frac { 5 i } { 3 - i }$ ในระนาบเชิงซ้อนคือ $\left( - \frac { 1 } { 2 } , \frac { 3 } { 2 } \right)$, ซึ่งตั้งอยู่ในควอแดรนต์ที่สอง

Question 5: 5. จาก $a = ( - 2 , - 3,1 ) , b = ( 4,0,8 ) , c = ( - 4 , - 6,2 )$, ข้อสรุปใดต่อไปนี้เป็นสิ่งที่ถูกต...

5. จาก $a = ( - 2 , - 3,1 ) , b = ( 4,0,8 ) , c = ( - 4 , - 6,2 )$, ข้อสรุปใดต่อไปนี้เป็นสิ่งที่ถูกต้อง?

  • A. A. $a \| c , b \| c$
  • B. B. $a \| b , a \perp c$
  • C. C. $a \| c , a \perp b$
  • D. D. ไม่มีข้อใดข้างต้นถูกต้อง

Answer: C

Solution: จากคำถาม เราทราบว่า $c = 2 a , a \cdot b = - 2 \times 4 + 1 \times 8 = 0$ ดังนั้น $a \| c , a \perp b$

Question 6: 6. เนื่องจาก $a = ( 3,2,5 ) , b = ( 4 , - 1 , x )$ และ $a \perp b$ เป็นจริง ดังนั้น $x =$

6. เนื่องจาก $a = ( 3,2,5 ) , b = ( 4 , - 1 , x )$ และ $a \perp b$ เป็นจริง ดังนั้น $x =$

  • A. A. $\frac { 1 } { 2 }$
  • B. B. 2
  • C. C. $- \frac { 1 } { 2 }$
  • D. D. - 2

Answer: D

Solution: เนื่องจาก $a = ( 3,2,5 ) , b = ( 4 , - 1 , x )$ และ $a \perp b$ เป็นจริง ดังนั้น $a \cdot b = 3 \times 4 + 2 \times ( - 1 ) + 5 x = 0$ จึงเป็นจริงด้วย ซึ่งส่งผลให้ $x = - 2$ เป็นจริง

Question 7: 7. เนื่องจากจำนวนเชิงซ้อน ${ } _ { Z }$ เป็นไปตาม $\frac { 1 - 2 \mathrm { i } } { Z } = \mathrm { i...

7. เนื่องจากจำนวนเชิงซ้อน ${ } _ { Z }$ เป็นไปตาม $\frac { 1 - 2 \mathrm { i } } { Z } = \mathrm { i }$ คู่เชิงซ้อนของจำนวนเชิงซ้อน ${ } _ { Z }$ จะสอดคล้องกับจุดในระนาบเชิงซ้อนที่

  • A. A. ไตรมาสแรก
  • B. B. ควอดแรนต์ที่สอง
  • C. C. ไตรมาสที่สาม
  • D. D. ควอแดรนท์ที่สี่

Answer: B

Solution: หาก $z = \frac { 1 - 2 i } { i } = \frac { i ( 1 - 2 i ) } { i ^ { 2 } } = - i - 2$ แล้ว ${ } _ { z = i - 2 }$ และจุดที่สอดคล้องกันจะอยู่ในควอแดรนต์ที่สอง

Question 8: 8. ให้ ${ } ^ { i }$ แทนหน่วยจินตภาพ และให้ ${ } ^ { Z = i ( 1 + i ) }$ แทนจำนวนเชิงซ้อน จากนั้นส่วน...

8. ให้ ${ } ^ { i }$ แทนหน่วยจินตภาพ และให้ ${ } ^ { Z = i ( 1 + i ) }$ แทนจำนวนเชิงซ้อน จากนั้นส่วนจินตภาพของ ${ } ^ { \bar { Z } }$ คือ ( )

  • A. A. - 1
  • B. B. 1
  • C. C. $- i$
  • D. D. ฉัน

Answer: A

Solution: จากคำถาม สามารถสรุปได้ว่า: $$ z = i ( 1 + i ) = - 1 + i $$ ดังนั้น, $\bar { z } = - 1 - i$ ดังนั้น, ส่วนจินตภาพของ $\bar { z }$ คือ -1.

Question 9: 9. จากเวกเตอร์ระนาบ ${ } ^ { a = ( 1,1 ) , b = ( - 2,1 ) }$, เวกเตอร์ฉายของเวกเตอร์ $a ^ { a }$ ลงบน...

9. จากเวกเตอร์ระนาบ ${ } ^ { a = ( 1,1 ) , b = ( - 2,1 ) }$, เวกเตอร์ฉายของเวกเตอร์ $a ^ { a }$ ลงบน ${ } ^ { b }$ คือ ( )

  • A. A. $\left( \frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 } { 2 } \right)$
  • B. B. $\left( - \frac { 1 } { 2 } , - \frac { 1 } { 2 } \right)$
  • C. C. $\left( - \frac { 2 } { 5 } , \frac { 1 } { 5 } \right)$
  • D. D. $\left( \frac { 2 } { 5 } , - \frac { 1 } { 5 } \right)$

Answer: D

Solution: เนื่องจาก $a = ( 1,1 ) , b = ( - 2,1 )$ ดังนั้น $a \cdot b = - 1 , | b | = \sqrt { 5 }$ ดังนั้นการฉายของเวกเตอร์ $_ { a }$ ไปยัง $_ { b }$ คือ $\frac { a \cdot h } { | b | } \cdot \frac { b } { | b | } = - \frac { 1 } { 5 } ( - 2,1 ) = \left( \frac { 2 } { 5 } , - \frac { 1 } { 5 } \right)$ ดังนั้นคำตอบที่ถูกต้องคือ: D.

Question 10: 10. ภายใต้เงื่อนไขที่เวกเตอร์ $a = ( 2 , - 1 ) , b = ( - 2 t , 3 )$ และ $a / / ( a - 2 b )$ เป็นจริง...

10. ภายใต้เงื่อนไขที่เวกเตอร์ $a = ( 2 , - 1 ) , b = ( - 2 t , 3 )$ และ $a / / ( a - 2 b )$ เป็นจริง แล้ว $t =$

  • A. A. - 2
  • B. B. 2
  • C. C. - 3
  • D. D. 3

Answer: D

Solution: เนื่องจาก $a = ( 2 , - 1 ) , b = ( - 2 t , 3 )$ ดังนั้น $a - 2 b = ( 2 + 4 t , - 7 )$ จาก $^ { a / / ( a - 2 b ) }$ เราจึงได้ $- 2 - 4 t = - 14$ ซึ่งเมื่อแก้สมการสำหรับ $t = 3$ จะได้

Question 11: 11. หาก $O A = ( 1 , - 2 ) , O B = ( 1 , - 1 )$ แล้ว $A B$ เท่ากับ

11. หาก $O A = ( 1 , - 2 ) , O B = ( 1 , - 1 )$ แล้ว $A B$ เท่ากับ

  • A. A. $( - 2,3 )$
  • B. B. $( 0,1 )$
  • C. C. $( - 1,2 )$
  • D. D. $( 2 , - 3 )$

Answer: B

Solution: $O A = ( 1 , - 2 ) , O B = ( 1 , - 1 )$

Question 12: 12. ดังที่แสดงในรูป ในสามเหลี่ยมด้านเท่า $A B C$, $P , Q , R$ และ $A B , B C , A C$ เป็นจุดกึ่งกลางข...

