Probability and Statistics

Question 1

Question 1: 1. เพื่อส่งเสริมจิตวิญญาณของการเคลื่อนไหววันที่สี่พฤษภาคม โรงเรียนได้จัดการแข่งขันการพูดขึ้น จากการว...

1. เพื่อส่งเสริมจิตวิญญาณของการเคลื่อนไหววันที่สี่พฤษภาคม โรงเรียนได้จัดการแข่งขันการพูดขึ้น จากการวิเคราะห์ข้อมูลขนาดใหญ่ พบว่าผลการประกวดมีการแจกแจงตาม ${ } ^ { N ( 70,64 ) }$ จากข้อมูลนี้ เปอร์เซ็นต์ที่ประมาณการของนักเรียนที่ได้คะแนนไม่ต่ำกว่า 86 คือ ( ). ข้อมูลอ้างอิง: $P ( \mu - \sigma < X < \mu + \sigma ) \approx 0.6827 , ~ P ( \mu - 2 \sigma < X < \mu + 2 \sigma ) \approx 0.9545$ , $P ( \mu - 3 \sigma < X < \mu + 3 \sigma ) \approx 0.9973$

A. A. $0.135 \%$
B. B. $0.27 \%$
C. C. $2.275 \%$
D. D. $3.173 \%$

Answer

Answer: C

Solution: ตามคำถาม, $\mu = 70 , \sigma = \sqrt { 64 } = 8$ และ $86 = \mu + 2 \sigma$ เป็นจริง ดังนั้น เปอร์เซ็นต์ของนักเรียนที่ได้คะแนนทดสอบ 86 หรือสูงกว่าคือ: $P ( X \geq 86 ) = P ( X \geq \mu + 2 \sigma ) = \frac { 1 - 0.9545 } { 2 } \times 100 \% = 2.275 \%$

Question 2

Question 2: 2. เมื่อจางหมิงและหลี่ฮวาเล่นเกมด้วยกัน กฎข้อใดต่อไปนี้ไม่ยุติธรรม? ( )

2. เมื่อจางหมิงและหลี่ฮวาเล่นเกมด้วยกัน กฎข้อใดต่อไปนี้ไม่ยุติธรรม? ( )

A. A. ทอยลูกเต๋าหนึ่งลูกที่มีองค์ประกอบสม่ำเสมอ หากตัวเลขที่หงายขึ้นเป็นเลขคี่ จางหมิงจะเป็นฝ่ายชนะ หากตัวเลขที่หงายขึ้นเป็นเลขคู่ หลี่ฮวาจะเป็นฝ่ายชนะ
B. B. เมื่อโยนเหรียญสองเหรียญที่มีน้ำหนักเท่ากันพร้อมกัน จางหมิงจะชนะหากมีเพียงเหรียญเดียวที่หงายหน้าขึ้น; หลี่ฮวาจะชนะหากทั้งสองเหรียญหงายหน้าขึ้น
C. C. จั่วไพ่หนึ่งใบจากสำรับไพ่มาตรฐานที่ไม่มีไพ่โจ๊กเกอร์ หากไพ่เป็นสีแดง จางหมิงชนะ หากไพ่เป็นสีดำ หลี่ฮวาชนะ
D. D. จางหมิงและหลี่ฮวาแต่ละคนเขียนตัวเลขหนึ่งตัว ซึ่งอาจเป็น 0 หรือ 1 หากทั้งสองเขียนตัวเลขเดียวกัน จางหมิงจะเป็นผู้ชนะ; มิฉะนั้น หลี่ฮวาจะเป็นผู้ชนะ

Answer

Answer: B

Solution: วิธีแก้ปัญหา: จางหมิงและหลี่ฮวาเล่นเกมกัน ในสถานการณ์ A พวกเขาทอยลูกเต๋าหนึ่งลูก หากตัวเลขที่หงายขึ้นเป็นเลขคี่ จางหมิงชนะ; หากเป็นเลขคู่ หลี่ฮวาชนะ ความน่าจะเป็นที่จางหมิงจะชนะและหลี่ฮวาจะชนะคือ $p = \frac { 3 } { 6 } = \frac { 1 } { 2 }$ ทั้งคู่ ดังนั้น เกมในสถานการณ์ A จึงเป็นเกมที่ยุติธรรม ในสถานการณ์ B เหรียญสองเหรียญถูกโยนพร้อมกัน หากเหรียญหนึ่งเหรียญแสดงหัว Zhang Ming จะชนะ; หากทั้งสองเหรียญแสดงหัว Li Hua จะชนะ ความน่าจะเป็นที่ Zhang Ming จะชนะคือ $p _ { 1 } = \frac { 1 } { 2 }$ ในขณะที่ความน่าจะเป็นที่ Li Hua จะชนะคือ $\mathrm { p } _ { 2 } = \frac { 1 } { 4 }$ ดังนั้น เกมในสถานการณ์ B จึงไม่ยุติธรรม ในภาษา C การจั่วไพ่หนึ่งใบจากสำรับที่ไม่มีไพ่โจ๊กเกอร์: หากไพ่เป็นสีแดง จางหมิงชนะ; หากไพ่เป็นสีดำ หลี่ฮวาชนะ ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จางหมิงจะชนะและหลี่ฮวาจะชนะคือ $p = \frac { 26 } { 52 } = \frac { 1 } { 2 }$ ดังนั้น เกมในภาษา C จึงเป็นเกมที่ยุติธรรม ในสถานการณ์ D ทั้ง Zhang Ming และ Li Hua จะเขียนเลข 0 หรือ 1 หากทั้งสองเขียนเลขเดียวกัน Zhang Ming จะชนะ; มิฉะนั้น Li Hua จะชนะ ความน่าจะเป็นที่ Zhang Ming จะชนะและ Li Hua จะชนะคือ $p = \frac { 2 } { 4 } = \frac { 1 } { 2 }$ ดังนั้น เกมในสถานการณ์ D จึงเป็นธรรม

Question 3

Question 3: 3. ผู้เล่น A และ B เล่นเกมการส่งไพ่ แต่ละรอบ ทั้งสองจะเลือกไพ่หนึ่งใบจากมือของตนโดยสุ่มพร้อมกัน แล้ว...

