Skip to main content

Solid Geometry - Practice Questions (35)

Question 1: 1. หากรัศมีฐานของทรงกระบอกคือ 1 และพื้นผิวด้านข้างของมันเมื่อคลี่ออกเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส พื้นที่...

1. หากรัศมีฐานของทรงกระบอกคือ 1 และพื้นผิวด้านข้างของมันเมื่อคลี่ออกเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส พื้นที่ผิวด้านข้างของทรงกระบอกนี้คือ ( )

  • A. A. $4 \pi ^ { 2 }$
  • B. B. $3 \pi ^ { 2 }$
  • C. C. $2 \pi ^ { 2 }$
  • D. D. $\pi ^ { 2 }$

Answer: A

Solution: ความยาวด้านของแผนภาพที่กางออก ตามที่ระบุไว้ในคำถาม ไม่ใช่ $2 \pi \times 1 = 2 \pi$; พื้นที่ของมันคือ $( 2 \pi ) ^ { 2 } = 4 \pi ^ { 2 }$

Question 2: 2. ภาพฉายสามด้านของรูปทรงตันหนึ่งแสดงในรูปนี้ ปริมาตรของรูปทรงตันนี้คือ ( ) ![](/images/questions/so...

2. ภาพฉายสามด้านของรูปทรงตันหนึ่งแสดงในรูปนี้ ปริมาตรของรูปทรงตันนี้คือ ( ) ![](/images/questions/solid-geometry/image-001.jpg) ![](/images/questions/solid-geometry/image-002.jpg) ด้านข้าง ![](/images/questions/solid-geometry/image-003.jpg) ด้านบน

  • A. A. $\frac { 2 } { 3 }$
  • B. B. $\frac { 4 } { 3 }$
  • C. C. 2
  • D. D. 4

Answer: A

Solution: จากภาพฉายสามด้านของรูปทรงทึบ แผนภาพเชิงพื้นที่มีดังนี้: ![](/images/questions/solid-geometry/image-004.jpg) $\therefore V = \frac { 1 } { 3 } \times \frac { 1 } { 2 } \times 2 \times 2 \times 1 = \frac { 2 } { 3 }$

Question 3: 3. พีระมิดสามเหลี่ยม $P - A B C _ { \text { สามขอบด้านข้าง } } P A , P B , P C$ ที่มีด้านสองด้านตั้ง...

3. พีระมิดสามเหลี่ยม $P - A B C _ { \text { สามขอบด้านข้าง } } P A , P B , P C$ ที่มีด้านสองด้านตั้งฉากกันเอง มีความยาว $1 , \sqrt { 6 }$ และ 3 มีทรงกลมที่ล้อมรอบโดยมีพื้นที่ผิว B. $32 \pi$

  • A. A. $16 \pi$
  • B. B. พีระมิดสามเหลี่ยม $P - A B C _ { \text { สามขอบด้านข้าง } } P A , P B , P C$ ที่มีขอบสองคู่ซึ่งตั้งฉากกันเอง โดยมีความยาวขอบแต่ละคู่เป็น $1 , \sqrt { 6 }$
  • C. C. $36 \pi$
  • D. D. $64 \pi$

Answer: A

Solution: ขอบด้านข้างทั้งสาม $P - A B C$ ของปริซึมสามเหลี่ยม $P A , P B , P C$ ตั้งฉากซึ่งกันและกัน วงกลมที่ล้อมรอบปริซึมนี้มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ $P A , P B , P C$ โดยที่ ความยาว ความกว้าง และความสูง คือขนาดของปริซึมสี่เหลี่ยมด้านขนานตามลำดับ ความยาวของเส้นทแยงมุมของปริซึมคือ: $\sqrt { 1 + ( \sqrt { 6 } ) ^ { 2 } + 3 ^ { 2 } } = 4$ ดังนั้น เส้นผ่านศูนย์กลางของทรงกลมคือ 4 รัศมีของมันคือ 2 และพื้นที่ผิวของมันคือ: $S = 4 \pi R ^ { 2 } = 16 \pi$

Question 4: 4. หากพื้นผิวด้านข้างของทรงกระบอกถูกคลี่ออกเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส อัตราส่วนของพื้นที่ผิวทั้งหมดของ...

4. หากพื้นผิวด้านข้างของทรงกระบอกถูกคลี่ออกเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส อัตราส่วนของพื้นที่ผิวทั้งหมดของทรงกระบอกต่อพื้นที่ด้านข้างของมันคือ ( )

  • A. A. $\frac { 1 + 2 \pi } { 4 \pi }$
  • B. B. $\frac { 1 + 2 \pi } { 2 \pi }$
  • C. C. $\frac { 1 + 2 \pi } { \pi }$
  • D. D. $\frac { 1 + 4 \pi } { 2 \pi }$

Answer: B

Solution: ให้รัศมีของฐานทรงกระบอกเป็น $r$ และความสูงเป็น $h$ $\because$ พื้นผิวด้านข้างของทรงกระบอกจะคลี่ออกเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส $\therefore 2 \pi r = h$ $\therefore$ พื้นที่ผิวด้านข้างของทรงกระบอกคือ $2 \pi r h = 4 \pi ^ { 2 } r ^ { 2 }$; พื้นที่รวมของฐานทั้งสองคือ $2 \pi r ^ { 2 } , \therefore$; พื้นที่ผิวทั้งหมดคือ $2 \pi r ^ { 2 } + 2 \pi r h = 2 \pi r ^ { 2 } + 4 \pi ^ { 2 } r ^ { 2 }$; $\therefore$ อัตราส่วนของพื้นที่ผิวทั้งหมดต่อพื้นที่ผิวด้านข้างของทรงกระบอกคือ: $\frac { 2 \pi r ^ { 2 } + 4 \pi ^ { 2 } r ^ { 2 } } { 4 \pi ^ { 2 } r ^ { 2 } } = \frac { 1 + 2 \pi } { 2 \pi }$ ,

Question 5: 5. ให้จุด $A ( 3,0 , - 4 )$ และจุด $A$ ซึ่งมีจุดสมมาตรกับจุดกำเนิดเป็น $B$ แล้ว $| A B | =$

5. ให้จุด $A ( 3,0 , - 4 )$ และจุด $A$ ซึ่งมีจุดสมมาตรกับจุดกำเนิดเป็น $B$ แล้ว $| A B | =$

  • A. A. 25
  • B. B. 12
  • C. C. 10
  • D. D. 5

Answer: C

Solution: เนื่องจากจุด ${ } ^ { A ( 3,0 , - 4 ) }$ มีสมมาตรกับจุดกำเนิดที่ ${ } ^ { B }$ ดังนั้น $B ( - 3,0,4 )$ จึงเป็นจริง และ $| A B | = \sqrt { ( - 3 - 3 ) ^ { 2 } + ( 0 - 0 ) ^ { 2 } + ( 4 + 4 ) ^ { 2 } } = 10$ จึงเป็นผลตามมา

Question 6: 6. ลำแสงที่มีด้านข้างทั้งหมดเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าต้องเป็น

6. ลำแสงที่มีด้านข้างทั้งหมดเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าต้องเป็น

  • A. A. ปริซึมสี่เหลี่ยม
  • B. B. ปริซึมสามเหลี่ยม
  • C. C. ทรงกระบอกตรง
  • D. D. ปริซึมตรง

Answer: D

Solution: ปริซึมที่มีหน้าด้านข้างทั้งหมดเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าจะต้องเป็นปริซึมฉากเสมอ โดยมีเงื่อนไขว่าขอบด้านข้างต้องตั้งฉากกับฐานทั้งสอง

Question 7: 7. หากมุมมองด้านหน้า มุมมองด้านข้าง และมุมมองด้านบนของรูปทรงตันในเรขาคณิตปริมาตรทั้งหมดเป็นวงกลมที่ม...

7. หากมุมมองด้านหน้า มุมมองด้านข้าง และมุมมองด้านบนของรูปทรงตันในเรขาคณิตปริมาตรทั้งหมดเป็นวงกลมที่มีรัศมี 5 หน่วย พื้นที่ผิวของรูปทรงตันในเรขาคณิตปริมาตรนี้เท่ากับ

  • A. A. $100 \pi$
  • B. B. $\frac { 100 \pi } { 3 }$
  • C. C. $25 \pi$
  • D. D. $\frac { 25 \pi } { 3 }$

Answer: A

Solution: เห็นได้ชัดเจนว่าของแข็งนี้เป็นทรงกลมที่มีรัศมี 5 ซึ่งให้พื้นที่ผิวเท่ากับ $S = 4 \pi R ^ { 2 } = 100 \pi$

Question 8: 8. ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง? ( ) (1) ทรงรูปเรขาคณิตที่มีทุกหน้าเป็นสามเหลี่ยมเรียกว่าพีระมิดสามเหลี่ยม; ...

8. ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง? ( ) (1) ทรงรูปเรขาคณิตที่มีทุกหน้าเป็นสามเหลี่ยมเรียกว่าพีระมิดสามเหลี่ยม; (2) เมื่อระนาบตัดกับพีระมิด ส่วนที่อยู่ระหว่างฐานเดิมกับระนาบที่ตัดจะเกิดเป็นรูปทรงกรวยตัด; (3) หน้าทั้งสี่ของพีระมิดสามเหลี่ยมสามารถเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากได้ทั้งหมด; (4) มุมมองด้านข้างของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูอาจเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน; (5) ผ่านจุดใด ๆ บนพื้นผิวด้านข้างของกรวยตัดของทรงกระบอก จะมีเส้นกำเนิดจำนวนอนันต์ผ่าน; (6) หน้าด้านข้างทั้งสี่ของทรงสี่หน้าอาจจะเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากทั้งหมด

  • A. A. 0
  • B. B. 1
  • C. C. 2
  • D. D. 3

Answer: C

Solution: เกี่ยวกับข้อ (1) หน้าทั้งแปดของทรงแปดหน้าด้านเท่าเป็นรูปสามเหลี่ยมทั้งหมด; ทรงแปดหน้าด้านเท่าไม่ใช่พีระมิดสามเหลี่ยม ดังนั้นข้อ (1) จึงไม่ถูกต้อง เกี่ยวกับข้อ (2) เมื่อหน้าตัดไม่ขนานกับฐานของพีระมิด ส่วนที่อยู่ระหว่างฐานของพีระมิดเดิมกับหน้าตัดไม่ใช่ส่วนยอดตัด ดังนั้นข้อ (2) จึงไม่ถูกต้องสำหรับข้อ (3) ปิรามิดสามเหลี่ยมที่มีขอบด้านข้างผ่านยอดแหลมของสามเหลี่ยมด้านฐานและตั้งฉากกับฐานจะมีหน้าสามเหลี่ยมมุมฉากสี่หน้า ข้อ (3) ถูกต้อง สำหรับข้อ (4) ภาพแทนของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูไม่สามารถเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานได้ ข้อ (4) ไม่ถูกต้อง สำหรับข้อ (5) เส้นกำเนิดทั้งหมดของปริซึมตัดกันที่จุดเดียว ดังนั้น ผ่านจุดใดก็ตามบนผิวด้านข้างของปริซึม จะมีเส้นกำเนิดเพียงเส้นเดียว ข้อ (5) ไม่ถูกต้อง สำหรับข้อ (6) ปิรามิดที่มีขอบด้านข้างหนึ่งตั้งฉากกับฐานสี่เหลี่ยมผืนผ้า จะมีผิวด้านข้างทั้งสี่เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก ข้อ (6) ถูกต้อง ดังนั้น จำนวนข้อความที่ถูกต้องคือ 2 ข้อ

Question 9: 9. จุด $P ( 2 , - 31 )$ จุดที่มีความสมมาตรกับจุดกำเนิดพิกัดคือ

9. จุด $P ( 2 , - 31 )$ จุดที่มีความสมมาตรกับจุดกำเนิดพิกัดคือ

  • A. A. $( - 2 , - 3 , - 1 )$
  • B. B. $( - 23 ; 1 )$
  • C. C. $( 2 , - 3 , - 1 )$
  • D. D. $( - 2,31 )$

Answer: B

Solution: พิกัดของจุดที่สมมาตรกับจุดกำเนิดจะกลายเป็นค่าลบของพิกัดเดิม กล่าวคือ $( - 23 , - 1 )$ เลือกข้อ B. [เคล็ดลับสำคัญ]คำถามนี้ทดสอบการหาพิกัดของจุดที่สมมาตรกับจุดกำเนิด การจดจำคุณสมบัติของจุดสมมาตรเป็นกุญแจสำคัญในการแก้โจทย์นี้

Question 10: 10. พื้นที่ของหน้าสามด้านของปริซึมสี่เหลี่ยมด้านขนานคือ $\sqrt { 2 } , \sqrt { 3 } , \sqrt { 6 }$ ตา...

10. พื้นที่ของหน้าสามด้านของปริซึมสี่เหลี่ยมด้านขนานคือ $\sqrt { 2 } , \sqrt { 3 } , \sqrt { 6 }$ ตามลำดับ ปริมาตรของปริซึมสี่เหลี่ยมด้านขนานนี้มีค่าเป็น ( )

  • A. A. 6
  • B. B. $\sqrt { 6 }$
  • C. C. 3
  • D. D. $2 ^ { \sqrt { 3 } }$

Answer: B

Solution: ให้ ความยาว ความกว้าง และความสูงของปริซึมสี่เหลี่ยมด้านขนานเป็น $x , y , z$ ตามลำดับ จากนั้น $x y = \sqrt { 2 } , y z = \sqrt { 3 } , x z = \sqrt { 6 }$ และ $\therefore ( x y z ) ^ { 2 } = 6$ $\therefore V = x y z = \sqrt { 6 }$

Question 11: 11. ข้อใดต่อไปนี้ไม่ถูกต้อง

11. ข้อใดต่อไปนี้ไม่ถูกต้อง

  • A. A. หน้าตัดตามแนวแกนของทรงกระบอกคือส่วนที่มีพื้นที่มากที่สุดในบรรดาส่วนที่ผ่านแกนกำเนิด
  • B. B. หน้าตัดตามแนวแกนของกรวยเป็นหน้าตัดที่ใหญ่ที่สุดในบรรดาหน้าตัดทั้งหมดที่ผ่านยอดของกรวย
  • C. C. ทุกหน้าตัดของกรวยตัดที่ขนานกับฐานจะเป็นวงกลม
  • D. D. ทุกหน้าตัดตามแนวแกนของกรวยจะเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า

Answer: B

Solution: สำหรับตัวเลือก A ในทรงกระบอก ทุกหน้าตัดที่ผ่านเส้นกำเนิดจะเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีความสูงเท่ากัน เมื่อฐานเป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง พื้นที่หน้าตัดจะสูงสุด ดังนั้น หน้าตัดตามแนวแกนของทรงกระบอกจะเป็นหน้าตัดที่ใหญ่ที่สุดในบรรดาทุกหน้าตัดที่ผ่านเส้นกำเนิด ดังนั้น ข้อเสนอในตัวเลือก A จึงถูกต้องสำหรับตัวเลือก B พื้นที่หน้าตัดตามแนวแกนของกรวยคือ $\frac { 1 } { 2 } \cdot l ^ { 2 } \cdot \sin \theta$ โดยที่ ${ } _ { l }$ คือความยาวของเส้นกำเนิด และ $\theta$ คือมุมสูงสุดที่เกิดจากเส้นกำเนิดทั้งสองของกรวยดังนั้น เมื่อ $\theta \leq \frac { \pi } { 2 }$ เป็นจริง พื้นที่หน้าตัดตามแนวแกนจะสูงสุด เมื่อ $\frac { \pi } { 2 } < \theta < \pi$ เกิดขึ้น จะต้องมีหน้าตัด $\theta _ { 1 } = \frac { \pi } { 2 }$ ที่ซึ่งพื้นที่หน้าตัดมีค่าสูงสุด ดังนั้น ข้อเสนอ B จึงไม่ถูกต้องจากคุณสมบัติทางเรขาคณิตของกรวยตัด ทุกหน้าตัดที่ขนานกับฐานจะเป็นวงกลม ดังนั้น ข้อความ C จึงถูกต้อง จากคุณสมบัติทางเรขาคณิตของกรวย ทุกหน้าตัดตามแนวแกนจะเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีสองด้านเท่ากัน ดังนั้น ข้อความ D จึงถูกต้อง สรุปแล้ว คำตอบที่ถูกต้องคือข้อ B [ข้อสังเกตสำคัญ]คำถามนี้เน้นการตรวจสอบคุณสมบัติทางเรขาคณิตของทรงกระบอก ทรงกรวย และทรงกรวยตัด รวมถึงสูตรหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมและการหาค่าพื้นที่สามเหลี่ยมให้มากที่สุด ถือเป็นปัญหาพื้นฐาน

Question 12: 12. เมื่อรัศมีของทรงกลมที่บรรจุอยู่ในทรงกระบอกเท่ากับ 1 ปริมาตรของทรงกระบอกคือ ( )

12. เมื่อรัศมีของทรงกลมที่บรรจุอยู่ในทรงกระบอกเท่ากับ 1 ปริมาตรของทรงกระบอกคือ ( )

  • A. A. $\pi$
  • B. B. $2 \pi$
  • C. C. $3 \pi$
  • D. D. $4 \pi$

Answer: B

Solution: จากคำถาม รัศมีของวงกลมฐานของทรงกระบอกคือ 1 และความสูงของทรงกระบอกคือ 2 ดังนั้น ปริมาตรของทรงกระบอกคือ $\pi \times 1 ^ { 2 } \times 2 = 2 \pi$

Question 13: 13. หากรัศมีของทรงกลมเพิ่มขึ้นเป็นจำนวนเท่าของ ${ } ^ { \sqrt { 2 } }$ เท่าแล้ว ปริมาตรของทรงกลมจะเพ...