12. ดังที่แสดงในรูป ในสามเหลี่ยมด้านเท่า $A B C$, $P , Q , R$ และ $A B , B C , A C$ เป็นจุดกึ่งกลางของ ${ } ^ { P Q }$ ตามลำดับ ดังนั้นเวกเตอร์ที่เท่ากับ ${ } ^ { P Q }$ คือ ( ) ![](/images/questions/vector-complex/image-001.jpg)

  • A. A. $A B C$ และ $P , Q , R$
  • B. B. $A B C$ และ $P , Q , R$
  • C. C. $A B C$ และ $P , Q , R$
  • D. D. $A B C$ และ $P , Q , R$

Answer: B

Solution: เวกเตอร์จะเท่ากันหากมีขนาดและทิศทางเท่ากัน เนื่องจาก $P Q$ เป็นมัธยฐานของสามเหลี่ยม จึงสรุปได้ว่า $P Q / / A C , P Q = \frac { 1 } { 2 } A C$ เป็นจริง กล่าวคือ $P Q = A R = R C$ ดังนั้น ทั้ง ${ } ^ { A R }$ และ ${ } ^ { R C }$ จึงเป็นเวกเตอร์ที่มีค่าเท่ากับ ${ } ^ { P Q }$

Question 13: 13. หากทั้ง $z$ และ $( z + 2 ) ^ { 2 } - 8 \mathrm { i }$ เป็นจำนวนเชิงจินตภาพล้วน ๆ แล้ว $z$ จะเท่า...

13. หากทั้ง $z$ และ $( z + 2 ) ^ { 2 } - 8 \mathrm { i }$ เป็นจำนวนเชิงจินตภาพล้วน ๆ แล้ว $z$ จะเท่ากับ

  • A. A. 2 เมตร
  • B. B. - 2
  • C. C. $\pm 2 \mathrm { i }$
  • D. D. - 2 เมตร

Answer: D

Solution: จากโจทย์ เราสามารถกำหนด $z = b \mathrm { i } ( b \in \mathrm { R } , b \neq 0 )$ ดังนั้น $( z + 2 ) ^ { 2 } - 8 \mathrm { i } = ( b \mathrm { i } + 2 ) ^ { 2 } - 8 \mathrm { i } = 4 - b ^ { 2 } + ( 4 b - 8 ) \mathrm { i }$ นอกจากนี้ เนื่องจาก $^ { ( z + 2 ) ^ { 2 } - 8 \mathrm { i } }$ เป็นเพียงตัวเลขจินตภาพ เราจึงได้ $\left\{ \begin{array} { l } 4 - b ^ { 2 } = 0 \\ 4 b - 8 \neq 0 \end{array} \right.$ เมื่อแก้สมการจะได้ $b = - 2$ ดังนั้น, $^ { ( z + 2 ) ^ { 2 } - 8 \mathrm { i } }$

Question 14: 14. เนื่องจาก $a \in R , ( 1 + a i ) i = 3 + i , ( i$ เป็นหน่วยจินตภาพ ดังนั้น $a =$

14. เนื่องจาก $a \in R , ( 1 + a i ) i = 3 + i , ( i$ เป็นหน่วยจินตภาพ ดังนั้น $a =$

  • A. A. - 1
  • B. B. 1
  • C. C. - 3
  • D. D. 3

Answer: C

Solution: $( 1 + a i ) i = i + a i ^ { 2 } = i - a = - a + i = 3 + i$ โดยใช้เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับความเท่ากันของจำนวนเชิงซ้อนจะได้: $- a = 3 , \therefore a = - 3$ .

Question 15: 15. โดยที่ P เป็นจุดบนด้าน BC ของ $\triangle A B C$ และ $A B = a , A C = b$ หาก $S _ { \triangle A B...

15. โดยที่ P เป็นจุดบนด้าน BC ของ $\triangle A B C$ และ $A B = a , A C = b$ หาก $S _ { \triangle A B P } = 2 S _ { \triangle A C P }$ แล้ว $\stackrel { u d } { A P } =$

  • A. A. $\frac { 1 } { 2 } a + \frac { 3 } { 2 } b$
  • B. B. $\frac { 1 } { 3 } a + \frac { 2 } { 3 } b$
  • C. C. $\frac { 3 } { 2 } \vec { a } + \frac { 1 } { 2 } \vec { b }$
  • D. D. $\frac { 2 } { 3 } \vec { a } + \frac { 1 } { 3 } b$

Answer: B

Solution: เนื่องจาก $P$ อยู่เหนือขอบ $B C$ ของ $\triangle A B C$ หนึ่งจุด $A B = a , A C = b$; ถ้า $S _ { \triangle A B P } = 2 S _ { \triangle A C P }$, ดังนั้น $S _ { \triangle A B P } = \frac { 2 } { 3 } S _ { \triangle A B C }$, กล่าวคือ $B P = \frac { 2 } { 3 } B C$, กล่าวคือ $A P - A B = \frac { 2 } { 3 } ( A C - A B )$, กล่าวคือ $A P = \frac { 1 } { 3 } A B + \frac { 2 } { 3 } A C = \frac { 1 } { 3 } \vec { a } + \frac { 2 } { 3 } \vec { b }$;

Question 16: 16. ใน $A B C$ และ $A B = A C , D , E$, $A B , A C$ คือจุดกึ่งกลางของแต่ละเส้น ดังนั้น, ( ) ![](/ima...

16. ใน $A B C$ และ $A B = A C , D , E$, $A B , A C$ คือจุดกึ่งกลางของแต่ละเส้น ดังนั้น, ( ) ![](/images/questions/vector-complex/image-002.jpg)

  • A. A. ${ } ^ { A B }$ และ ${ } ^ { A C }$ เป็นเส้นตรงเดียวกัน
  • B. B. $D E$ และ ${ } ^ { C B }$ เป็นเส้นตรงเดียวกัน
  • C. C. $C D _ { \text {และ } } A E _ { \text {相等 } }$
  • D. D. ${ } ^ { A D }$ เท่ากับ ${ } ^ { B D }$

Answer: B

Solution: จากข้อกำหนดของคำถาม เห็นได้ชัดว่า ${ } ^ { A B }$ และ ${ } ^ { A C }$ ไม่เป็นเส้นตรงเดียวกัน ดังนั้นตัวเลือก A จึงไม่ถูกต้อง เนื่องจาก $D , E$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $A B , A C$ ดังนั้น $D E / / B C$ จึงเป็นจริง ดังนั้น $D E$ จึงไม่เท่ากับ $^ { \text {共线,B 对;} }$ เนื่องจาก ${ } ^ { C D }$ และ $A E$ ไม่ขนานกัน ${ } ^ { C D }$ และ $A E$ จึงไม่เท่ากัน; ข้อ C ไม่ถูกต้อง เนื่องจาก $A D = D B = - B D$ เป็นจริง ข้อ D จึงไม่ถูกต้อง

Question 17: 17. เนื่องจากจำนวนเชิงซ้อน $( 3 + \mathrm { i } ) Z = 1 + a \mathrm { i }$ เป็นจำนวนเชิงจินตภาพล้วน ...