3. ผู้เล่น A และ B เล่นเกมการส่งไพ่ แต่ละรอบ ทั้งสองจะเลือกไพ่หนึ่งใบจากมือของตนโดยสุ่มพร้อมกัน แล้วส่งไพ่นั้นให้ผู้เล่นอีกคน ไพ่สองใบในมือของ A มีหมายเลข 1 และ 3 ในขณะที่ไพ่สองใบในมือของ B มีหมายเลข 2 และ 4 หลังจากหนึ่งรอบ ความน่าจะเป็นที่ผลรวมของตัวเลขบนไพ่ในมือของ A จะมากกว่าผลรวมของตัวเลขบนไพ่ในมือของ B คือ ( )

A. A. $\frac { 1 } { 2 }$
B. B. $\frac { 1 } { 4 }$
C. C. $\frac { 3 } { 4 }$
D. D. $\frac { 3 } { 8 }$

Answer

Answer: B

Solution: ค่าของไพ่สองใบที่ผู้เล่น A ถืออยู่จะแทนด้วย $\{ 1,3 \}$ ในขณะที่ค่าของไพ่สองใบที่ผู้เล่น B ถืออยู่จะแทนด้วย $\{ 2,4 \}$ หลังจากหนึ่งรอบ ค่าของไพ่สองใบที่ผู้เล่น A และผู้เล่น B ถืออยู่ตามลำดับคือ: (1) $\{ 2,3 \} , \{ 1,4 \}$ (2) $\{ 4,3 \} , \{ 21 \}$; (3) $\{ 1,2 \} , \{ 3,4 \}$;(4) $\{ 1,4 \} , \{ 2,3 \}$ มีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้สี่อย่าง ในจำนวนนี้ มีผลลัพธ์หนึ่งอย่างที่มีผลรวมของตัวเลขบนไพ่ของผู้เล่น A มากกว่าผลรวมของตัวเลขบนไพ่ของผู้เล่น B ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่ผลรวมของตัวเลขบนไพ่ของผู้เล่น A จะมากกว่าผลรวมของตัวเลขบนไพ่ของผู้เล่น B คือ $\frac { 1 } { 4 }$

Question 4

Question 4: 4. วิธีการแก้ปัญหาผ่านการจำลองแบบสุ่มเรียกว่าวิธีมอนติคาร์โล วิธีการนี้ช่วยให้สามารถดำเนินการทดลองซ้...

4. วิธีการแก้ปัญหาผ่านการจำลองแบบสุ่มเรียกว่าวิธีมอนติคาร์โล วิธีการนี้ช่วยให้สามารถดำเนินการทดลองซ้ำจำนวนมากได้อย่างรวดเร็ว จึงสามารถประมาณความน่าจะเป็นโดยอาศัยความถี่ สองผู้แข่งขัน ผู้เล่น A และผู้เล่น B แข่งขันกันในรูปแบบชนะสองในสามเกมเพื่อหาผู้ชนะ ความน่าจะเป็นที่ผู้เล่น A จะชนะในแต่ละเกมคือ 0.4 ในขณะที่ความน่าจะเป็นที่ผู้เล่น B จะชนะคือ 0.6การใช้คอมพิวเตอร์เพื่อสร้างตัวเลขจำนวนเต็มสุ่มระหว่าง $1 \sim 5$, โดยที่จำนวนสุ่ม 1 หรือ 2 หมายถึงการชนะของผู้เล่น A ในเกมเดียว เนื่องจากมีการเล่นทั้งหมดสามเกม ตัวเลขสุ่มสามตัวจะรวมกันเป็นกลุ่ม กลุ่มเช่นนี้ถูกสร้างขึ้นทั้งหมด 20 กลุ่ม ตามขั้นตอนต่อไปนี้: $\begin{array} { l l l l l l l l l l l l l l l l l } 354 & 151 & 314 & 432 & 125 & 334 & 541 & 112 & 443 & 534 & 312 & 324 & 252 & 525 & 453 & 114 & 344 \end{array}$ 423 123243. จากข้อมูลนี้ ความน่าจะเป็นโดยประมาณที่ผู้เล่น A จะชนะการแข่งขันในที่สุดคือ ().

A. A. 0.40
B. B. 0.35
C. C. 0.30
D. D. 0.25

Answer

Answer: B

Solution: ตามคำถาม ในบรรดาชุดตัวเลขสุ่ม 20 ชุด ชุดที่บ่งชี้ว่าผู้เล่น A ชนะคือ: $151,125,112,312,252$ , 114, 123 รวมทั้งหมด 7 สถานการณ์ ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่คาดการณ์ว่าผู้เล่น A จะชนะการแข่งขันในที่สุดคือ $\frac { 7 } { 20 } = 0.35$

Question 5

Question 5: 5. หากการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม $X$ เป็นดังที่แสดงในตารางด้านล่าง ค่าความคาดหวังทางคณิตศาส...

5. หากการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม $X$ เป็นดังที่แสดงในตารางด้านล่าง ค่าความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ $X$ ของ $E ( X )$ คือ ( ) | $X$ | −1 | 0 | 1 | | :--- | :--- | :--- | :--- | | $P$ | $\frac { 1 } { 4 }$ | $\frac { 1 } { 2 }$ | $\frac { 1 } { 4 }$ |

A. A. 0
B. B. $\frac { 1 } { 4 }$
C. C. $\frac { 1 } { 2 }$
D. D. 1

Answer

Answer: A

Solution: $E ( X ) = - 1 \times \frac { 1 } { 4 } + 0 \times \frac { 1 } { 2 } + 1 \times \frac { 1 } { 4 } = 0$

Question 6

Question 6: 6. สำหรับนักบาสเกตบอล ความน่าจะเป็นที่จะยิงพลาดคือ 0.3 ความน่าจะเป็นที่จะทำคะแนนได้สองแต้มคือ 0.4 แล...

6. สำหรับนักบาสเกตบอล ความน่าจะเป็นที่จะยิงพลาดคือ 0.3 ความน่าจะเป็นที่จะทำคะแนนได้สองแต้มคือ 0.4 และความน่าจะเป็นที่จะทำคะแนนได้สามแต้มคือ 0.3 ค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของคะแนนต่อครั้งยิงของผู้เล่นคือ

A. A. 1.5
B. B. 1.6
C. C. 1.7
D. D. 1.8

Answer

Answer: C

Solution: เป็นผลมาจากสิ่งที่ทราบแล้วว่า $E X = 0 \times 0.3 + 2 \times 0.4 + 3 \times 0.3 = 1.7$

Question 7

Question 7: 7.สถิติเกี่ยวกับความล่าช้าของพนักงานในรัฐวิสาหกิจที่ตั้งอยู่ใน $A , B$ และ $A$ แสดงให้เห็นว่าเวลาของ...

7.สถิติเกี่ยวกับความล่าช้าของพนักงานในรัฐวิสาหกิจที่ตั้งอยู่ใน $A , B$ และ $A$ แสดงให้เห็นว่าเวลาของความล่าช้าในทั้งสองสถานที่มีการกระจายตัวตามปกติ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เวลาเฉลี่ยของความล่าช้าของพนักงานใน $A$ คือ $X$ (หน่วย: $\min ) , \quad X \sim N ( 3,4 )$) โดยมีกราฟที่เกี่ยวข้องคือ $C _ { 1 } , B$ เวลาเฉลี่ยของความล่าช้าของพนักงานใน $A , B$ คือ $Y$ (หน่วย: $\min$) โดยมีกราฟที่เกี่ยวข้องคือ $Y \sim N \left( 2 , \frac { 1 } { 9 } \right)$ เส้นโค้งที่สอดคล้องกันคือ $C _ { 1 } , B$ เส้นโค้งที่สอดคล้องกันคือ $Y$ (หน่วย: $\min$), $Y \sim N \left( 2 , \frac { 1 } { 9 } \right)$, และเส้นโค้งที่สอดคล้องกันคือ $C _ { 2 }$ กราฟใดต่อไปนี้ถูกต้อง? ( )

A. A. ![](/images/questions/probability-statistics/image-001.jpg)
B. B. ![](/images/questions/probability-statistics/image-002.jpg)
C. C. ![](/images/questions/probability-statistics/image-003.jpg)
D. D. ![](/images/questions/probability-statistics/image-004.jpg)