13. หากรัศมีของทรงกลมเพิ่มขึ้นเป็นจำนวนเท่าของ ${ } ^ { \sqrt { 2 } }$ เท่าแล้ว ปริมาตรของทรงกลมจะเพิ่มขึ้นเป็นจำนวนเท่าของ

  • A. A. สองครั้ง
  • B. B. ${ } ^ { \sqrt { 2 } }$ ครั้ง
  • C. C. ${ } ^ { \sqrt { 2 } }$ ครั้ง
  • D. D. ${ } ^ { \sqrt { 2 } }$ ครั้ง

Answer: B

Solution: ให้รัศมีของทรงกลมเป็น ${ } _ { R }$; ดังนั้นปริมาตรของมันคือ $V _ { 1 } = \frac { 4 } { 3 } \pi R ^ { 3 }$. เมื่อเพิ่มรัศมีเป็น $\sqrt { 2 }$ เท่าของค่าเดิม คือ รัศมีเป็น $\sqrt { 2 } R$, จะได้ปริมาตรเป็น $V _ { 2 } = \frac { 4 } { 3 } \pi ( \sqrt { 2 } R ) ^ { 3 } = \frac { 8 \sqrt { 2 } } { 3 } \pi R ^ { 3 }$. จากนั้น $V _ { 2 } = \frac { 4 } { 3 } \pi ( \sqrt { 2 } R ) ^ { 3 } = \frac { 8 \sqrt { 2 } } { 3 } \pi R ^ { 3 }$ กล่าวคือ $\frac { V _ { 2 } } { V _ { 1 } } = 2 \sqrt { 2 }$

Question 14: 14. กระบอกสูบมีความสูง 1 และเส้นรอบวงฐาน 8 การฉายสามจุดของมันแสดงในรูป จุด $P$ บนพื้นผิวของกระบอกสูบ...

14. กระบอกสูบมีความสูง 1 และเส้นรอบวงฐาน 8 การฉายสามจุดของมันแสดงในรูป จุด $P$ บนพื้นผิวของกระบอกสูบสอดคล้องกับจุด $Q$ บนการฉายด้านหน้า จากนั้นบนพื้นผิวด้านข้างของกระบอกสูบ จุดที่สอดคล้องกับ $B$ บนการฉายด้านซ้ายคือ $P$ คือ $A$ จุดที่สอดคล้องกันบนมุมมองด้านซ้ายสำหรับจุด $Q$ บนพื้นผิวของทรงกระบอกคือ $B$ ดังนั้น บนพื้นผิวด้านข้างของทรงกระบอกนี้ ความยาวของเส้นทางที่สั้นที่สุดจาก $P$ ไปยัง $Q$ คือ( ) ![](/images/questions/solid-geometry/image-007.jpg) ![](/images/questions/solid-geometry/image-008.jpg) ![](/images/questions/solid-geometry/image-009.jpg)

  • A. A. $\sqrt { 17 }$
  • B. B. $\sqrt { 5 }$
  • C. C. $\frac { 3 } { 2 }$
  • D. D. 1

Answer: B

Solution:

Question 15: 15. ให้ด้านของสี่เหลี่ยมผืนผ้าวัดได้ $a , b ( a > b )$ ตามลำดับ เมื่อม้วนเป็นรูปทรงที่แตกต่างกันสองร...

15. ให้ด้านของสี่เหลี่ยมผืนผ้าวัดได้ $a , b ( a > b )$ ตามลำดับ เมื่อม้วนเป็นรูปทรงที่แตกต่างกันสองรูป จะได้ทรงกระบอก (ไม่มีฐาน) ที่มีความสูง $a$ และ $b$ โดยมีความสูง $a$ และ $b$ ตามลำดับ (ไม่มีฐาน) ให้ปริมาตร $V ^ { a }$ และ $V ^ { b }$ ตามลำดับ จากนั้นความสัมพันธ์ระหว่าง $V ^ { a }$ และ $V ^ { b }$ คือ

  • A. A. $V _ { a } > V _ { b }$
  • B. B. $V _ { a } = V _ { b }$
  • C. C. $V _ { a } < V _ { b }$
  • D. D. ไม่แน่นอน

Answer: C

Solution: ตามคำถาม เมื่อม้วนเป็นทรงกระบอกที่มีความสูง $a$ ให้รัศมีของฐานทรงกระบอกเป็น $r _ { 1 }$ จากนั้น $2 \pi r _ { 1 } = b$ การแก้สมการสำหรับ $r _ { 1 } = \frac { b } { 2 \pi }$ ให้ปริมาตรของทรงกระบอกเป็น $V _ { a } = \pi r _ { 1 } ^ { 2 } a = \pi \times \left( \frac { b } { 2 \pi } \right) ^ { 2 } a = \frac { a b ^ { 2 } } { 4 \pi }$ เมื่อม้วนเป็นทรงกระบอกที่มีความสูง ${ } ^ { b }$ ให้รัศมีฐานเป็น $r _ { 2 }$ จากนั้น ${ } ^ { 2 \pi r _ { 2 } = a }$ การแก้สมการสำหรับ $r _ { 2 } = \frac { a } { 2 \pi }$ จะได้ปริมาตรของทรงกระบอกเป็น $V _ { b } = \pi r _ { 2 } ^ { 2 } b = \pi \times \left( \frac { a } { 2 \pi } \right) ^ { 2 } b = \frac { a ^ { 2 } b } { 4 \pi }$ นอกจากนี้ เนื่องจาก $a > b$ เป็นจริง จึงสรุปได้ว่า $\frac { a ^ { 2 } b } { 4 \pi } > \frac { a b ^ { 2 } } { 4 \pi }$ เป็นจริง ซึ่งเท่ากับ $V _ { b } > V _ { a }$ ดังนั้น คำตอบที่ถูกต้องคือ ข้อ C [ข้อสังเกตสำคัญ]คำถามนี้เน้นการตรวจสอบการพัฒนาพื้นผิวด้านข้างของทรงกระบอกและการคำนวณปริมาตรของมัน การแก้ปัญหาขึ้นอยู่กับการกำหนดรัศมีของวงกลมฐานทั้งสองอย่างถูกต้องตามที่ระบุในโจทย์ จากนั้นจึงนำสูตรปริมาตรของทรงกระบอกมาใช้ เน้นการทดสอบทักษะการคิดวิเคราะห์และการคำนวณ ซึ่งเป็นปัญหาพื้นฐาน

Question 16: 16. พิจารณาเต็นท์ที่มีส่วนล่างเป็นปริซึมหกเหลี่ยมด้านเท่าที่มีความสูง 1 เมตร และส่วนบนเป็นพีระมิดหกเ...