17. เนื่องจากจำนวนเชิงซ้อน $( 3 + \mathrm { i } ) Z = 1 + a \mathrm { i }$ เป็นจำนวนเชิงจินตภาพล้วน (โดยที่ i แทนหน่วยจินตภาพ) ดังนั้นส่วนจริง $a =$()

  • A. A. 3
  • B. B. - 3
  • C. C. $- \frac { 1 } { 3 }$
  • D. D. $\frac { 1 } { 3 }$

Answer: B

Solution: วิธีแก้ปัญหา: $\because ( 3 + \mathrm { i } ) Z = 1 + a \mathrm { i }$ และ $\therefore \quad z = \frac { 1 + a \mathrm { i } } { 3 + \mathrm { i } } = \frac { ( 1 + a \mathrm { i } ) ( 3 - \mathrm { i } ) } { ( 3 + \mathrm { i } ) ( 3 - \mathrm { i } ) } = \frac { 3 + a } { 10 } + \frac { 3 a - 1 } { 10 } \mathrm { i }$ เป็นเพียงตัวเลขจินตภาพ, $\therefore \left\{ \begin{array} { l } \frac { 3 + a } { 10 } = 0 \\ \frac { 3 a - 1 } { 10 } \neq 0 \end{array} \right.$ ให้ผลลัพธ์เป็น $\quad a = - 3 \quad$.

Question 18: 18. หาก $z = 4 + 3 i$ ให้ $\frac { \bar { z } } { | z | } =$

18. หาก $z = 4 + 3 i$ ให้ $\frac { \bar { z } } { | z | } =$

  • A. A. 1
  • B. B. - 1
  • C. C. $\frac { 4 } { 5 } + \frac { 3 } { 5 } i$
  • D. D. $\frac { 4 } { 5 } - \frac { 3 } { 5 } i$

Answer: D

Solution: การวิเคราะห์คำถาม: $\frac { \bar { z } } { | z | } = \frac { 4 - 3 i } { 5 }$ ดังนั้นจึงเลือกข้อ D. จุดเน้นในการสอบ: จำนวนเชิงซ้อนและการดำเนินการของจำนวนเชิงซ้อน

Question 19: 19. เนื่องจากจำนวนเชิงซ้อน $Z$ เป็นไปตาม $Z ( 1 + \mathrm { i } ) = \mathrm { i } ^ { 2023 }$ โดยที่...

19. เนื่องจากจำนวนเชิงซ้อน $Z$ เป็นไปตาม $Z ( 1 + \mathrm { i } ) = \mathrm { i } ^ { 2023 }$ โดยที่ ${ } ^ { \mathrm { i } }$ เป็นหน่วยจินตภาพ ส่วนจินตภาพของ $Z$ คือ ( )

  • A. A. $- \frac { 1 } { 2 }$
  • B. B. $\frac { \mathbf { 1 } } { \mathbf { 2 } }$
  • C. C. $- \frac { 1 } { 2 } \mathrm { i }$
  • D. D. $\frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$

Answer: A

Solution: เนื่องจาก $\mathrm { i } ^ { 2023 } = \mathrm { i } ^ { 505 \times 4 + 3 } = \left( \mathrm { i } ^ { 4 } \right) ^ { 505 } \times \mathrm { i } ^ { 3 } = - \mathrm { i }$ ดังนั้น $z ( 1 + i ) = i ^ { 2023 } = - i$ ดังนั้น $z = \frac { - i } { 1 + i } = \frac { - i ( 1 - i ) } { ( 1 - i ) ( 1 + i ) } = \frac { - 1 - i } { 2 } = - \frac { 1 } { 2 } - \frac { i } { 2 }$ ดังนั้น ส่วนจินตภาพของ ${ } _ { Z }$ คือ $- \frac { 1 } { 2 }$

Question 20: 20. เนื่องจากสี่เหลี่ยมผืนผ้า $A B C D$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีฐาน $A B _ { \text {和 } } C D$ แ...

20. เนื่องจากสี่เหลี่ยมผืนผ้า $A B C D$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีฐาน $A B _ { \text {和 } } C D$ และด้านข้าง $A B = m a + 2 b ( m \in \mathbf { R } )$ และ $B C = a + 3 b , ~ B D = 4 a + 2 b ~ ( a , ~ b$ (โดยที่ $A B = m a + 2 b ( m \in \mathbf { R } )$ และ $B C = a + 3 b , ~ B D = 4 a + 2 b ~ ( a , ~ b$ เป็นเวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์และไม่เป็นเส้นตรงเดียวกันในระนาบเดียวกัน) ดังนั้น $m =$

  • A. A. $- \frac { 2 } { 3 }$
  • B. B. $\frac { 2 } { 3 }$
  • C. C. 6
  • D. D. 6

Answer: C

Solution: ตามคำถาม, $D C = D B + B C = - 4 a - 2 b + a + 3 b = - 3 a + b$ และ $A B / / D C$ เป็นจริง ดังนั้นเราจึงได้ $\frac { m } { 2 } = - 3$ การแก้สมการให้ค่า $m = - 6$

Question 21: 21. ใน ${ } _ { V A B C }$, ${ } _ { D } , { } _ { E }$ อยู่บนเส้นตรง ${ } _ { A B } , A C$ โดยที่ $...