Answer

Answer: D

Solution: จาก $X \sim N ( 3,4 )$ ได้ว่า $\mu _ { 1 } = 3 , \sigma _ { 1 } = 2$; จาก $Y \sim N \left( 2 , \frac { 1 } { 9 } \right)$ ได้ว่า $\mu _ { 2 } = 2 , \sigma _ { 2 } = \frac { 1 } { 3 }$; ตั้งแต่ ${ } ^ { \mu _ { 1 } > \mu _ { 2 } }$, แกนสมมาตรสำหรับเส้นโค้ง ${ } ^ { C _ { 1 } }$ ควรอยู่ทางขวาของเส้นโค้ง ${ } ^ { C _ { 2 } }$, ดังนั้นตัวเลือก A และ B จะถูกตัดออก; นอกจากนี้ เนื่องจาก ${ } ^ { \sigma _ { 1 } > \sigma _ { 2 } }$ เป็นจริง เส้นโค้ง ${ } ^ { C _ { 1 } }$ จึง "สั้นกว่าและกว้างกว่า" เส้นโค้ง ${ } ^ { C _ { 2 } }$ และแสดงการกระจายตัวโดยรวมที่กระจายตัวมากกว่า ดังนั้นจึงตัดตัวเลือก C ออก

Question 8

Question 8: 8. ตัวแปรสุ่ม $X$ และ $Y$ เป็นไปตาม $Y = 2 X + 1$. หาก $D ( X ) = 2$ เป็นจริง, แล้ว $D ( Y ) =$ จะใช...

8. ตัวแปรสุ่ม $X$ และ $Y$ เป็นไปตาม $Y = 2 X + 1$. หาก $D ( X ) = 2$ เป็นจริง, แล้ว $D ( Y ) =$ จะใช้ได้.

A. A. 8
B. B. 5
C. C. 4
D. D. 2

Answer

Answer: A

Question 9

Question 9: 9. เมื่อทอยลูกเต๋าสองลูกที่มีคุณภาพเท่ากัน (ติดป้ายว่า (1) และ (2)) ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ "ตัวเล...

9. เมื่อทอยลูกเต๋าสองลูกที่มีคุณภาพเท่ากัน (ติดป้ายว่า (1) และ (2)) ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ "ตัวเลขบนลูกเต๋า (1) มากกว่าตัวเลขบนลูกเต๋า (2)" จะเกิดขึ้นคือ

A. A. $\frac { 5 } { 12 }$
B. B. $\frac { 1 } { 2 }$
C. C. $\frac { 5 } { 6 }$
D. D. $\frac { 5 } { 9 }$

Answer

Answer: A

Solution: เมื่อทอยลูกเต๋าสองลูกที่มีหน้าเหมือนกันสองลูก ผลรวมของจำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของลูกเต๋าสองลูกคือ $6 \times 6 = 36$ ให้จำนวนจุดบนลูกเต๋า (1) เป็น $a$ และจำนวนจุดบนลูกเต๋า (2) เป็น $b$และจำนวนแต้มบนลูกเต๋า (2) คือ $b$ เหตุการณ์พื้นฐานที่ประกอบเป็นเหตุการณ์สุ่ม "จำนวนแต้มบนลูกเต๋า (1) มากกว่าจำนวนแต้มบนลูกเต๋า (2)" มีดังนี้: $( 2,1 ) , ( 3,1 ) , ( 3,2 ) , ( 4,1 ) , ( 4,2 ) , ( 4,3 ) , ( 5,1 ) ( 5,2 ) , ( 5,3 ) , ( 5,4 ) , ( 6,1 ) , ( 6,2 ) , ( 6,3 ) , ( 6,4 ) , ( 6,5 )$ รวมทั้งหมด 15 ความเป็นไปได้ ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่ต้องการคือ $\frac { 15 } { 36 } = \frac { 5 } { 12 }$

Question 10

Question 10: 10. ถุงหนึ่งใบมีลูกบอลสีแดงหนึ่งลูกและลูกบอลสีดำหนึ่งลูก ซึ่งมีขนาดและรูปร่างเหมือนกันอย่างสมบูรณ์ ม...

10. ถุงหนึ่งใบมีลูกบอลสีแดงหนึ่งลูกและลูกบอลสีดำหนึ่งลูก ซึ่งมีขนาดและรูปร่างเหมือนกันอย่างสมบูรณ์ มีการจับลูกบอลออกจากถุงแบบสุ่มโดยใส่กลับคืนไปครั้งละหนึ่งลูก หากจับได้ลูกบอลสีแดง จะได้ 2 คะแนน หากจับได้ลูกบอลสีดำ จะได้ 1 คะแนน ความน่าจะเป็นที่คะแนนรวมจากการจับลูกบอลทั้งสามครั้งจะได้ 5 คะแนน คือ .

A. A. $\frac { 1 } { 3 }$
B. B. $\frac { 3 } { 8 }$
C. C. $\frac { 1 } { 2 }$
D. D. $\frac { 5 } { 8 }$

Answer

Answer: B

Solution: เมื่อมีการจับสลากสามครั้ง ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้คือ $n = 2 ^ { 3 } = 8$ สถานการณ์ที่ให้คะแนนรวมเป็น 5 คะแนนเกิดขึ้นเมื่อมีการจับลูกบอลสีแดงสองลูกและลูกบอลสีดำหนึ่งลูก ซึ่งมีสามชุดค่าผสมที่เป็นไปได้ ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จะได้คะแนนรวมเป็น 5 คะแนนจากการจับสลากสามครั้งคือ $P = \frac { 3 } { 8 }$

Question 11

Question 11: 11. จากเด็กชายห้าคนและเด็กหญิงสี่คน มีการคัดเลือกบุคคลสองคนเพื่อเข้าร่วมการแข่งขันร้องเพลง ความน่าจะ...

11. จากเด็กชายห้าคนและเด็กหญิงสี่คน มีการคัดเลือกบุคคลสองคนเพื่อเข้าร่วมการแข่งขันร้องเพลง ความน่าจะเป็นที่จะเลือกเด็กชายหนึ่งคนและเด็กหญิงหนึ่งคนอย่างถูกต้องคือ

A. A. $\frac { 4 } { 9 }$
B. B. $\frac { 5 } { 9 }$
C. C. $\frac { 6 } { 9 }$
D. D. $\frac { 7 } { 9 }$

Answer

Answer: B

Question 12

Question 12: 12. ในกรงมีกระต่ายสีขาวสามตัวและกระต่ายสีเทาสองตัว หากปล่อยพวกมันออกมาทีละตัว โดยสมมติว่าแต่ละตัวมีโ...

12. ในกรงมีกระต่ายสีขาวสามตัวและกระต่ายสีเทาสองตัว หากปล่อยพวกมันออกมาทีละตัว โดยสมมติว่าแต่ละตัวมีโอกาสเท่ากันที่จะหนีออกไป ความน่าจะเป็นที่กระต่ายสองตัวแรกที่หนีออกไปจะเป็นกระต่ายสีขาวหนึ่งตัวและกระต่ายสีเทาหนึ่งตัวคือเท่าใด?