16. พิจารณาเต็นท์ที่มีส่วนล่างเป็นปริซึมหกเหลี่ยมด้านเท่าที่มีความสูง 1 เมตร และส่วนบนเป็นพีระมิดหกเหลี่ยมด้านเท่าโดยมีความยาวขอบด้านข้าง 3 เมตร (ดังแสดงในภาพ) เมื่อปริมาตรของเต็นท์มีค่าสูงสุด ระยะทางจากยอดของเต็นท์ $O$ ไปยังจุดศูนย์กลางของฐาน ${ } ^ { O } { } _ { 1 }$ คือ ![](/images/questions/solid-geometry/image-008.jpg)

  • A. A. 1 เมตร
  • B. B. $\frac { 3 } { 2 } \mathrm {~m}$
  • C. C. 2 เมตร
  • D. D. 3 เมตร

Answer: C

Solution: ให้ ${ } ^ { O O _ { 1 } }$ เท่ากับ $^ { x \mathrm {~m} }$, จากนั้น $1 < x < 4$. ให้พื้นที่ของฐานหกเหลี่ยมเป็น $S \mathrm {~m} ^ { 2 }$ และปริมาตรของเต็นท์เป็น $V \mathrm {~m} ^ { 3 }$. จากนั้น จากเงื่อนไขที่กำหนด ความยาวขอบของฐานของพีระมิดหกเหลี่ยมด้านเท่าคือ $\sqrt { 3 ^ { 2 } - ( x - 1 ) ^ { 2 } } = \sqrt { 8 + 2 x - x ^ { 2 } } ( \mathrm {~m} )$ ดังนั้น $S = 6 \times \frac { \sqrt { 3 } } { 4 } \left( \sqrt { 8 + 2 x - x ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } = \frac { 3 \sqrt { 3 } } { 2 } \left( 8 + 2 x - x ^ { 2 } \right)$ ดังนั้น $V = \frac { 1 } { 3 } \times \frac { 3 \sqrt { 3 } } { 2 } \left( 8 + 2 x - x ^ { 2 } \right) ( x - 1 ) + \frac { 3 \sqrt { 3 } } { 2 } \times \left( 8 + 2 x - x ^ { 2 } \right)$ $= \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \left( 8 + 2 x - x ^ { 2 } \right) [ ( x - 1 ) + 3 ] = \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \left( 16 + 12 x - x ^ { 3 } \right) ( 1 < x < 4 )$ ดังนั้น $V ^ { \prime } = \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \left( 12 - 3 x ^ { 2 } \right)$ ให้ $V ^ { \prime } = 0$. การแก้สมการจะได้ $x = 2$ หรือ $x = - 2$ (ทิ้งไป) เมื่อ $1 < x < 2$, $V ^ { \prime } > 0 , ~ V$ เพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่อง; เมื่อ $2 < x < 4$ เป็นจริง $V ^ { \prime } < 0 , V$ จะลดลงอย่างต่อเนื่อง ดังนั้น เมื่อ $x = 2 ( \mathrm {~m} )$ เป็นจริง $V$ จะมีค่าสูงสุด

Question 17: 17. ใช้ชิ้นกระดาษที่แสดงในแผนภาพ พับตามรอยพับและติดกาวให้เป็น "โคมไฟม้าหมุน" ทรงสี่หน้าจัตุรัส ชิ้นส...

17. ใช้ชิ้นกระดาษที่แสดงในแผนภาพ พับตามรอยพับและติดกาวให้เป็น "โคมไฟม้าหมุน" ทรงสี่หน้าจัตุรัส ชิ้นสี่เหลี่ยมจะเป็นฐาน และด้านสามเหลี่ยมหนึ่งด้านจะมีตัวอักษร "年" (ปี) เมื่อหมุนโคมไฟ ข้อความ "新年快乐" (สวัสดีปีใหม่) จะปรากฏขึ้น จากนั้น ในตำแหน่ง (1), (2), (3) ควรมีการจารึกด้วย ![](/images/questions/solid-geometry/image-009.jpg) ตามลำดับ

  • A. A. รวดเร็ว สดชื่น น่าประทับใจ
  • B. B. ความสุข ความแปลกใหม่ ความรวดเร็ว
  • C. C. สดชื่น น่ารื่นรมย์ น่าพึงพอใจ
  • D. D. ความสุข ความเพลิดเพลิน ความแปลกใหม่

Answer: A

Solution: จากรูปแบบสี่เหลี่ยมจัตุรัส สามารถเห็นลำดับ 'Happy New Year' ได้อย่างชัดเจน ซึ่งบ่งบอกว่าลำดับคือ (2) ปี (1) (3) ดังนั้นคำตอบที่ถูกต้องคือ ก. [ข้อสังเกตสำคัญ] คำถามนี้ประเมินลักษณะโครงสร้างของรูปแบบสี่เหลี่ยมจัตุรัส ทดสอบความสามารถในการจดจำรูปทรงเรขาคณิตของนักเรียน ถือเป็นการฝึกพื้นฐาน

Question 18: 18. ภาพฉายสามมุมมองของรูปทรงเรขาคณิตแสดงอยู่ในรูป (หน่วย: $m$) ปริมาตรของรูปทรงนี้คือ ( ) $m ^ { 3 }...

18. ภาพฉายสามมุมมองของรูปทรงเรขาคณิตแสดงอยู่ในรูป (หน่วย: $m$) ปริมาตรของรูปทรงนี้คือ ( ) $m ^ { 3 }$ ![](/images/questions/solid-geometry/image-010.jpg) ![](/images/questions/solid-geometry/image-011.jpg)

  • A. A. $2 \pi$
  • B. B. $\frac { 8 \pi } { 3 }$
  • C. C. $3 \pi$
  • D. D. $\frac { 10 \pi } { 3 }$

Answer: B

Solution: จากภาพสามมุมมอง เห็นได้ชัดว่าวัตถุนี้ประกอบด้วยกรวยสองอันที่มีลักษณะเหมือนกันและทรงกระบอก ฐานของกรวยมีรัศมี 1 และความสูง 1 ส่วนความสูงแนวเฉียงของทรงกระบอกคือ 2 และฐานของมันมีรัศมี 1 ดังนั้นปริมาตรของวัตถุคือ $V = 2 \times \frac { 1 } { 3 } \times \pi \times 1 ^ { 2 } \times 1 + \pi \times 1 ^ { 2 } \times 2 = \frac { 8 } { 3 } \pi$ เลือกข้อ B.

Question 19: 20. สร้างสามเหลี่ยมโดยใช้จุดยอดสามจุดใดก็ได้ของปริซึมสามเหลี่ยม เลือกสามเหลี่ยมสองสามเหลี่ยมจากสามเห...

20. สร้างสามเหลี่ยมโดยใช้จุดยอดสามจุดใดก็ได้ของปริซึมสามเหลี่ยม เลือกสามเหลี่ยมสองสามเหลี่ยมจากสามเหลี่ยมที่ได้ จำนวนกรณีที่สองสามเหลี่ยมนี้อยู่ในระนาบเดียวกันคือ ( )

  • A. A. 6 ประเภท
  • B. B. 12 ประเภท
  • C. C. 18 ประเภท
  • D. D. 30 สายพันธุ์

Answer: C

Solution: สำหรับสามเหลี่ยมสองรูปที่จะอยู่ในระนาบเดียวกันได้ รูปสามเหลี่ยมทั้งสองต้องอยู่ในระนาบเดียวกัน ระนาบแต่ละระนาบประกอบด้วยจุดยอดสี่จุด ซึ่งสามารถสร้างรูปสามเหลี่ยมได้สี่รูป การเลือกสามเหลี่ยมสองรูปใด ๆ จะให้ชุดค่าผสมที่เป็นไปได้ $\mathrm { C } _ { 4 } ^ { 2 } = 6$ ชุด เมื่อมีระนาบสามระนาบ สามารถเลือกคู่ของรูปสามเหลี่ยมที่อยู่ในระนาบเดียวกันได้ $6 \times 3 = 18$ คู่

Question 20: 21. หากความยาว ความกว้าง และความสูงของปริซึมสี่เหลี่ยมด้านขนานเป็น $4 , \sqrt { 5 } , 2$ ตามลำดับ แล...

21. หากความยาว ความกว้าง และความสูงของปริซึมสี่เหลี่ยมด้านขนานเป็น $4 , \sqrt { 5 } , 2$ ตามลำดับ และแต่ละมุมของปริซึมอยู่บนผิวของทรงกลม $O$ แล้ว พื้นที่ผิวของทรงกลม $O$ คือ ( )

  • A. A. $18 \pi$
  • B. B. $20 \pi$
  • C. C. $24 \pi$
  • D. D. $25 \pi$

Answer: D

Solution: จากโจทย์ปัญหา ระยะทางจากจุดตัดของเส้นทแยงมุมของวัตถุถึงแต่ละจุดยอดมีค่าเท่ากัน ดังนั้น จุดศูนย์กลางของทรงกลม $O$ จึงตรงกับจุดตัดของเส้นทแยงมุมของวัตถุ รัศมีของทรงกลมคือครึ่งหนึ่งของความยาวเส้นทแยงมุมของวัตถุ กล่าวคือ รัศมีของทรงกลมคือ $O$ รัศมีของทรงกลม $r = \frac { \sqrt { 4 ^ { 2 } + ( \sqrt { 5 } ) ^ { 2 } + 2 ^ { 2 } } } { 2 } = \frac { 5 } { 2 }$ ดังนั้น พื้นที่ผิวของทรงกลม $O$ คือ $O$

Question 21: 23. ตามที่แสดงในแผนภาพ ความยาวด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเล็กบนกระดาษกราฟคือ 1 หลังจากตัดส่วนหนึ่งของลู...