21. ใน ${ } _ { V A B C }$, ${ } _ { D } , { } _ { E }$ อยู่บนเส้นตรง ${ } _ { A B } , A C$ โดยที่ $D B = \frac { 2 } { 3 } A B , A E = \frac { 2 } { 3 } A C$ เป็นจริง และจุด ${ } _ { F }$ เป็นจุดกึ่งกลางของเส้นตรง $B E$, จากนั้น $D F =$

  • A. A. $\frac { 1 } { 6 } A B + \frac { 1 } { 3 } A C$
  • B. B. $\frac { 1 } { 6 } A B - \frac { 1 } { 3 } A C$
  • C. C. $- \frac { \overrightarrow { 1 } } { 6 } A B + \frac { 1 } { 3 } A C$
  • D. D. $- \frac { \overrightarrow { 1 } } { 6 } A B - \frac { 1 } { 3 } A C$

Answer: A

Solution: ตามที่แสดงในแผนภาพ เนื่องจาก $A E = \frac { 2 } { 3 } A C , B E = A E - A B = \frac { 2 } { 3 } A C - A B$ . เนื่องจากจุด $F$ เป็นจุดกึ่งกลางของเส้นตรง ${ } _ { B E }$, ดังนั้น $B F = \frac { 1 } { 2 } B E = \frac { 1 } { 3 } A C - \frac { 1 } { 2 } A B$; เนื่องจาก $D B = \frac { 2 } { 3 } A B$, ดังนั้น $D F = D B + B F = \frac { 1 } { 6 } A B + \frac { 1 } { 3 } A C$. ![](/images/questions/vector-complex/image-003.jpg) ดังนั้น ตัวเลือก B, C และ D ไม่ถูกต้อง ในขณะที่ตัวเลือก A ถูกต้อง

Question 22: 22. ให้ $z = 1 - i$ ถูกกำหนดไว้ จากนั้น $\frac { 2 } { z } + z ^ { 2 } =$

22. ให้ $z = 1 - i$ ถูกกำหนดไว้ จากนั้น $\frac { 2 } { z } + z ^ { 2 } =$

  • A. A. $- 1 - \mathrm { i }$
  • B. B. $- \mathrm { l } + \mathrm { i }$
  • C. C. $1 - \mathrm { i }$
  • D. D. $1 + \mathrm { i }$

Answer: C

Solution: การวิเคราะห์คำถาม: แทน z ลงในนิพจน์และทำให้ง่ายขึ้นตามกฎของพีชคณิตจำนวนเชิงซ้อน $\frac { 2 } { z } + z ^ { 2 } = \frac { 2 } { 1 - i } + ( 1 - i ) ^ { 2 } = \frac { 2 ( 1 + i ) } { ( 1 - i ) ( 1 + i ) } + ( - 2 i ) = ( 1 + i ) - 2 i = 1 - i$ ดังนั้น คำตอบที่ถูกต้องคือ C. ## ประเด็นสำคัญ: การดำเนินการกับจำนวนเชิงซ้อน

Question 23: 23. ให้ $i$ แทนหน่วยจินตภาพ แล้วจำนวนเชิงซ้อน $\left| \frac { 3 + 4 i } { i } \right| =$

23. ให้ $i$ แทนหน่วยจินตภาพ แล้วจำนวนเชิงซ้อน $\left| \frac { 3 + 4 i } { i } \right| =$

  • A. A. 3
  • B. B. 4
  • C. C. 5
  • D. D. 6

Answer: C

Solution: การวิเคราะห์คำถาม: เนื่องจาก $\left| \frac { 3 + 4 i } { i } \right| = \left| \frac { ( 3 + 4 i ) \cdot i } { i \cdot i } \right| = \left| \frac { - 4 + 3 i } { - 1 } \right| = | 4 - 3 i | = \sqrt { 4 ^ { 2 } + ( - 3 ) ^ { 2 } } = 5$ ตัวเลือกที่ถูกต้องคือ $C$ . ประเด็นสำคัญ: 1. แนวคิดของจำนวนเชิงซ้อน; 2. การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับจำนวนเชิงซ้อน.

Question 24: 24. ตามที่แสดงในแผนภาพ ภายใน $\vee A B C$, $A B = 2 , B C = 3 , \angle A B C = 60 ^ { \circ } , A D$...

24. ตามที่แสดงในแผนภาพ ภายใน $\vee A B C$, $A B = 2 , B C = 3 , \angle A B C = 60 ^ { \circ } , A D$ คือความสูงตามด้านข้างของ $B C$; $A M = \frac { 2 } { 5 } A D$;หาก $A M = \lambda A B + \mu B C$ เป็นจริง ค่าของ $\lambda + \mu$ คือ ![](/images/questions/vector-complex/image-004.jpg)

  • A. A. $\frac { 4 } { 3 }$
  • B. B. $\frac { 8 } { 15 }$
  • C. C. $\frac { 2 } { 3 }$
  • D. D. $\frac { 4 } { 15 }$

Answer: B

Solution: ใน $\vee A B C$, $A B = 2 , B C = 3 , \angle A B C = 60 ^ { \circ } , A D$ คือความสูงที่อยู่ติดกับ $B C$, ให้ผลลัพธ์เป็น $B D = A B \cos 60 ^ { \circ } = 1$ จาก $A M = \frac { 2 } { 5 } A D = \frac { 2 } { 5 } ( A B + B D ) = \frac { 2 } { 5 } \left( A B + \frac { 1 } { 3 } B C \right) = \frac { 2 } { 5 } A B + \frac { 2 } { 15 } B C$ นอกจากนี้ เนื่องจาก $A M = \lambda A B + \mu B C$ เป็นจริง ดังนั้น $\lambda = \frac { 2 } { 5 } , \mu = \frac { 2 } { 15 }$ จึงเป็นจริง และด้วยเหตุนี้ $\lambda + \mu = \frac { 8 } { 15 }$ จึงได้รับการพิสูจน์

Question 25: 25. เนื่องจาก ${ } ^ { i }$ และ ${ } ^ { j }$ เป็นเวกเตอร์หน่วยที่สร้างมุม $60 ^ { \circ }$ กับ $a =...

25. เนื่องจาก ${ } ^ { i }$ และ ${ } ^ { j }$ เป็นเวกเตอร์หน่วยที่สร้างมุม $60 ^ { \circ }$ กับ $a = i - 2 j , b = 2 i$, ดังนั้น โคไซน์ของมุมระหว่าง ${ } ^ { a }$ และ ${ } ^ { b }$ คือ

  • A. A. $- \frac { \sqrt { 5 } } { 5 }$
  • B. B. $\frac { \sqrt { 5 } } { 5 }$
  • C. C. 0
  • D. D. $\frac { \sqrt { 3 } } { 3 }$

Answer: C

Solution: ดังนั้นโคไซน์ของมุมระหว่าง ${ } ^ { a \perp b , ~ } { } ^ { a }$ และ $^ { b }$ คือ 0

Question 26: 26. ให้เวกเตอร์ $a$ และ $b$ ให้ภาพฉายของ $| a | = 2 , b$ ไปยังทิศทางของ $a$ มีค่าเท่ากับ 1 หากมีจำนว...