A. A. $\frac { 3 } { 5 }$
B. B. $\frac { 4 } { 5 }$
C. C. $\frac { 2 } { 3 }$
D. D. $\frac { 3 } { 4 }$

Answer

Answer: A

Solution: ให้ ${ } ^ { 3 }$ กระต่ายสีขาว และ ${ } ^ { a _ { 1 } , a _ { 2 } , a _ { 3 } } , 2$ กระต่ายสีเทา มีอยู่ โดยมี ${ } ^ { b _ { 1 } , b _ { 2 } }$ กระต่ายทั้งหมด จากนั้นเหตุการณ์พื้นฐานคือ: $\left( a _ { 1 } , a _ { 2 } \right) , \left( a _ { 1 } , a _ { 3 } \right) , \left( a _ { 1 } , b _ { 1 } \right) , \left( a _ { 1 } , b _ { 2 } \right) , \left( a _ { 2 } , a _ { 3 } \right) , \left( a _ { 2 } , b _ { 1 } \right) , \left( a _ { 2 } , b _ { 2 } \right) , \left( a _ { 3 } , b _ { 1 } \right)$ , $\left( a _ { 3 } , b _ { 2 } \right) , \left( b _ { 1 } , b _ { 2 } \right)$ รวมทั้งหมด ${ } ^ { 10 }$ ความเป็นไปได้ ในจำนวนนี้ จำนวนผลลัพธ์ที่กระต่ายสีขาวหนึ่งตัวและกระต่ายสีเทาหนึ่งตัวหนีออกไปก่อนคือ: $\left( a _ { 1 } , b _ { 1 } \right) , \left( a _ { 1 } , b _ { 2 } \right) , \left( a _ { 2 } , b _ { 1 } \right)$ , $\left( a _ { 2 } , b _ { 2 } \right) \left( a _ { 3 } , b _ { 1 } \right) , \left( a _ { 3 } , b _ { 2 } \right)$ รวมทั้งหมด 6 ดังนั้น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ต้องการคือ: $\frac { 6 } { 10 } = \frac { 3 } { 5 }$

Question 13

Question 13: 13. ทอยเหรียญที่มีคุณภาพเท่ากัน $n$ ครั้ง ให้เหตุการณ์ $A =$ แทน "การทอย $n$ ครั้งที่ได้ทั้งหัวและก้...

13. ทอยเหรียญที่มีคุณภาพเท่ากัน $n$ ครั้ง ให้เหตุการณ์ $A =$ แทน "การทอย $n$ ครั้งที่ได้ทั้งหัวและก้อย"และเหตุการณ์ $B =$ "$n$ ครั้งมากที่สุดหนึ่งครั้ง" แล้ว

A. A. เมื่อ $n = 2$ เป็นจริง, $P ( A \bar { B } ) = \frac { 1 } { 2 }$
B. B. เมื่อ $n = 2 ^ { \text {时,事件 } } { } _ { A }$ และเหตุการณ์ ${ } _ { B }$ เป็นอิสระจากกัน
C. C. เมื่อ $n = 3$ เป็นจริง, $P ( A + B ) = \frac { 7 } { 8 }$
D. D. เมื่อ $n = 3 ^ { \text {时,事件 } } { } _ { A }$ เป็นสิ่งที่ไม่สามารถเกิดขึ้นพร้อมกันได้กับเหตุการณ์ ${ } _ { B }$

Answer

Answer: C

Solution: เมื่อ ${ } ^ { n = 2 }$ เกิดขึ้น พื้นที่ตัวอย่างประกอบด้วย ${ } ^ { \Omega _ { 2 } } = \{$ (จริง-จริง), (จริง-เท็จ), (เท็จ-จริง), (เท็จ-เท็จ) $\} , A = \{$ (จริง-เท็จ),(ย้อนกลับ-ย้อนกลับ) $B =$ , $n$ (หัว-ก้อย), (ก้อย-หัว), (ก้อย-ก้อย) ${ } ^ { n = 2 }$ , สำหรับ $\mathrm { A } , ~ \bar { B }$ แทนทั้งสองฝ่ายลงหัวขึ้น, $A \bar { B }$ เป็นเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้, $P ( A \bar { B } ) = 0$ , A ไม่ถูกต้อง; สำหรับ B, $P ( A ) = \frac { 2 } { 4 } = \frac { 1 } { 2 } , P ( B ) = \frac { 3 } { 4 }$ , จากนั้น $P ( A B ) = \frac { 2 } { 4 } = \frac { 1 } { 2 } \neq P ( A ) P ( B )$ , B ไม่ถูกต้อง; เมื่อ ${ } ^ { n = 3 }$ เกิดขึ้น พื้นที่ตัวอย่าง ${ } ^ { \Omega _ { 3 } } = \{$ ประกอบด้วย: (หัว-หัว-หัว), (หัว-หัว-ก้อย), (หัว-ก้อย-หัว), (ก้อย-หัว-หัว), (หัว-ก้อย-ก้อย), (ก้อย-หัว-ก้อย), (ก้อย-หัว-ก้อย), (ก้อย-ก้อย-ก้อย) ${ } ^ { \text {S } }$; $P ( A ) = \frac { 2 } { 4 } = \frac { 1 } { 2 } , P ( B ) = \frac { 3 } { 4 }$ (DDF), (DFD), (DFD), (DFD), (DFD), (DFD) $P ( A B ) = \frac { 2 } { 4 } = \frac { 1 } { 2 } \neq P ( A ) P ( B )$, ${ } ^ { n = 3 }$ สำหรับ C, $P ( \overline { A + B } ) = \frac { 1 } { 8 }$ , จากนั้น $P ( A + B ) = 1 - P ( \overline { A + B } ) = \frac { 7 } { 8 }$ ค่าของ C ถูกต้อง; สำหรับ D, เหตุการณ์ $A$ และ $B$ อาจเกิดขึ้นพร้อมกันได้ ค่าของ D ไม่ถูกต้อง

Question 14

Question 14: 14. จากสำรับไพ่มาตรฐาน 52 ใบ โดยไม่รวมไพ่โจ๊กเกอร์ จะทำการจั่วไพ่สามครั้งติดต่อกันโดยไม่ใส่ไพ่กลับคื...

14. จากสำรับไพ่มาตรฐาน 52 ใบ โดยไม่รวมไพ่โจ๊กเกอร์ จะทำการจั่วไพ่สามครั้งติดต่อกันโดยไม่ใส่ไพ่กลับคืน แต่ละครั้งจะได้ไพ่หนึ่งใบ หากไพ่สองใบแรกได้ $K$ ความน่าจะเป็นของการจั่วไพ่ใบที่สามได้ $A$ คือ .

A. A. $\frac { 1 } { 25 }$
B. B. $\frac { 2 } { 25 }$
C. C. $\frac { 3 } { 25 }$
D. D. $\frac { 3 } { 50 }$

Answer

Answer: B

Question 15

Question 15: 15. ความน่าจะเป็นที่หนึ่งในสองตัวเลข ซึ่งเลือกตามลำดับแบบสุ่มจากเซต {1, 2, 3, 4} จะมีค่าเป็นสองเท่าข...