23. ตามที่แสดงในแผนภาพ ความยาวด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเล็กบนกระดาษกราฟคือ 1 หลังจากตัดส่วนหนึ่งของลูกบาศก์ออกไปแล้ว ภาพฉายสามมุมมองของรูปทรงที่เหลืออยู่จะถูกแสดง ปริมาตรของรูปทรงนี้คือ ( ) ![](/images/questions/solid-geometry/image-012.jpg)

  • A. A. 8
  • B. B. 16
  • C. C. $\frac { 16 } { 3 }$
  • D. D. $\frac { 8 \sqrt { 3 } } { 3 }$

Answer: B

Solution: ตามคำอธิบายของคำถาม แผนภาพเชิงสัญชาตญาณของรูปทรงเรขาคณิตแสดงอยู่ในรูป รูปทรงนี้เป็นพีระมิดสี่เหลี่ยม $A - B C D E$ โดยมีโดยมีรูปสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีมุมฉากเป็นฐาน $B C D E$ ความยาวของขอบฐานด้านบนและด้านล่างคือ $4 , 2$ ตามลำดับ และความสูงคือ 4 เนื่องจากความสูงของพีระมิดสี่เหลี่ยมคือ 4 ปริมาตรของของแข็งคือ $\frac { 1 } { 3 } \times \frac { 1 } { 2 } \times ( 2 + 4 ) \times 4 \times 4 = 16$

Question 22: 24. เมื่อให้พีระมิดสามเหลี่ยม $B - P A C$ มีขอบด้านข้างทั้งหมดที่มีความยาวเท่ากัน จุดกึ่งกลางของขอบด...

24. เมื่อให้พีระมิดสามเหลี่ยม $B - P A C$ มีขอบด้านข้างทั้งหมดที่มีความยาวเท่ากัน จุดกึ่งกลางของขอบด้านข้างคือ $D , E , F$ และ $A C$ ตามลำดับ ในขณะที่จุดกึ่งกลางของขอบ $A C$ อยู่บนระนาบ $^ { A B C }$ ที่จุด $G , P B \perp$นอกจากนี้, $A B = 4 , \angle A B C = 120 ^ { \circ }$. หากแต่ละจุดยอดของเตตระฮีดรอน ${ } ^ { D E F G }$ อยู่บนผิวของทรงกลม ${ } ^ { O }$, ความยาวทั้งหมดของเส้นตัดกันระหว่างทรงกลมนี้กับด้านข้างของพีระมิดสามเหลี่ยม $B - P A C$ คือ ( ).

  • A. A. $\frac { 7 \pi } { 3 }$
  • B. B. $\frac { 8 \pi } { 3 }$
  • C. C. $\frac { 10 \pi } { 3 }$
  • D. D. $\frac { 11 \pi } { 3 }$

Answer: C

Solution: ดังแสดงในภาพ: ![](/images/questions/solid-geometry/image-013.jpg) เชื่อมต่อ $B G$ และ $\because A B = B C = B P = 4 , D , E , F , G$ ซึ่งแทนจุดกึ่งกลางของแต่ละขอบตามลำดับ $\angle A B C = 120 ^ { \circ }$ และ $B D = B E = B F = B G = 2$ $\therefore \quad$ และ $\therefore$ ประกอบกันเป็นจุด $B$ ซึ่งเป็นจุดศูนย์กลางของทรงกลม $O$ $\because P B \perp$ แผ่น $A B C$ , $\therefore$ ความยาวทั้งหมดของเส้นตัดระหว่างพื้นผิวทรงกลมและด้านข้างของพีระมิดสามเหลี่ยม $B - P A C$ คือ $\frac { 120 + 90 + 90 } { 360 } \times \pi \times 2 ^ { 2 } = \frac { 10 \pi } { 3 }$ ,

Question 23: 26. หนังสือช่างฝีมือ เขียนโดยนักวิทยาศาสตร์แห่งราชวงศ์หมิง ซ่ง อิงซิง เป็นตำราที่ครอบคลุมเกี่ยวกับวิ...

26. หนังสือช่างฝีมือ เขียนโดยนักวิทยาศาสตร์แห่งราชวงศ์หมิง ซ่ง อิงซิง เป็นตำราที่ครอบคลุมเกี่ยวกับวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี บันทึกวิธีการผลิตกระเบื้องมุงหลังคา ชั้นเรียนปีที่ 10 ของโรงเรียนแห่งหนึ่งวางแผนที่จะฝึกฝนวิธีการนี้ โดยได้เตรียมดินเหนียวสำหรับทำกระเบื้องและแม่พิมพ์ไม้ทรงกระบอกแล้ว เส้นผ่านศูนย์กลางภายนอกของฐานแม่พิมพ์คือ 20 ซม. และความสูงคือ 20 ซม.ขั้นแรก ให้ทาชั้นดินเหนียวให้สม่ำเสมอหนา 2 ซม. บนพื้นผิวด้านนอกของถัง จากนั้นแบ่งชั้นดินเหนียวออกเป็นสี่ส่วนเท่า ๆ กันตามแนวแกนกำเนิดของถัง (ตามที่แสดงในภาพ) เมื่อดินเหนียวแห้งแล้ว จะได้กระเบื้องสี่ชิ้นที่เหมือนกัน แต่ละนักเรียนผลิตกระเบื้องสี่ชิ้น เมื่อมีนักเรียน 500 คนในกลุ่มปีเดียวกัน ปริมาณดินเหนียวที่ต้องการ (ไม่รวมเศษที่สูญเสีย) จะใกล้เคียงกับตัวเลขใดต่อไปนี้มากที่สุด?(ข้อมูลอ้างอิง: $\pi \approx 3.14$) ![](/images/questions/solid-geometry/image-002.jpg) ตัวแบ่ง

  • A. A. $0.8 \mathrm {~m} ^ { 3 }$
  • B. B. $1.4 \mathrm {~m} ^ { 3 }$
  • C. C. $1.8 \mathrm {~m} ^ { 3 }$
  • D. D. $2.2 \mathrm {~m} ^ { 3 }$

Answer: B

Solution: จากเงื่อนไข ปริมาตรของกระเบื้องสี่แผ่นคือ $V = \pi \times 12 ^ { 2 } \times 20 - \pi \times 10 ^ { 2 } \times 20 = 880 \pi \left( \mathrm {~cm} ^ { 3 } \right)$ ดังนั้น สำหรับนักเรียน 500 คน ที่แต่ละคนผลิตกระเบื้อง 4 แผ่น ปริมาตรดินเหนียวทั้งหมดที่ต้องการคือ $500 \times 880 \pi = 440000 \pi \quad \left( \mathrm {~cm} ^ { 3 } \right)$ . นอกจากนี้ $\pi \approx 3.14$ ดังนั้น ปริมาตรดินเหนียวทั้งหมดที่ต้องการคือประมาณ $1.3816 \mathrm {~m} ^ { 3 }$ .

Question 24: 27. เนื่องจากความยาวขอบของลูกบาศก์ $A B C D - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } D _ { 1 }$ คือ 2 และจุด ...

27. เนื่องจากความยาวขอบของลูกบาศก์ $A B C D - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } D _ { 1 }$ คือ 2 และจุด $E$ เป็นจุดกึ่งกลางของขอบ $A B$ ดังนั้นระยะทางจากจุด $A _ { \text {到ระนาบ } } E B _ { 1 } C$ คือ

  • A. A. $\frac { \sqrt { 6 } } { 3 }$
  • B. B. $\frac { \sqrt { 3 } } { 4 }$
  • C. C. $\frac { \sqrt { 6 } } { 6 }$
  • D. D. $\frac { \sqrt { 5 } } { 5 }$

Answer: A

Solution: เนื่องจาก ${ } ^ { E }$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $A B$ ระยะทางไปยัง ${ } _ { \text {到ระนาบ } } E B _ { 1 } C$ จึงเท่ากับระยะทางจาก ${ } ^ { B }$ ไปยังระนาบ ${ } ^ { E B } C$ ให้ระยะทางนี้แทนด้วย $h$ จาก ![](/images/questions/solid-geometry/image-015.jpg) และข้อความปัญหา เราได้ $B _ { 1 } E = C E = \sqrt { 2 ^ { 2 } + 1 ^ { 2 } } = \sqrt { 5 } , B _ { 1 } C = 2 \sqrt { 2 }$ ดังนั้น $S _ { \triangle B _ { 1 } C E } = \frac { 1 } { 2 } \times 2 \sqrt { 2 } \times \sqrt { ( \sqrt { 5 } ) ^ { 2 } - ( \sqrt { 2 } ) ^ { 2 } } = \sqrt { 6 }$ เนื่องจาก $V _ { B _ { 1 } - B C E } = V _ { B - B _ { 1 } C E }$ เราจึงได้ $\frac { 1 } { 3 } \times \left( \frac { 1 } { 2 } \times 1 \times 2 \right) \times 2 = \frac { 1 } { 3 } \times \sqrt { 6 } \times h$ ดังนั้น $h = \frac { \sqrt { 6 } } { 3 }$

Question 25: 28. เมื่อวัตถุหนึ่งมีลักษณะเป็นปริมาตรของกรวยที่ถูกตัดออก โดยมีหน้าตัดตามแนวแกนเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางห...