26. ให้เวกเตอร์ $a$ และ $b$ ให้ภาพฉายของ $| a | = 2 , b$ ไปยังทิศทางของ $a$ มีค่าเท่ากับ 1 หากมีจำนวนจริง $\lambda$ ซึ่งทำให้ $a$ ตั้งฉากกับ $a - \lambda b$ แล้ว $\lambda =$

  • A. A. 3
  • B. B. 2
  • C. C. 1
  • D. D. - 1

Answer: B

Solution: การวิเคราะห์คำถาม: จากบริบทของคำถาม การใช้ความหมายของการฉายเวกเตอร์จะได้ $\vec { a } \bullet \vec { b } = 2$ นอกจากนี้ เนื่องจาก $\vec { a } \bullet ( \vec { a } - \lambda \vec { b } ) = | \vec { a } | ^ { 2 } - \lambda \vec { a } \bullet \vec { b } = 4 - 2 \lambda = 0 \quad$ เป็นจริง ดังนั้น $\lambda = 2 \quad$ จึงเป็นจริงเช่นกัน ดังนั้น คำตอบที่ถูกต้องคือ ข. จุดเน้นในการสอบ: การดำเนินการที่เกี่ยวข้องกับผลคูณจุดของเวกเตอร์ในระนาบ

Question 27: 27. ให้คู่เชิงซ้อนของจำนวนเชิงซ้อน $z$ เป็น $\bar { z } , ~ z ( 1 - i ) = 3 - i$ แล้วจุดที่สอดคล้องก...

27. ให้คู่เชิงซ้อนของจำนวนเชิงซ้อน $z$ เป็น $\bar { z } , ~ z ( 1 - i ) = 3 - i$ แล้วจุดที่สอดคล้องกันของจำนวนเชิงซ้อน $\bar { z }$ ในระนาบเชิงซ้อนจะอยู่ที่

  • A. A. ไตรมาสแรก
  • B. B. ควอดแรนต์ที่สอง
  • C. C. ไตรมาสที่สาม
  • D. D. ควอแดรนท์ที่สี่

Answer: D

Solution: จากจำนวนเชิงซ้อนที่ให้มา $z = \frac { 3 - \mathrm { i } } { 1 - \mathrm { i } } = \frac { ( 3 - \mathrm { i } ) ( 1 + \mathrm { i } ) } { ( 1 - \mathrm { i } ) ( 1 + \mathrm { i } ) } = 2 + \mathrm { i }$ สามารถสรุปได้ว่า $\bar { Z } = 2 - \mathrm { i }$ ดังนั้น จุดที่สอดคล้องกับจำนวนเชิงซ้อน $\bar { Z }$ ในระนาบเชิงซ้อนจะมีพิกัดเป็น ${ } ^ { ( 2 , - 1 ) }$ และอยู่ในควอแดรนต์ที่สี่

Question 28: 28. สูตรของเอuler $e ^ { i x } = \cos x + i \sin x$ (โดยที่ $i$ แทนหน่วยจินตภาพ) ถูกคิดค้นโดยนักคณิต...

28. สูตรของเอuler $e ^ { i x } = \cos x + i \sin x$ (โดยที่ $i$ แทนหน่วยจินตภาพ) ถูกคิดค้นโดยนักคณิตศาสตร์ชาวสวิตเซอร์แลนด์ที่มีชื่อเสียงนามว่าเอuler สูตรนี้ขยายขอบเขตของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลให้ครอบคลุมถึงเซตของจำนวนเชิงซ้อน ทำให้จุดที่สอดคล้องกับจำนวนเชิงซ้อน $e ^ { \frac { i } { { } ^ { i } \frac { \pi } { 4 } } }$ ในระนาบเชิงซ้อนตั้งอยู่ที่

  • A. A. ไตรมาสแรก
  • B. B. ควอดแรนต์ที่สอง
  • C. C. ไตรมาสที่สาม
  • D. D. ควอแดรนท์ที่สี่

Answer: A

Solution: ดังนั้น จุดที่สอดคล้องกันคือ $\left( \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } , \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } \right)$ ในควอแดรนต์แรก

Question 29: 29. เนื่องจากเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้า $A B C D$ ตัดกันที่จุด ${ } ^ { O }$ ดังนั้น $A O - B C ...

29. เนื่องจากเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้า $A B C D$ ตัดกันที่จุด ${ } ^ { O }$ ดังนั้น $A O - B C =$

  • A. A. $A B$
  • B. B. $A C$
  • C. C. $O C$
  • D. D. $O B$

Answer: D

Solution: ภายในสี่เหลี่ยมผืนผ้า $A B C D _ { \text {中 } } , B C = A D$ และเนื่องจาก $A C \cap B D = O$ ดังนั้น $D O = O B$; ดังนั้น $\stackrel { \rightarrow } { A O } - B C = A O - A D = D O = O \overrightarrow { B }$

Question 30: 30. เนื่องจากเวกเตอร์ $a , b$ เป็นไปตาม $| a | = 1 , | b | = 4$ และ $( a + b ) \cdot ( 2 a - b ) = -...

30. เนื่องจากเวกเตอร์ $a , b$ เป็นไปตาม $| a | = 1 , | b | = 4$ และ $( a + b ) \cdot ( 2 a - b ) = - 12$ มุมระหว่าง $a , b$ คือ

  • A. A. $\frac { \pi } { 6 }$
  • B. B. $\frac { \pi } { 3 }$
  • C. C. $\frac { 2 \pi } { 3 }$
  • D. D. $\frac { 5 \pi } { 6 }$

Answer: B

Solution: จาก $| a | = 1 , | b | = 4$, ดังนั้น $( \overline { a + b } ) \cdot ( 2 a - b ) = 2 a ^ { 2 } + a \cdot b - b ^ { 2 } = 2 \times 1 ^ { 2 } + a \cdot b - 4 ^ { 2 } = - 12$; การแก้ $a \cdot b = 2$ ได้ $\cos < a , b > \frac { a \cdot b } { | a | | b | } = \frac { 2 } { 1 \times 4 } = \frac { 1 } { 2 }$; นอกจากนี้ $\langle a , b \rangle \in [ 0 , \pi ]$ บ่งชี้ว่า มุมระหว่าง $a , b$ และ $\frac { \pi } { 3 }$ คือ $\frac { \pi } { 3 }$.

Question 31: 31. หากจำนวนเชิงซ้อน $z$ เป็นไปตาม ${ } ^ { ( 1 - \mathrm { i } ) } z = 2 ( 3 + \mathrm { i } )$ แล้...

31. หากจำนวนเชิงซ้อน $z$ เป็นไปตาม ${ } ^ { ( 1 - \mathrm { i } ) } z = 2 ( 3 + \mathrm { i } )$ แล้ว ส่วนจินตภาพของ $z$ จะเท่ากับ

  • A. A. 4 i
  • B. B. 2 เมตร
  • C. C. 2
  • D. D. 4

Answer: D

Solution: จากเงื่อนไขที่กำหนด $z = \frac { 2 ( 3 + \mathrm { i } ) } { 1 - \mathrm { i } } = \frac { 2 ( 3 + \mathrm { i } ) ( 1 + \mathrm { i } ) } { ( 1 - \mathrm { i } ) ( 1 + \mathrm { i } ) } = \frac { 2 \left( 3 + 3 \mathrm { i } + \mathrm { i } + \mathrm { i } ^ { 2 } \right) } { 2 } = 2 + 4 \mathrm { i }$, ส่วนจินตภาพคือ 4.