15. ความน่าจะเป็นที่หนึ่งในสองตัวเลข ซึ่งเลือกตามลำดับแบบสุ่มจากเซต {1, 2, 3, 4} จะมีค่าเป็นสองเท่าของอีกตัวเลขหนึ่งคือ .

A. A. $\frac { 1 } { 6 }$
B. B. $\frac { 1 } { 3 }$
C. C. $\frac { 1 } { 9 }$
D. D. $\frac { 1 } { 2 }$

Answer

Answer: B

Solution: การเลือกตัวเลขสองตัวแบบสุ่มจากตัวเลขสี่ตัว $1,2,3,4$ จะได้ชุดตัวเลขที่เป็นไปได้ ${ } ^ { C _ { 4 } ^ { 2 } }$ ชุด ในจำนวนนี้ มีเพียงสองคู่เท่านั้นที่ให้ผลลัพธ์ที่หนึ่งตัวเลขเป็นสองเท่าของอีกตัวเลขหนึ่ง: 1 และ 2; 2 และ 4 ซึ่งการเลือกเช่นนี้มีสองกรณี ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่หนึ่งตัวเลขจะเป็นสองเท่าของอีกตัวเลขหนึ่งคือ $\frac { 2 } { 6 } = \frac { 1 } { 3 }$

Question 16

Question 16: 16. ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง?

16. ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง?

A. A. โรงเรียนมัธยมศึกษาแห่งหนึ่งมีความประสงค์จะใช้การสุ่มตัวอย่างแบบแบ่งชั้น (stratified sampling) เพื่อคัดเลือกนักเรียนจำนวน 60 คน จากนักเรียนทั้งสามกลุ่มชั้นปี เพื่อประเมินความสนใจของนักเรียนในการเข้าร่วมกิจกรรมทางสังคมประเภทหนึ่ง โดยทราบว่าอัตราส่วนของนักเรียนชั้นปีที่ 10, 11 และ 12 คือ $5 : 4 : 3$ ดังนั้นควรสุ่มนักเรียนจากชั้นปีที่ 12 จำนวน 14 คน
B. B. ในจำนวนสินค้า 10 ชิ้น มีสินค้าแท้ 8 ชิ้น และสินค้าชำรุด 2 ชิ้น หากเลือกสินค้า 2 ชิ้น จากสินค้า 10 ชิ้นนี้ ความน่าจะเป็นที่จะเลือกสินค้าชำรุดได้เพียง 1 ชิ้น คือ $\frac { 1 } { 3 }$
C. C. หากตัวแปรสุ่ม $X$ มีการแจกแจงแบบปกติ ${ } ^ { N \left( 2 , \sigma ^ { 2 } \right) } , P ( X < 5 ) = 0.86$ แล้ว $P ( X \leq - 1 ) = 0.14$
D. D. ให้น้ำหนัก ${ } ^ { y }$ (หน่วย: กก.) และความสูง $x$ (หน่วย: ซม.) ของนักเรียนชายในโรงเรียนแห่งหนึ่ง(หน่วย: ซม.) แสดงความสัมพันธ์เชิงเส้น จากชุดข้อมูลตัวอย่าง $P ( X \geq 5 ) = 1 - 0.86 = 0.14$ สมการถดถอยที่สร้างขึ้นโดยใช้วิธีกำลังสองน้อยที่สุดคือ $P ( X \leq - 1 ) = P ( X \geq 5 ) = 0.14$ หากนักเรียนชายในโรงเรียนนี้มีความสูง 170 ซม. สามารถกำหนดได้ว่าน้ำหนักของเขาคือ 62.5 กก.

Answer

Answer: C

Solution: สำหรับ A. $60 \times \frac { 3 } { 12 } = 15$ ควรเลือกนักเรียนจากชั้นปีที่ 13, A ไม่ถูกต้อง; สำหรับ B. ความน่าจะเป็นที่ต้องการ $P = \frac { C _ { 8 } ^ { 1 } C _ { 2 } ^ { 1 } } { C _ { 10 } ^ { 2 } } = \frac { 16 } { 45 } , \mathrm {~B}$ ไม่ถูกต้อง; สำหรับ C, $P ( X \geq 5 ) = 1 - 0.86 = 0.14$ ดังนั้น $P ( X \leq - 1 ) = P ( X \geq 5 ) = 0.14$ ค่าของ C จึงถูกต้อง สำหรับ D, ค่าที่ได้จากสมการถดถอยเป็นค่าประมาณ ดังนั้นจึงไม่สามารถยืนยันได้ว่าน้ำหนักคือ 62.5 กิโลกรัม ค่าของ D จึงไม่ถูกต้อง

Question 17

Question 17: 17. สำหรับตัวแปรสุ่ม $X \sim B ( n , p )$, หาก $E ( X ) = 1 , D ( X ) = \frac { 3 } { 4 }$ เป็นจริง,...

17. สำหรับตัวแปรสุ่ม $X \sim B ( n , p )$, หาก $E ( X ) = 1 , D ( X ) = \frac { 3 } { 4 }$ เป็นจริง, แล้ว $P ( X = 3 ) =$

A. A. $\frac { 1 } { 16 }$
B. B. $\frac { 3 } { 64 }$
C. C. $\frac { 1 } { 64 }$
D. D. $\frac { 3 } { 256 }$

Answer

Answer: B

Solution: เนื่องจาก $X \sim B ( n , p )$ ดังนั้น $E ( X ) = n p = 1 , D ( X ) = n p ( 1 - p ) = \frac { 3 } { 4 }$ การแก้สมการจะได้ $p = \frac { 1 } { 4 } , n = 4$ ดังนั้น $P ( X = 3 ) = \mathrm { C } _ { 4 } ^ { 3 } \left( \frac { 1 } { 4 } \right) ^ { 3 } \left( \frac { 3 } { 4 } \right) ^ { 1 } = \frac { 3 } { 64 }$

Question 18

Question 18: 18. ในถุงทึบแสงที่มีลูกบอลสีแดง 2 ลูก และลูกบอลสีขาว 3 ลูก ซึ่งเหมือนกันทุกประการยกเว้นสี ความน่าจะเ...

18. ในถุงทึบแสงที่มีลูกบอลสีแดง 2 ลูก และลูกบอลสีขาว 3 ลูก ซึ่งเหมือนกันทุกประการยกเว้นสี ความน่าจะเป็นที่ลูกบอลที่จับได้ทั้งสองลูกเป็นสีขาวคือ

A. A. $\frac { 3 } { 10 }$
B. B. $\frac { 1 } { 10 }$
C. C. $\frac { 1 } { 5 }$
D. D. $\frac { 2 } { 5 }$

Answer

Answer: A

Solution: ให้ลูกบอลสีแดงสองลูกถูกแทนด้วย $a , b$ และลูกบอลสีขาวสามลูกถูกแทนด้วย $A , B , C$ เมื่อมีการสุ่มจับลูกบอลสองลูกจากชุดนี้ จำนวนเหตุการณ์พื้นฐานทั้งหมดคือ: $a b , a A , a B , a C , b A , b B , b C , A B , A C , B C$ ซึ่งเท่ากับ 10 ความเป็นไปได้ ในจำนวนนี้ เหตุการณ์ "การเลือกลูกบอลสีขาวสองลูกแบบสุ่ม" ครอบคลุมเหตุการณ์พื้นฐานดังต่อไปนี้: $A B , A C , B C$ รวมทั้งหมด 3 ความเป็นไปได้ ดังนั้น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ต้องการคือ $P = \frac { 3 } { 10 }$

Question 19

Question 19: 19. หลังจากที่บทเรียนสิ้นสุดลง นักเรียนหญิงสองคนและนักเรียนชายหนึ่งคนยังคงอยู่ในห้องเรียน หากพวกเขาอ...