28. เมื่อวัตถุหนึ่งมีลักษณะเป็นปริมาตรของกรวยที่ถูกตัดออก โดยมีหน้าตัดตามแนวแกนเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูด้านข้างสองข้างเท่ากัน ซึ่งมีฐานบนสูง 2 หน่วย ฐานล่างสูง 4 หน่วย และมีความสูงเฉียง 3 หน่วย พื้นที่ผิวของปริมาตรนี้คือ ![](/images/questions/solid-geometry/image-016.jpg)

  • A. A. $\frac { 14 } { 3 } \pi$
  • B. B. $14 \pi$
  • C. C. $\frac { 7 } { 3 } \pi$
  • D. D. $7 \pi$

Answer: B

Solution: พื้นที่ผิวของปริซึมตัดนี้คือ $S = \pi \left( r _ { 1 } ^ { 2 } + r _ { 2 } ^ { 2 } + r _ { 1 } l + r _ { 2 } l \right) = \pi \left( 1 ^ { 2 } + 2 ^ { 2 } + 1 \times 3 + 2 \times 3 \right) = 14 \pi$

Question 26: 29. พื้นที่ผิวด้านข้างของกรวยมีค่าเป็นสองเท่าของพื้นที่ฐาน พื้นที่มุมศูนย์กลางของส่วนโค้งในผิวด้านข้...

29. พื้นที่ผิวด้านข้างของกรวยมีค่าเป็นสองเท่าของพื้นที่ฐาน พื้นที่มุมศูนย์กลางของส่วนโค้งในผิวด้านข้างของกรวยมีค่าเป็น

  • A. A. $60 ^ { \circ }$
  • B. B. $90 ^ { \circ }$
  • C. C. $120 ^ { \circ }$
  • D. D. $180 ^ { \circ }$

Answer: D

Solution: ให้รัศมีฐานของพีระมิดทรงกลมเป็น $r$ และความสูงเฉียงเป็น $a$ เนื่องจากพื้นที่ผิวด้านข้างเป็นสองเท่าของพื้นที่ฐาน เราจึงมี $\pi r a = 2 \pi r ^ { 2 }$ นอกจากนี้ $2 \pi r = \frac { n \pi a } { 180 ^ { \circ } }$ ให้ผลลัพธ์เป็น $n = 180 ^ { \circ }$

Question 27: 31. เนื่องจากในปริซึมสามเหลี่ยมด้านขวา $\square$ $A B C - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 }$ , $A B \per...

31. เนื่องจากในปริซึมสามเหลี่ยมด้านขวา $\square$ $A B C - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 }$ , $A B \perp B C , A B = 6 , B C = 8$ และปริซึมนี้มีทรงกลมที่เขียนอยู่ภายใน ดังนั้นอัตราส่วนของพื้นที่ผิวของทรงกลมที่เขียนอยู่ภายในต่อพื้นที่ผิวของทรงกลมที่เขียนรอบนอกคือ

  • A. A. $2 : 5$
  • B. B. $4 : 25$
  • C. C. $2 : \sqrt { 29 }$
  • D. D. $4 : 29$

Answer: D

Solution: จากคำถาม เราพบว่ารัศมีของวงกลมที่เขียนในรูปทรงของ ${ } _ { V A B C }$ คือ $\frac { 6 + 8 - 10 } { 2 } = 2$ ดังนั้น สำหรับปริซึมสามเหลี่ยมนี้ที่จะมีทรงกลมที่เขียนในรูปทรงได้ ความสูงของมันต้องเป็น ${ } ^ { A A _ { 1 } = 4 }$ ดังนั้น รัศมีของทรงกลมที่เขียนในรูปทรงคือ ${ } ^ { r = 2 }$ ![](/images/questions/solid-geometry/image-017.jpg) นำจุดกึ่งกลาง ${ } ^ { A C }$ ของ $D , { } ^ { A _ { 1 } C _ { 1 } }$ และจุดกึ่งกลาง ${ } ^ { D _ { 1 } }$ ของ ${ } ^ { D D _ { 1 } }$ จุดกึ่งกลางของ ${ } ^ { D D _ { 1 } }$ คือ $M$ ซึ่งเป็นจุดศูนย์กลางของทรงกลมที่ล้อมรอบ ดังนั้น รัศมีของทรงกลมที่ล้อมรอบคือ $R = \sqrt { 5 ^ { 2 } + 2 ^ { 2 } } = \sqrt { 29 }$ ดังนั้น อัตราส่วนของพื้นที่ผิวของทรงกลมที่บรรจุอยู่ภายในต่อทรงกลมที่ล้อมรอบคือ $4 \pi r ^ { 2 } : 4 \pi R ^ { 2 } = 4 : 29$

Question 28: 32. ตามที่แสดงในแผนภาพ รัศมีของวงกลมฐานของทรงกระบอกคือ $\frac { 2 } { \pi }$ และความสูงคือ ${ } _ { ...

32. ตามที่แสดงในแผนภาพ รัศมีของวงกลมฐานของทรงกระบอกคือ $\frac { 2 } { \pi }$ และความสูงคือ ${ } _ { 2 } , A B , C D$ ซึ่งทั้งสองนี้เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของฐานทั้งสองตามลำดับ โดยที่ $A D B C$ คือความสูงเอียงหากแมลงเริ่มต้นจากจุด $A$ และคลานไปตามด้านข้างไปยังจุด $C$ ให้หาเส้นทางที่สั้นที่สุดที่แมลงใช้ ![](/images/questions/solid-geometry/image-018.jpg)

  • A. A. $\sqrt { 2 }$
  • B. B. $2 \sqrt { 2 }$
  • C. C. 2
  • D. D. $3 \sqrt { 2 }$

Answer: B

Solution: กางพื้นผิวด้านข้างของทรงกระบอกออกตามที่แสดงในแผนภาพ ![](/images/questions/solid-geometry/image-019.jpg) หลังจากกางออกแล้ว ภายในสี่เหลี่ยมผืนผ้า $A B C D ^ { \text {中 } } , A B = \pi \times \frac { 2 } { \pi } = 2 , B C = 2$ จะเห็นจากแผนภาพได้ว่าความยาวที่สั้นที่สุดของเส้นทางที่แมลงคลานคือ $A C = \sqrt { A B ^ { 2 } + B C ^ { 2 } } = \sqrt { 2 ^ { 2 } + 2 ^ { 2 } } = 2 \sqrt { 2 }$

Question 29: 33. ในรูปสี่เหลี่ยมคางหมู $A B C D$, $\angle A B C = 90 ^ { \circ } , A D / / B C , B C = 2 A D = 2 ...

33. ในรูปสี่เหลี่ยมคางหมู $A B C D$, $\angle A B C = 90 ^ { \circ } , A D / / B C , B C = 2 A D = 2 A B = 2$. ปริมาตรของปริมาตรที่เกิดจากการหมุนรูปสี่เหลี่ยมคางหมู $A B C D$ รอบหนึ่งรอบเต็มตามแนวเส้นที่มี $A D$ คือ

  • A. A. $\frac { 2 \pi } { 3 }$
  • B. B. $\frac { 4 \pi } { 3 }$
  • C. C. $\frac { 5 \pi } { 3 }$
  • D. D. $2 \pi$

Answer: C

Solution: ![](/images/questions/solid-geometry/image-020.jpg) ตามคำถาม, วัตถุที่ถูกหมุนได้ถูกแสดงดังต่อไปนี้: ปริมาตรของปริมาตรผสมที่เกิดขึ้นจากการหมุนรูปสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีมุมฉาก ABCD รอบเส้นตรงที่มี AD เป็นเส้นตรง คือการรวมกันของทรงกระบอกที่มีรัศมีฐานเท่ากับ 1 และความสูงเอียงเท่ากับ 2 ซึ่งถูกตัดออกจากกรวยที่มีรัศมีฐานเท่ากับ 1 และความสูงเท่ากับ 1 ดังนั้น ปริมาตรของปริมาตรผสมนี้คือ $V = V _ { \text {圆柱 } } - V _ { \text {圆雉 } } = \pi \times 1 ^ { 2 } \times 2 - \frac { 1 } { 3 } \times \pi \times 1 ^ { 2 } \times 1 = \frac { 5 } { 3 } \pi$

Question 30: 34. ภาพฉายสามด้านของปริมาตรหนึ่งแสดงในรูป ด้านโค้งในมุมมองด้านหน้าเป็นเส้นโค้งครึ่งวงกลม พื้นที่ผิวข...