Question 32: 32. จุดที่สอดคล้องกับจำนวนเชิงซ้อน $z$ ในระนาบเชิงซ้อนคือ $( - 2,1 )$ จากนั้นคือ $| \bar { z } + 3 i...

32. จุดที่สอดคล้องกับจำนวนเชิงซ้อน $z$ ในระนาบเชิงซ้อนคือ $( - 2,1 )$ จากนั้นคือ $| \bar { z } + 3 i | =$

  • A. A. 8
  • B. B. 4
  • C. C. $2 \sqrt { 2 }$
  • D. D. $\sqrt { 2 }$

Answer: C

Solution: จำนวนเชิงซ้อน $z$ สอดคล้องกับจุด $( - 2,1 )$ ในระนาบเชิงซ้อน ดังนั้น จำนวนเชิงซ้อน $z = - 2 + \mathrm { i }$ จึงเป็นจริง ดังนั้น $\bar { z } + 3 \mathrm { i } = - 2 + 2 \mathrm { i }$ จึงเป็นจริงตาม และดังนั้น $| \bar { z } + 3 i | = | - 2 + 2 i | = \sqrt { ( - 2 ) ^ { 2 } + 2 ^ { 2 } } = 2 \sqrt { 2 }$ จึงเป็นจริง

Question 33: 33. เนื่องจากเวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์ $a , b$ เป็นไปตามเงื่อนไข $a \perp b$ และมุมระหว่าง $a + 2 b$ ก...

33. เนื่องจากเวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์ $a , b$ เป็นไปตามเงื่อนไข $a \perp b$ และมุมระหว่าง $a + 2 b$ กับ $a - 2 b$ คือ $120 ^ { \circ }$ ดังนั้น $\frac { | a | } { | b | } =$

  • A. A. $\sqrt { 3 }$
  • B. B. $\frac { \sqrt { 3 } } { 2 }$
  • C. C. $\frac { 2 \sqrt { 3 } } { 3 }$
  • D. D. $\frac { \sqrt { 3 } } { 3 }$

Answer: C

Solution: $\because a \perp b$, $\therefore a \cdot b = 0 , ( a + 2 b ) ( a - 2 b ) = a ^ { 2 } - 4 b ^ { 2 }$, $\because | a + 2 b | = \sqrt { a ^ { 2 } + 4 a \cdot b + 4 b ^ { 2 } } = \sqrt { a ^ { 2 } + 4 b ^ { 2 } } , | a - 2 b | = \sqrt { a ^ { 2 } - 4 a \cdot b + 4 b ^ { 2 } } = \sqrt { a ^ { 2 } + 4 b ^ { 2 } }$, $\therefore a ^ { 2 } - 4 b ^ { 2 } = \sqrt { a ^ { 2 } + 4 b ^ { 2 } } \cdot \sqrt { a ^ { 2 } + 4 b ^ { 2 } } \cdot \cos 120 ^ { \circ }$, ง่ายขึ้นเป็น $\frac { 3 } { 2 } a ^ { 2 } - 2 b ^ { 2 } = 0$, $\therefore \frac { | a | } { | b | } = \frac { 2 \sqrt { 3 } } { 3 }$.

Question 34: 34. เนื่องจากจุดศูนย์กลางวงกลมของ $V A B C$ คือจุด $O , M$ และ $O , M$ เป็นจุดบนด้าน $B C$ และ $B M ...

34. เนื่องจากจุดศูนย์กลางวงกลมของ $V A B C$ คือจุด $O , M$ และ $O , M$ เป็นจุดบนด้าน $B C$ และ $B M = 2 M C , \angle B A C = \frac { \pi } { 3 } , A O \cdot A M = 1$ เป็นจริง ดังนั้นค่าสูงสุดของพื้นที่ของ $\bigvee A B C$ เท่ากับ

  • A. A. $\frac { \sqrt { 3 } } { 2 }$
  • B. B. $\sqrt { 3 }$
  • C. C. $\frac { 3 \sqrt { 6 } } { 8 }$
  • D. D. $\frac { 3 \sqrt { 6 } } { 4 }$

Answer: C

Solution: วิธีแก้: เนื่องจาก $B M = 2 M C$ เป็นจริง ดังนั้น $A M = A B + B M = A B + \frac { 2 } { 3 } B C = A B + \frac { 2 } { 3 } ( A C - A B ) = \frac { 1 } { 3 } A B + \frac { 2 } { 3 } A C$ จึงเป็นจริงด้วย ดังนั้น | $\overrightarrow { 1 } = A O \cdot A M = A O \cdot \left( \frac { 1 } { 3 } A B + \frac { 2 } { 3 } A C \right)$ | | :--- | $= \frac { \overrightarrow { 1 } } { 3 } A O \cdot A B + \frac { 2 } { 3 } A O \cdot A C = \frac { 1 } { 6 } | A B | ^ { 2 } + \frac { 1 } { 3 } | A C | ^ { 2 } \geq \frac { \sqrt { 2 } } { 3 } | A B \| A C |$ ดังนั้น $| A B | | A C | \leq \frac { 3 \sqrt { 2 } } { 2 }$ จะถูกต้องเมื่อและเฉพาะเมื่อ $| A B | = \sqrt { 2 } | A C | = \sqrt { 3 }$ เป็นจริง; ดังนั้น $S _ { \triangle A B C } = \frac { \overrightarrow { 1 } } { 2 } | A B | \cdot | A C | \sin \angle B A C = \frac { \sqrt { 3 } } { 4 } | A B | | A C | \leq \frac { 3 \sqrt { 6 } } { 8 }$ จะถูกต้องเมื่อและเฉพาะเมื่อ $| A B | = \sqrt { 2 } | A C | = \sqrt { 3 }$ เป็นจริง;

Question 35: 35. จาก $a , b \in \mathrm { R }$ จำนวนเชิงซ้อน $z = a + 2 b \mathrm { i }$ (โดยที่ i แทนหน่วยจินตภา...