19. หลังจากที่บทเรียนสิ้นสุดลง นักเรียนหญิงสองคนและนักเรียนชายหนึ่งคนยังคงอยู่ในห้องเรียน หากพวกเขาออกจากห้องเรียนตามลำดับ ความน่าจะเป็นที่คนที่สองที่ออกไปจะเป็นนักเรียนชายคือ

A. A. $\frac { 1 } { 6 }$
B. B. $\frac { 1 } { 5 }$
C. C. $\frac { 1 } { 2 }$
D. D. $\frac { 1 } { 3 }$

Answer

Answer: D

Solution: ${ } ^ { 2 }$ นักเรียนหญิงถูกแทนด้วย ${ } ^ { a } , b$ และ $1 _ { \text {位男同学记为 } } { } ^ { A }$ ตามลำดับ เหตุการณ์พื้นฐานประกอบด้วย: ${ } ^ { ( a , b , A ) }$ และ $( a , A , b ) , ( A , a , b ) , ( A , b , a ) , ( b , a , A ) , ( b , A , a ) , { } ^ { \text {共 } } { } ^ { 6 }$ ประเภท เหตุการณ์ "คนที่สองที่ออกจากห้องเป็นนักเรียนชาย" ประกอบด้วยเหตุการณ์พื้นฐานดังต่อไปนี้: $( a , A , b ) , ~ ( b , A , a )$ รวมทั้งสิ้น 2 ประเภท ดังนั้น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่กล่าวถึงคือ $P = \frac { 2 } { 6 } = \frac { 1 } { 3 }$

Question 20

Question 20: 20. ข้อใดต่อไปนี้เกี่ยวกับตัวแปรสุ่ม $X$ ที่ถูกต้อง? ( ) ให้ $X$ แทนจำนวนครั้งที่เหตุการณ์ $A$ เกิดข...

20. ข้อใดต่อไปนี้เกี่ยวกับตัวแปรสุ่ม $X$ ที่ถูกต้อง? ( ) ให้ $X$ แทนจำนวนครั้งที่เหตุการณ์ $A$ เกิดขึ้น แล้วการแจกแจงของ $X$ คือ $P ( X = k ) = p ^ { k } ( 1 - p ) ^ { n - k } , ~ k = 0,1,2 , \mathrm {~L} , n$ (คืน), โดยที่ $X$ หมายถึงจำนวนสินค้าที่มีข้อบกพร่องในบรรดาผลิตภัณฑ์ $n$ ที่สุ่มตัวอย่างมา, ดังนั้นการแจกแจงของ $X$ คือ $P ( X = k ) = \frac { \mathrm { C } _ { M } ^ { k } \mathrm { C } _ { N - M } ^ { n - k } } { \mathrm { C } _ { N } ^ { n } }$ , $k = m , m + 1 , m + 2 , \cdots , r$ โดยที่ $n , N , M \in \mathrm {~N} ^ { * } , M \leq N , n \leq N \quad , m = \max \{ 0 , n + M - N \}$ $r = \min \{ n , M \}$ $E ( X ) = n p$ $A$ หมายถึงจำนวนครั้งที่ทดลองจนประสบความสำเร็จครั้งแรก จากนั้น $P ( X = k ) = \mathrm { C } _ { n } ^ { k } p ^ { k } ( 1 - p ) ^ { n - k } , k = 1,2 , \cdots , n$

A. A. โดยทั่วไป ในการทดลองแบบเบิร์นูลีใน ${ } ^ { n }$ ให้ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ $A$ ที่เกิดขึ้นในแต่ละการทดลองเป็น $p ( 0 < p < 1 )$
B. B. สมมติว่ามีผลิตภัณฑ์ชุดหนึ่งประกอบด้วย $N$ ชิ้น ซึ่งในจำนวนนี้มีสินค้าชำรุด $M$ ชิ้น จากนั้นสุ่มเลือกสินค้าจำนวน $n$ ชิ้น จากสินค้าที่เหลืออยู่ $N$ ชิ้น (โดยไม่คืนสินค้าเดิมกลับเข้าไป)
C. C. หากการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม $X$ เป็น $P ( X = 2 k ) = \mathrm { C } _ { n } ^ { k } p ^ { k } ( 1 - p ) ^ { n - k } , k = 0,1,2 , \mathrm {~L} , n$ แล้ว
D. D. หากมีการทดลองแบบเบอร์นูลลี โดยมีความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ $A$ เกิดขึ้นในแต่ละการทดลองเป็น $p ( 0 < p < 1 )$ ให้ $X$ แทนเหตุการณ์นั้น

Answer

Answer: B

Solution: สำหรับ A, $P ( X = k ) = \mathrm { C } _ { n } ^ { k } p ^ { k } ( 1 - p ) ^ { n - k } , k = 0,1,2 , \mathrm {~L} , n$ เป็นจริง ดังนั้น A จึงไม่ถูกต้อง; สำหรับ B, โดยนิยามของการแจกแจงแบบไฮเพอร์จีโอเมตริก, B ถูกต้อง; สำหรับ C ให้ $Y = k$; จากนั้น $P ( Y ) = \mathrm { C } _ { n } ^ { k } p ^ { k } ( 1 - p ) ^ { n - k } , ~ k = 0,1,2 , \mathrm {~L} , n$; นอกจากนี้ $X = 2 Y$; ดังนั้น $E ( X ) = E ( 2 Y ) = 2 E ( Y ) = 2 n p$; ดังนั้น C จึงไม่ถูกต้อง; สำหรับ D ตามคำจำกัดความเรามี $P ( X = k ) = ( 1 - p ) ^ { k - 1 } p$; ดังนั้น D จึงไม่ถูกต้อง;

Question 21

Question 21: 21. หากตัวแปรสุ่ม $\xi _ { \text {满足 } } E ( 1 - \xi ) = 4 , D ( 1 - \xi ) = 4$ . ดังนั้น ข้อใดต่อไป...

21. หากตัวแปรสุ่ม $\xi _ { \text {满足 } } E ( 1 - \xi ) = 4 , D ( 1 - \xi ) = 4$ . ดังนั้น ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง? ( )

A. A. $E ( \xi ) = - 4 , D ( \xi ) = 4$
B. B. $E ( \xi ) = - 3 , D ( \xi ) = 3$
C. C. $E ( \xi ) = - 4 , D ( \xi ) = - 4$
D. D. $E ( \xi ) = - 3 , D ( \xi ) = 4$

Answer

Answer: D

Solution: สำหรับตัวแปรสุ่ม $\xi _ { \text {满足 } } E ( 1 - \xi ) = 4 , D ( 1 - \xi ) = 4$, ดังนั้น $1 - E ( \xi ) = 4 , ( - 1 ) ^ { 2 } D ( \xi ) = 4$ จึงเป็นจริง ซึ่งเราสามารถอนุมาน $E ( \xi ) = - 3 , D ( \xi ) = 4$ ได้จากนี้

Question 22

Question 22: 22. พิพิธภัณฑ์อักษรจีนจัดแสดงตัวอย่างที่ดีที่สุดของตัวอักษรจีนจากทุกราชวงศ์ นำเสนอให้โลกได้เห็นผ่านเ...