34. ภาพฉายสามด้านของปริมาตรหนึ่งแสดงในรูป ด้านโค้งในมุมมองด้านหน้าเป็นเส้นโค้งครึ่งวงกลม พื้นที่ผิวของปริมาตรนี้คือ ( ). ![](/images/questions/solid-geometry/image-021.jpg) ![](/images/questions/solid-geometry/image-022.jpg) ![](/images/questions/solid-geometry/image-023.jpg)

  • A. A. $16 + 6 ^ { \sqrt { 2 } } + 4 \pi \mathrm {~cm} ^ { 2 }$
  • B. B. $16 + 6 ^ { \sqrt { 2 } } + 3 \pi \mathrm {~cm} ^ { 2 }$
  • C. C. $10 + 6 ^ { \sqrt { 2 } } + 4 \pi \mathrm {~cm} ^ { 2 }$
  • D. D. $10 + 6 ^ { \sqrt { 2 } } + 3 \pi \mathrm {~cm} ^ { 2 }$

Answer: C

Solution: สร้างรูปทรงที่เกิดจากการหมุนของสามภาพฉาย จากนั้นคำนวณพื้นที่ผิวของมันจากแผนภาพสามมุมมอง สามารถระบุได้ว่าของแข็งนี้ประกอบด้วยปริซึมสามเหลี่ยมและทรงกระบอกครึ่งวงกลม โดยปริซึมสามเหลี่ยมมีฐานเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากด้านเท่าที่มีด้านข้างยาว 2 ซม. และด้านข้างยาว 3 ซม. ส่วนทรงกระบอกครึ่งวงกลมมีรัศมีฐาน 1 ซม. และความสูงเอียง 3 ซม. พื้นที่ผิวคือ $10 + 6 ^ { \sqrt { 2 } } + 4 \pi \left( \mathrm {~cm} ^ { 2 } \right)$

Question 31: 35. จากแผนภาพสามมุมมองของรูปทรงเรขาคณิตที่เรียบง่ายดังแสดง หากปริมาตรของรูปทรงนี้คือ $24 \pi + 48$ พ...

35. จากแผนภาพสามมุมมองของรูปทรงเรขาคณิตที่เรียบง่ายดังแสดง หากปริมาตรของรูปทรงนี้คือ $24 \pi + 48$ พื้นที่ผิวของมันจะเป็น ![](/images/questions/solid-geometry/image-024.jpg) ![](/images/questions/solid-geometry/image-025.jpg) ![](/images/questions/solid-geometry/image-026.jpg)

  • A. A. $24 \pi + 48$
  • B. B. $24 \pi + 90 + 6 \sqrt { 41 }$
  • C. C. $48 \pi + 48$
  • D. D. $24 \pi + 66 + 6 \sqrt { 41 }$

Answer: D

Solution: ของแข็งนี้เป็นการรวมกันของปริซึมและหนึ่งในสี่ของพีระมิดทรงกลม พื้นผิวของมันคือ $V = \frac { 1 } { 3 } \left( \frac { 1 } { 4 } \pi ( 3 r ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \times 3 r \times 3 r \right) \times 4 r = 24 \pi + 48 , ~ r = 2$ ดังนั้น $S = \frac { 1 } { 2 } \times 12 \times 8 + \frac { 1 } { 2 } \times 6 \times 6 + \frac { 1 } { 2 } \times \frac { 1 } { 2 } \pi \times 6 \times 10 + \frac { 1 } { 4 } \pi \times 6 ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \times 6 \sqrt { 2 } \times \sqrt { 100 - 18 } = 66 + 24 \pi + 6 \sqrt { 41 }$ ดังนั้นคำตอบที่ถูกต้องคือ D

Question 32: 37. ภาพฉายสามมุมมองของวัตถุตันหนึ่งชิ้นแสดงอยู่ในรูป รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเล็กแต่ละรูปในรูปมีขนาด 1 ค...

37. ภาพฉายสามมุมมองของวัตถุตันหนึ่งชิ้นแสดงอยู่ในรูป รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเล็กแต่ละรูปในรูปมีขนาด 1 ความจุของวัตถุตันนี้มีค่าเป็น ![](/images/questions/solid-geometry/image-027.jpg)

  • A. A. 60
  • B. B. 48
  • C. C. 24
  • D. D. 20

Answer: C

Solution: ![](/images/questions/solid-geometry/image-028.jpg) จากการฉายภาพสามมุมมอง เห็นได้ชัดว่าวัตถุเป็นปริซึมสามเหลี่ยมที่มีพีระมิดสามเหลี่ยมซึ่งมีฐานเดียวกันถูกตัดออกไปดังที่แสดงไว้ ความสูงของปริซึมสามเหลี่ยมคือ 5 ในขณะที่ความสูงของพีระมิดสามเหลี่ยมที่ถูกตัดออกคือ 3 ฐานของทั้งพีระมิดสามเหลี่ยมและปริซึมสามเหลี่ยมสร้างรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านยาว 3 และ 4 ตามลำดับ $\therefore$ ปริมาตรของรูปทรงตันคือ $V = \frac { 1 } { 2 } \times 3 \times 4 \times 5 - \frac { 1 } { 3 } \times \frac { 1 } { 2 } \times 3 \times 4 \times 3 = 30 - 6 = 24$ ดังนั้นคำตอบที่ถูกต้องคือ C วิธีการเชิงลึก: ปัญหานี้ใช้การฉายภาพสามมุมมองของรูปทรงตันเพื่อประเมินความสามารถในการมองเห็นเชิงพื้นที่และการคิดเชิงนามธรรมของนักเรียน ควบคู่ไปกับสูตรปริมาตรของพีระมิดและปริซึม ซึ่งถือเป็นคำถามที่ท้าทายแผนภาพสามมุมมองเป็นรูปแบบที่พบมากที่สุดในการประเมินทักษะการมองเห็นเชิงพื้นที่ และยังคงเป็นหัวข้อที่พบบ่อยในการสอบเข้ามหาวิทยาลัย กุญแจสำคัญในการแก้ปัญหาเหล่านี้อยู่ที่การสังเกตแผนภาพสามมุมมองและ "แปล" ให้เป็นภาพที่เข้าใจได้โดยสัญชาตญาณ ต้องให้ความสนใจไม่เพียงแต่หลักการพื้นฐานสามประการของแผนภาพสามมุมมอง—"ความสูงเรียงกับความสูง ความยาวเรียงกับความยาว ความกว้างเรียงกับความกว้าง"—แต่ยังรวมถึงผลกระทบของเส้นทึบกับเส้นประ และตำแหน่งที่แตกต่างกันของรูปทรงเรขาคณิตที่เหมือนกันในภาพสามมิติสุดท้าย

Question 33: 38. "เก้าบทแห่งศิลปะคณิตศาสตร์" เป็นผลงานชิ้นเอกทางคณิตศาสตร์ของจีนโบราณที่มีความมั่งคั่งอย่างพิเศษย...