35. จาก $a , b \in \mathrm { R }$ จำนวนเชิงซ้อน $z = a + 2 b \mathrm { i }$ (โดยที่ i แทนหน่วยจินตภาพ) เป็นไปตาม $z \cdot \bar { z } = 4$ ข้อสรุปต่อไปนี้: (1) ช่วงค่าของ $a ^ { 2 } + b ^ { 2 }$ คือ $[ 1,4 ]$(2) $\sqrt { ( a - \sqrt { 3 } ) ^ { 2 } + b ^ { 2 } } + \sqrt { ( a + \sqrt { 3 } ) ^ { 2 } + b ^ { 2 } } = 4$ ; (3) ช่วงของค่าสำหรับ $\frac { b - \sqrt { 5 } } { a }$ คือ $( - \infty , - 1 ] \cup [ 1 , + \infty )$ ; (4) ค่าต่ำสุดของ $\frac { 1 } { a ^ { 2 } } + \frac { 1 } { b ^ { 2 } }$ คือ 2 ; จำนวนข้อสรุปที่ถูกต้องคือ ( )

  • A. A. 1
  • B. B. 2
  • C. C. 3
  • D. D. 4

Answer: C

Solution: เมื่อให้ ${ } ^ { Z \cdot \bar { z } } = 4 \Rightarrow ( a + 2 b \mathrm { i } ) ( a - 2 b \mathrm { i } ) = a ^ { 2 } + 4 b ^ { 2 } = \left. z \right| ^ { 2 } = 4 \Rightarrow \frac { a ^ { 2 } } { 4 } + b ^ { 2 } = 1$, จุด $( a , b ) _ { \text {的轨迹 } }$ เป็นวงรีที่มีจุดโฟกัส $( - \sqrt { 3 } , 0 ) , ( \sqrt { 3 } , 0 )$, ความยาวแกนหลักครึ่งหนึ่ง $a ^ { \prime } = 2$, ความยาวแกนรองครึ่งหนึ่ง $b ^ { \prime } = 1$, และความยาวโฟกัสครึ่งหนึ่ง $c ^ { \prime } = \sqrt { 3 }$. ตามนิยามของวงรี (2) เป็นถูกต้อง; $a ^ { 2 } + b ^ { 2 }$ แทนกำลังสองของระยะทางจากจุดใด ๆ บนวงรีไปยังจุดกำเนิด เป็นที่ชัดเจนว่าจุดปลายบนแกนย่อยอยู่ใกล้จุดกำเนิดมากที่สุด ในขณะที่จุดปลายบนแกนหลักอยู่ไกลที่สุด โดยมีระยะทาง 1 และ 2 ตามลำดับ ดังนั้น ช่วงของ $a ^ { 2 } + b ^ { 2 }$ คือ ${ } ^ { [ 1,4 ] }$ (1) ถูกต้อง $\frac { b - \sqrt { 5 } } { a }$ แทนความชันของเส้นตรงที่เชื่อมจุด $( a , b )$ บนวงรีกับจุด $( 0 , \sqrt { 5 } )$ ให้เส้นตรง $l : b = k a + \sqrt { 5 }$ เป็นเส้นสัมผัสวงรี เมื่อแก้สมการของเส้นตรงและวงรีพร้อมกันและลดรูปจะได้: $\left( \frac { 1 } { 4 } + k ^ { 2 } \right) a ^ { 2 } + 2 \sqrt { 5 } k a + 4 = 0$, $\Delta = 20 k ^ { 2 } - 4 \left( 1 + 4 k ^ { 2 } \right) = 0 \Rightarrow k = \pm 1$. จากความสัมพันธ์เชิงตำแหน่งระหว่างจุดและวงรี ช่วงของ $\frac { b - \sqrt { 5 } } { a }$ คือ $( - \infty , - 1 ] \cup [ 1 , + \infty )$ , (3) ถูกต้อง; ตามข้อความปัญหา $\frac { 1 } { a ^ { 2 } } + \frac { 1 } { b ^ { 2 } } = \frac { \frac { a ^ { 2 } } { 4 } + b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { \frac { a ^ { 2 } } { 4 } + b ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = \frac { b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { a ^ { 2 } } { 4 b ^ { 2 } } + \frac { 5 } { 4 } \geq 2 \sqrt { \frac { b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } \times \frac { a ^ { 2 } } { 4 b ^ { 2 } } } + \frac { 5 } { 4 } = \frac { 9 } { 4 }$ เป็นจริง เมื่อและเฉพาะเมื่อ $\frac { b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } = \frac { a ^ { 2 } } { 4 b ^ { 2 } } \Rightarrow a ^ { 2 } = 2 b ^ { 2 } = \frac { 4 } { 3 }$ เป็นจริง จะได้ $=$ (4) ผิด

Question 36: 36. คู่เชิงซ้อนของจำนวนเชิงซ้อน $Z = \frac { 2 } { 1 + \mathrm { i } }$ คือ ${ } _ { \bar { Z } }$

36. คู่เชิงซ้อนของจำนวนเชิงซ้อน $Z = \frac { 2 } { 1 + \mathrm { i } }$ คือ ${ } _ { \bar { Z } }$

  • A. A. $2 + 2 i$
  • B. B. $2 - 2 \mathrm { i }$
  • C. C. $1 + \mathrm { i }$
  • D. D. 1- ฉัน

Answer: C

Solution: เนื่องจาก $z = \frac { 2 } { 1 + \mathrm { i } } = \frac { 2 ( 1 - \mathrm { i } ) } { ( 1 + \mathrm { i } ) ( 1 - \mathrm { i } ) } = \frac { 2 ( 1 - \mathrm { i } ) } { 2 } = 1 - \mathrm { i }$ ดังนั้น $\bar { z } = 1 + \mathrm { i }$

Question 37: 37. เมื่อมีเวกเตอร์ $a = ( 3 \cos 2 \alpha , \sin \alpha ) , b = ( 2 , \cos \alpha + 5 \sin \alpha )...

37. เมื่อมีเวกเตอร์ $a = ( 3 \cos 2 \alpha , \sin \alpha ) , b = ( 2 , \cos \alpha + 5 \sin \alpha ) , \alpha \in \left( 0 , \frac { \pi } { 2 } \right)$ หาก $a \perp b$ เป็นจริง แล้ว $\tan \alpha =$

  • A. A. 2
  • B. B. - 2
  • C. C. 3
  • D. D. $\frac { 3 } { 4 }$

Answer: C

Solution: จากเงื่อนไขที่ให้มา $a \perp b$ เราได้ $a \cdot b = 0$ ซึ่งนำไปสู่ $6 \cos 2 \alpha + \sin \alpha ( \cos \alpha + 5 \sin \alpha ) = 0$ และ $6 \cos 2 \alpha + \sin \alpha ( \cos \alpha + 5 \sin \alpha ) = 0$ นำไปสู่ $6 \left( \cos ^ { 2 } \alpha - \sin ^ { 2 } \alpha \right) + \sin \alpha \cos \alpha + 5 \sin ^ { 2 } \alpha = 0$ ดังนั้น $\frac { 6 \cos ^ { 2 } \alpha - \sin ^ { 2 } \alpha + \sin \alpha \cos \alpha } { \sin ^ { 2 } \alpha + \cos ^ { 2 } \alpha } = 0$ จึงเป็นจริง ซึ่งได้มาจาก $\frac { 6 - \tan ^ { 2 } \alpha + \tan \alpha } { \tan ^ { 2 } \alpha + 1 } = 0$ เนื่องจาก $\alpha \in \left( 0 , \frac { \pi } { 2 } \right)$ เป็นจริง ดังนั้น $\tan \alpha = 3 , \tan \alpha = - 2$ (ละไว้) จึงเป็นจริงตามด้วย

Question 38: 38. เนื่องจาก $\left( \begin{array} { l l } a & b \\ c & d \end{array} \right)$ เป็นเมทริกซ์หน่วย ขน...