22. พิพิธภัณฑ์อักษรจีนจัดแสดงตัวอย่างที่ดีที่สุดของตัวอักษรจีนจากทุกราชวงศ์ นำเสนอให้โลกได้เห็นผ่านเอกสารที่ครอบคลุมถึงสายพันธุ์ที่ไม่ขาดตอนของตัวอักษรจีนและอารยธรรมอันรุ่งเรืองของประเทศ พิพิธภัณฑ์มีคอลเลกชันที่สำคัญซึ่งแบ่งออกเป็นเก้าประเภทหลัก ได้แก่ เครื่องทองสัมฤทธิ์, หลักศิลาจารึก, เหรียญ, เครื่องปั้นดินเผา, เครื่องประดับจากหยกและหิน, กระดูกพยากรณ์, ไม้ไผ่และไม้, กระดาษ, และเครื่องเคลือบ.เสี่ยวหมิงไปเยี่ยมชมพิพิธภัณฑ์อักษรจีนและเลือกวัตถุโบราณที่สำคัญสามประเภทเพื่อชมอย่างละเอียด ความน่าจะเป็นที่เสี่ยวหมิงจะชมวัตถุโบราณอย่างน้อยหนึ่งประเภทจากประเภทหลัก ได้แก่ แท่งหินจารึก กระดูกพยากรณ์ และเครื่องเคลือบดินเผา คือ ( )

A. A. $\frac { 6 } { 7 }$
B. B. $\frac { 16 } { 21 }$
C. C. $\frac { 5 } { 7 }$
D. D. $\frac { 2 } { 3 }$

Answer

Answer: B

Solution: วิธีแก้ปัญหา: การเลือก 3 หมวดหมู่จาก 9 หมวดหมู่ที่เป็นไปได้ จะให้ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ $C _ { 9 } ^ { 3 } = 84$ แบบที่ไม่ซ้ำกัน เมื่อไม่เลือกหมวดหมู่ทั้งสาม—แผ่นจารึกหิน กระดูกพยากรณ์ และเครื่องลายคราม—จะได้ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ $C _ { 6 } ^ { 3 } = 20$ แบบที่ไม่ซ้ำกัน ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่ต้องการคือ $P = \frac { 84 - 20 } { 84 } = \frac { 16 } { 21 }$

Question 23

Question 23: 23.เนื่องจากความน่าจะเป็นในการถูกรางวัลของการจับสลากคือ $\frac { 1 } { 2 }$ และการจับสลากแต่ละครั้งเ...

23.เนื่องจากความน่าจะเป็นในการถูกรางวัลของการจับสลากคือ $\frac { 1 } { 2 }$ และการจับสลากแต่ละครั้งเป็นอิสระจากกัน ให้สร้างลำดับ $\left\{ c _ { n } \right\}$ ให้เป็นไปตาม $c _ { n } = \left\{ \begin{array} { l } 1 , \text { 第 } n \text { 次中奖,} \\ - 1 , \text { 第 } n \text { 次未中奖 } \end{array} \right.$ ให้ $S _ { n } = c _ { 1 } + c _ { 2 } + \cdots + c _ { n } \left( n \in \mathbf { N } ^ { * } \right)$ แทนลำดับนั้น ความน่าจะเป็นที่ $\left| S _ { 5 } \right| = 1$ เป็นจริงคือ ( )

A. A. $\frac { 5 } { 8 }$
B. B. $\frac { 1 } { 2 }$
C. C. $\frac { 5 } { 16 }$
D. D. $\frac { 3 } { 4 }$

Answer

Answer: A

Solution: จาก $\left| S _ { 5 } \right| = 1$, เราได้ $S _ { 5 } = \pm 1$. หลังจากทำการจับสลากห้าครั้ง ผลลัพธ์คือ: ชนะสามครั้งและแพ้สองครั้ง หรือชนะสองครั้งและแพ้สามครั้ง ดังนั้น, $\left| S _ { 5 } \right| = 1 _ { \text {的概率为 } } P = \frac { \mathrm { C } _ { 5 } ^ { 3 } + \mathrm { C } _ { 5 } ^ { 2 } } { 2 ^ { 5 } } = \frac { 5 } { 8 }$.

Question 24

Question 24: 24. เนื่องจากตัวแปรสุ่ม $\xi$ เป็นไปตาม $P ( \xi = 0 ) = 1 - p , P ( \xi = 1 ) = p$ และ $0 < p < \fr...

24. เนื่องจากตัวแปรสุ่ม $\xi$ เป็นไปตาม $P ( \xi = 0 ) = 1 - p , P ( \xi = 1 ) = p$ และ $0 < p < \frac { 1 } { 2 }$ ให้ตัวแปรสุ่มเป็น $\eta = \xi - E ( \xi ) \mid$; ดังนั้น

A. A. $E ( \eta ) < E ( \xi )$
B. B. $E ( \eta ) > E ( \xi )$
C. C. $E ( \eta ) = E ( \xi )$
D. D. ${ } ^ { E ( \eta ) }$ และ $^ { E ( \xi ) }$ มีขนาดที่ไม่สามารถระบุได้

Answer

Answer: B

Solution: จากโจทย์ปัญหา $E ( \xi ) = 0 \cdot P ( \xi = 0 ) + 1 \cdot P ( \xi = 1 ) = 0 \times ( 1 - p ) + 1 \times p = p$; จาก ${ } ^ { \eta = | \xi - E ( \xi ) | }$, เมื่อ ${ } ^ { \xi = 0 }$ เป็นจริง, ดังนั้น $\eta = p$; เมื่อ ${ } ^ { \xi = 1 }$ เป็นจริง, ดังนั้น $\eta = 1 - p$. ดังนั้น, $P ( \eta = p ) = 1 - p , ~ P ( \eta = 1 - p ) = p$, $E ( \eta ) = p \cdot P ( \eta = p ) + ( 1 - p ) \cdot P ( \eta = 1 - p ) = 2 p ( 1 - p )$, $E ( \xi ) - E ( \eta ) = p ( 2 p - 1 )$ จาก $0 < p < \frac { 1 } { 2 }$ จากนั้น $p ( 2 p - 1 ) < 0$ ดังนั้น ${ } ^ { E ( \xi ) < E ( \eta ) }$

Question 25

Question 25: 25. หากตัวแปรสุ่ม $X$ มีการแจกแจงแบบปกติ $N \left( 2 , \sigma ^ { 2 } \right)$ และ $2 P ( X \geq 3 )...