38. "เก้าบทแห่งศิลปะคณิตศาสตร์" เป็นผลงานชิ้นเอกทางคณิตศาสตร์ของจีนโบราณที่มีความมั่งคั่งอย่างพิเศษยิ่ง ในนั้นมีปัญหาดังต่อไปนี้: "ขณะนี้ มีกองถั่วกองอยู่ชิดผนังในลักษณะทรงกรวยตัด ความยาวเส้นโค้งของฐานคือสามจั้ง และความสูงคือเจ็ดฉื่อ ปริมาตรของกองถั่วนี้คือเท่าไร และมีถั่วทั้งหมดกี่หั่ว?เนื่องจาก 1 หูของถั่วเท่ากับ $= 2.43$ ลูกบาศก์ฟุต, 1 จางเท่ากับ $= 10$ ฟุต, และค่าคงที่ของเส้นรอบวงประมาณ 3, จึงประมาณได้ว่าถั่วที่กองขึ้นมามีปริมาณเท่ากับ

  • A. A. 140 หลัง
  • B. B. 142 หลัง
  • C. C. 144 hu
  • D. D. 146 หน่วย

Answer: C

Solution: ตามข้อความปัญหา ให้รัศมีของฐานครึ่งวงกลมของกรวยเป็น $r$ และความยาวของส่วนโค้งของครึ่งวงกลมเป็น $l$ จากนั้นเราจะได้ $\pi r = l$ ซึ่งก็คือ $r = \frac { l } { \pi }$พื้นที่ฐานของกรวยคือ $S = \frac { 1 } { 2 } r l = \frac { l ^ { 2 } } { 2 \pi }$ และ $l = 30$ ฟุต ความสูงของกรวยคือ $h = 7$ ฟุต ดังนั้น ปริมาตรของกรวยคือ $V = \frac { 1 } { 3 } S h = \frac { 1 } { 3 } \cdot \frac { l ^ { 2 } } { 2 \pi } \cdot h \approx \frac { 1 } { 3 } \times \frac { 30 ^ { 2 } } { 2 \times 3 } \times 7 = 350$ (ลูกบาศก์ฟุต) จาก $\frac { 350 } { 2.43 } \approx 144$ เราพบว่าปริมาณถั่วเหลืองเท่ากับ 144 (ฮู) ดังนั้นถั่วเหลืองที่กองอยู่จะมีปริมาณประมาณ 144 (ฮู)

Question 34: 39. เนื่องจากจุดยอดทั้งหมดของเตตระฮีดรอน $S - A B C D$ อยู่บนผิวทรงกลมเดียวกัน และฐานของมัน $A B C D...

39. เนื่องจากจุดยอดทั้งหมดของเตตระฮีดรอน $S - A B C D$ อยู่บนผิวทรงกลมเดียวกัน และฐานของมัน $A B C D$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีจุดศูนย์กลางเดียวกัน $O$ กับทรงกลม ระนาบเดียวกันกับศูนย์กลางของทรงกลม $O$. เมื่อทรงสี่หน้าปริมาตรสูงสุด พื้นที่ผิวของมันเท่ากับ $4 + 4 \sqrt { 3 }$. ดังนั้น ปริมาตรของทรงกลม $O$ เท่ากับ

  • A. A. $\frac { 32 \sqrt { 2 } } { 3 } \pi$
  • B. B. $\frac { 16 \sqrt { 2 } } { 3 } \pi$
  • C. C. $\frac { 8 \sqrt { 2 } } { 3 } \pi$
  • D. D. $\frac { 4 \sqrt { 2 } } { 3 } \pi$

Answer: C

Solution: จุดยอดทั้งหมดของเตตระฮีดรอน $S - A B C D$ อยู่บนผิวทรงกลมเดียวกัน โดยมีฐาน $A B C D$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสและอยู่ในระนาบเดียวกับจุดศูนย์กลางของทรงกลม $O$ ดังนั้นจุดศูนย์กลางของทรงกลม $O$ จึงตรงกับจุดศูนย์กลางของสี่เหลี่ยมจัตุรัส $A B C D$ เมื่อความสูงของเตตระฮีดรอนเท่ากับรัศมีของทรงกลม ปริมาตรของมันจะมีค่าสูงสุด ณ จุดนี้ เตตระฮีดรอนจะเป็นเตตระฮีดรอนที่มีหน้าทุกด้านเท่ากัน ให้รัศมีของทรงกลม $O$ เท่ากับ $R$ แล้ว $| A B | = \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } | A C | = \sqrt { 2 } R$ และ $| S B | = \sqrt { | O B | ^ { 2 } + | S O | ^ { 2 } } = \sqrt { 2 } R$ จะสร้างสามเหลี่ยมด้านเท่า $\triangle S B C$ ดังนั้น $S _ { \triangle S B C } = \frac { 1 } { 2 } | S B | ^ { 2 } \sin 60 ^ { \circ } = \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } R ^ { 2 }$ ดังนั้น พื้นที่ผิวของเตตระฮีดรอนนี้คือ $4 S _ { \triangle S B C } + S _ { A B C D } = 2 \sqrt { 3 } R ^ { 2 } + 2 R ^ { 2 } = 4 + 4 \sqrt { 3 }$; ดังนั้น $R = \sqrt { 2 }$. ดังนั้น ปริมาตรของทรงกลม $O$ คือ $V = \frac { 4 } { 3 } \pi R ^ { 3 } = \frac { 8 \sqrt { 2 } } { 3 } \pi$. ![](/images/questions/solid-geometry/image-029.jpg)

Question 35: 40. สร้างภาชนะทรงกระบอกปิดสนิทที่มีปริมาตร $216 \pi \left( \mathrm {~cm} ^ { 3 } \right)$ โดยใช้วัสด...

40. สร้างภาชนะทรงกระบอกปิดสนิทที่มีปริมาตร $216 \pi \left( \mathrm {~cm} ^ { 3 } \right)$ โดยใช้วัสดุน้อยที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ รัศมีของฐานทรงกระบอกคือ 20.25

  • A. A. 6 เซนติเมตร
  • B. B. $3 \sqrt [ 3 ] { 2 } \mathrm {~cm}$
  • C. C. $3 \sqrt [ 3 ] { 4 } \mathrm {~cm}$
  • D. D. $3 \sqrt { 3 } \mathrm {~cm}$

Answer: C

Solution:
กลับไปที่หัวข้อ

Solid Geometry

空间几何

35 คำถามฝึกหัด

ฝึกฝนกับโจทย์ภาษาจีนเพื่อเตรียมสอบ CSCA คุณสามารถเปิด/ปิดคำแปลได้ขณะฝึก

ภาพรวมหัวข้อ

เรขาคณิตแบบตันเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่ศึกษาเกี่ยวกับจุด เส้น ระนาบ และปริมาตรในปริภูมิสามมิติ รวมถึงความสัมพันธ์ระหว่างกัน ในข้อสอบ CSCA ส่วนนี้มักเกี่ยวข้องกับการคำนวณพื้นที่ผิวและปริมาตรของรูปทรงตันที่พบบ่อย (เช่น รูปทรงกระบอก รูปทรงกรวย และทรงกลม) การระบุและการสร้างภาพจากมุมมองสามภาพ และการประเมินความสัมพันธ์เชิงตำแหน่งในปริภูมิ คำถามมักจะผสมผสานการนำเสนอในรูปแบบกราฟิกกับข้อมูลเชิงตัวเลข ซึ่งต้องการให้ผู้เข้าสอบมีทักษะการมองเห็นเชิงปริภูมิที่แข็งแกร่งและความชำนาญในการประยุกต์ใช้สูตรที่เกี่ยวข้อง

จำนวนคำถาม:35

ประเด็นสำคัญ

  • 1การคำนวณพื้นที่ผิวและปริมาตรสำหรับรูปทรงสามมิติที่พบบ่อย
  • 2การแปลงระหว่างภาพวาดสามมุมมองและการฉายภาพออร์โธกราฟิก
  • 3การกำหนดความขนานและความตั้งฉากระหว่างเส้นตรงและระนาบในอวกาศ
  • 4ปัญหาเกี่ยวกับทรงรูปเรขาคณิตพื้นฐานที่มีทรงกลมล้อมรอบและทรงกลมภายใน

เคล็ดลับการเรียน

ขอแนะนำให้ฝึกฝนการวาดภาพร่างรูปทรงสามมิติด้วยมือ โดยผสมผสานกับการฝึกฝนการสร้างภาพใหม่ในเชิงพื้นที่โดยใช้การฉายภาพสามมุมมอง พร้อมทั้งจดจำสูตรปริมาตรและพื้นที่ผิวของรูปทรงเรขาคณิตที่สำคัญอย่างละเอียดถี่ถ้วน

ทำโจทย์เป็น ≠ สอบผ่าน

ข้อสอบจำลองฉบับเต็ม ตามหลักสูตรทางการ รวมหลายหัวข้อเหมือนสอบจริง

รับข้อสอบจำลอง →

ไม่มีบัตรเครดิต? อีเมลหาเรา: kaiguo370@gmail.com

แหล่งข้อมูลการเรียนรู้ที่เกี่ยวข้อง

คู่มือคณิตศาสตร์
เอกสารเตรียมสอบฉบับสมบูรณ์
คำศัพท์คณิตศาสตร์
ทบทวนคำศัพท์และแนวคิดที่เกี่ยวข้อง

สำรวจการฝึกหัดวิชาอื่นๆ:

ฝึกฟิสิกส์ฝึกเคมี