38. เนื่องจาก $\left( \begin{array} { l l } a & b \\ c & d \end{array} \right)$ เป็นเมทริกซ์หน่วย ขนาดของเวกเตอร์ $m = ( a , b )$ คือ

  • A. A. 0
  • B. B. 1
  • C. C. 2
  • D. D. $\sqrt { 2 }$

Answer: B

Solution: ตามนิยามของเมทริกซ์เอกลักษณ์ เมทริกซ์ขนาด $n$ คูณ $n$ ที่มีองค์ประกอบทั้งหมดบนเส้นทแยงมุมหลักเท่ากับ 1 และองค์ประกอบอื่น ๆ ทั้งหมดเท่ากับ 0 จะเรียกว่าเมทริกซ์เอกลักษณ์ขนาด $n$ คูณ $a = d = 1 , b = c = 0$ ดังนั้น $a = d = 1 , b = c = 0$ และ $\stackrel { \text { I } } { m } = ( a , b ) = ( 1,0 )$ ดังนั้น, $a = d = 1 , b = c = 0$

Question 39: 39. ภายในเพชร $A B C D$, หาก $| A B + A D | = 3$ เป็นจริง, แล้ว $A C \cdot A B =$

39. ภายในเพชร $A B C D$, หาก $| A B + A D | = 3$ เป็นจริง, แล้ว $A C \cdot A B =$

  • A. A. $\frac { 9 } { 2 }$
  • B. B. $\frac { 3 } { 2 }$
  • C. C. 3
  • D. D. 9

Answer: A

Solution: การเชื่อมต่อ $A C , B D$ กับจุด $O$ ให้ผลลัพธ์เป็น $B D \perp A C$ ซึ่งจากนี้สามารถสรุปได้โดยง่ายว่า $A B + A D = A C$ เป็นจริง ดังนั้น $| A C | = 3$ จึงได้รับการพิสูจน์ นอกจากนี้ $B D \perp A C$ แล้ว $A B + A D = A C$

Question 40: 40. โดยที่ O เป็นจุดกำเนิดของระบบพิกัด จุด M มีพิกัดเป็น $( 2 , - 1 )$ และจุด N เป็นไปตามเงื่อนไข $\...

40. โดยที่ O เป็นจุดกำเนิดของระบบพิกัด จุด M มีพิกัดเป็น $( 2 , - 1 )$ และจุด N เป็นไปตามเงื่อนไข $\left\{ \begin{array} { l } x + y \geq 1 \\ y - x \leq 1 \\ x \leq 1 \end{array} \right.$ ดังนั้น ค่าสูงสุดของ $O M \cdot O N$ คือ ( ) การบ้านคณิตศาสตร์มัธยมปลาย, 29 ตุลาคม 2025

  • A. A. 2
  • B. B. 1
  • C. C. 0
  • D. D. - 1

Answer: A

Solution: ตามข้อความปัญหา $O M \cdot O N = 2 x - y$ เป็นจริง ให้ $Z = 2 x - y$ แทนระนาบที่กำหนดโดยระบบของอสมการ ดังแสดงในบริเวณที่แรเงา $\triangle A B C$ ของ ![](/images/questions/vector-complex/image-006.jpg): วาดเส้น $l _ { 0 } : 2 x - y = 0$ จากนั้นแปลเส้น $l _ { 0 }$ เข้าสู่บริเวณที่เป็นไปได้ ที่จุด $A$ เราจะได้ $Z$ ซึ่งมีค่าสูงสุด และจาก $\left\{ \begin{array} { l } x + y = 1 \\ x = 1 \end{array} \right.$ เราจะได้ $A ( 1,0 )$ ซึ่ง ณ จุดนี้ $Z$ จะสูงสุดที่ $= 2$
กลับไปที่หัวข้อ

Vector and Complex Number

向量与复数

40 คำถามฝึกหัด

ฝึกฝนกับโจทย์ภาษาจีนเพื่อเตรียมสอบ CSCA คุณสามารถเปิด/ปิดคำแปลได้ขณะฝึก

ภาพรวมหัวข้อ

เวกเตอร์และจำนวนเชิงซ้อนเป็นโมดูลพื้นฐานที่สำคัญในการสอบคณิตศาสตร์ CSCA ส่วนของเวกเตอร์จะเน้นการประเมินการดำเนินการของพิกัด ความสัมพันธ์ตั้งฉาก/ขนาน และการคำนวณขนาดของเวกเตอร์ในระนาบ ส่วนของจำนวนเชิงซ้อนจะครอบคลุมการแสดงเชิงพีชคณิต การดำเนินการทางเลขคณิต จำนวนคู่สมมูล และการกำหนดขนาดของจำนวน คำถามมักจะผสมผสานความเข้าใจทางเรขาคณิตกับการคำนวณเชิงพีชคณิต ซึ่งต้องการการประยุกต์ใช้สูตรอย่างยืดหยุ่น

จำนวนคำถาม:40

ประเด็นสำคัญ

  • 1ประสานงานการปฏิบัติการบนเวกเตอร์ในระนาบและการกำหนดความสัมพันธ์เชิงเส้น
  • 2การกำหนดพารามิเตอร์โดยใช้เงื่อนไขพิกัดของเวกเตอร์ที่ตั้งฉากหรือขนานกัน
  • 3การดำเนินการเชิงพีชคณิตบนจำนวนเชิงซ้อนและการแก้สมการเชิงซ้อน
  • 4การคำนวณด้วยเลขคณิตแบบโมดูลาร์และการแก้สมการ
  • 5การประยุกต์ใช้เวกเตอร์และจำนวนเชิงซ้อนแบบบูรณาการในปัญหาเรขาคณิต

เคล็ดลับการเรียน

ขอแนะนำให้จัดระเบียบสูตรเวกเตอร์อย่างเป็นระบบโดยใช้วิธีพิกัด พร้อมทั้งทำความเข้าใจการดำเนินการกับจำนวนเชิงซ้อนโดยเปรียบเทียบกับจำนวนจริง และฝึกฝนอย่างกว้างขวางกับปัญหาที่ผสมผสานระหว่างพีชคณิตและเรขาคณิต

ทำโจทย์เป็น ≠ สอบผ่าน

ข้อสอบจำลองฉบับเต็ม ตามหลักสูตรทางการ รวมหลายหัวข้อเหมือนสอบจริง

รับข้อสอบจำลอง →

ไม่มีบัตรเครดิต? อีเมลหาเรา: kaiguo370@gmail.com

แหล่งข้อมูลการเรียนรู้ที่เกี่ยวข้อง

คู่มือคณิตศาสตร์
เอกสารเตรียมสอบฉบับสมบูรณ์
คำศัพท์คณิตศาสตร์
ทบทวนคำศัพท์และแนวคิดที่เกี่ยวข้อง

สำรวจการฝึกหัดวิชาอื่นๆ:

ฝึกฟิสิกส์ฝึกเคมี