25. หากตัวแปรสุ่ม $X$ มีการแจกแจงแบบปกติ $N \left( 2 , \sigma ^ { 2 } \right)$ และ $2 P ( X \geq 3 ) = P ( 1 \leq x \leq 2 ) , P ( X < 3 ) =$

A. A. $\frac { 1 } { 3 }$
B. B. $\frac { 5 } { 6 }$
C. C. $\frac { 1 } { 6 }$
D. D. $\frac { 2 } { 3 }$

Answer

Answer: B

Solution: ให้ $P ( X \geq 3 ) = x$ เป็นจริง แล้ว $P ( 1 \leq X \leq 2 ) = 2 x$ เป็นจริง ด้วยสมมาตร $P ( 2 \leq X \leq 3 ) = 2 x$ เป็นจริง ดังนั้น $P ( X \geq 2 ) = 3 x = 0.5$ เป็นจริง ซึ่งหมายความว่า $P ( X \geq 3 ) = \frac { 1 } { 6 }$ เป็นจริง ดังนั้น $P ( X < 3 ) = \frac { 5 } { 6 }$ เป็นจริง

Question 26

Question 26: 26. ความน่าจะเป็นในการเลือกคู่สมรสหนึ่งคู่พอดีเมื่อสุ่มเลือกบุคคลสองคนจากคู่สมรสสามคู่เพื่อเข้าร่วมก...

26. ความน่าจะเป็นในการเลือกคู่สมรสหนึ่งคู่พอดีเมื่อสุ่มเลือกบุคคลสองคนจากคู่สมรสสามคู่เพื่อเข้าร่วมกิจกรรมสัมภาษณ์คือ

A. A. $\frac { 1 } { 6 }$
B. B. $\frac { 1 } { 5 }$
C. C. $\frac { 1 } { 4 }$
D. D. $\frac { 1 } { 3 }$

Answer

Answer: B

Solution: วิธีแก้ปัญหา: ให้ $\left( a _ { 1 } , a _ { 2 } \right) , \left( b _ { 1 } , b _ { 2 } \right) , \left( c _ { 1 } , c _ { 2 } \right)$ แทนคู่สามคู่ตามลำดับ จำนวนวิธีในการสุ่มเลือกบุคคลสองคนจากแต่ละคู่เพื่อเข้าร่วมกิจกรรมสัมภาษณ์คือ: $\left( a _ { 1 } , a _ { 2 } \right) , \left( a _ { 1 } , b _ { 1 } \right) , \left( a _ { 1 } , b _ { 2 } \right) , \left( a _ { 1 } , c _ { 1 } \right) , \left( a _ { 1 } , c _ { 2 } \right)$ และ $\left( a _ { 2 } , b _ { 1 } \right) , \left( a _ { 2 } , b _ { 2 } \right) , \left( a _ { 2 } , c _ { 1 } \right) , \left( a _ { 2 } , c _ { 2 } \right) , \left( b _ { 1 } , b _ { 2 } \right) , \left( b _ { 1 } , c _ { 1 } \right) , \left( b _ { 1 } , c _ { 2 } \right) , \left( b _ { 2 } , c _ { 1 } \right) , \left( b _ { 2 } , c _ { 2 } \right) , \left( c _ { 1 } , c _ { 2 } \right)$ รวมทั้งสิ้น 15 วิธี ในจำนวนนี้ ความน่าจะเป็นในการเลือกคู่หนึ่งคู่พอดีคือ $\left( a _ { 1 } , a _ { 2 } \right) , \left( b _ { 1 } , b _ { 2 } \right) , \left( c _ { 1 } , c _ { 2 } \right)$ ซึ่งรวมทั้งหมด 3 ความเป็นไปได้ ดังนั้น ความน่าจะเป็นในการเลือกคู่หนึ่งคู่พอดีคือ $P = \frac { 3 } { 15 } = \frac { 1 } { 5 }$

Question 27

Question 27: 27. เด็กคนหนึ่งเล่นเกมกระโดดข้ามเหรียญโดยใช้กฎดังต่อไปนี้: ทอยเหรียญ; หากหัวขึ้น กระโดดไปข้างหน้าสอง...

27. เด็กคนหนึ่งเล่นเกมกระโดดข้ามเหรียญโดยใช้กฎดังต่อไปนี้: ทอยเหรียญ; หากหัวขึ้น กระโดดไปข้างหน้าสองช่อง; หากก้อยขึ้น กระโดดไปข้างหน้าหนึ่งช่องการบันทึกการกระโดดครั้งที่ $n$ อาจให้ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ $a _ { n }$ ผลลัพธ์ ผลรวมของ $n$ ครั้งแรกของ $\left\{ a _ { n } \right\}$ เท่ากับ $S _ { n }$ ดังนั้น $S _ { 8 } =$

A. A. 56
B. B. 68
C. C. 87
D. D. 95

Answer

Answer: C

Solution: เมื่อด้านหน้าหันขึ้น จะแสดงเป็น $A$; เมื่อด้านหลังหันขึ้น จะแสดงเป็น $B$; จากนั้น ตามคำชี้แจงของปัญหา: เมื่อกระโดดไปยังเซลล์แรก จะมีเพียง $B$ เท่านั้น ดังนั้นจึงมีเพียงหนึ่งสถานการณ์เท่านั้น ดังนั้น ${ } ^ { a _ { 1 } = 1 }$; เมื่อกระโดดไปยังช่องที่สอง, $A , B B$ ปรากฏอยู่, ดังนั้นจึงให้สองสถานการณ์ที่เป็นไปได้, ดังนั้น $a _ { 2 } = 2$; เมื่อกระโดดไปยังช่องที่สาม, $A B , B A , B B B$ ปรากฏอยู่, ดังนั้นจึงให้สามสถานการณ์ที่เป็นไปได้, ดังนั้น ${ } ^ { a _ { 3 } = 3 = a _ { 2 } + a _ { 1 } }$; เมื่อกระโดดไปยังเซลล์ที่สี่ จะมี $A A , A B B , B A B , B B A , B B B B$ ดังนั้นจึงมีห้าสถานการณ์ ดังนั้น $a _ { 4 } = 5 = a _ { 3 } + a _ { 2 }$ เมื่อกระโดดไปยังเซลล์ที่ห้า จะมี $A A B , A B A , B A A , A B B B , B A B B , B B A B , B B B A , B B B B B$ ส่งผลให้มี 8 สถานการณ์ที่เป็นไปได้ ดังนั้น $a _ { 5 } = 8 = a _ { 4 } + a _ { 3 }$; เมื่อกระโดดไปยังเซลล์ที่ 6 จะมี $A A A , A A B B , A B A B , A B B A , B A B A , B A A B$ และ $B B A A , A B B B B , B A B B B , B B A B B , B B B A B , B B B B A , B B B B B B$ ส่งผลให้มี 13 สถานการณ์ที่เป็นไปได้ ดังนั้น ${ } ^ { a _ { 6 } = 13 = a _ { 5 } + a _ { 4 } }$; ตามรูปแบบนี้จะได้ $a _ { n } = a _ { n - 1 } + a _ { n - 2 } \left( n > 2 , n \in \mathrm {~N} ^ { * } \right)$; ดังนั้นเมื่อกระโดดไปยังเซลล์ที่ 7 จะได้ $a _ { 7 } = a _ { 6 } + a _ { 5 } = 21$; เมื่อกระโดดไปยังเซลล์ที่ 8 จะได้ $a _ { 8 } = a _ { 7 } + a _ { 6 } = 34$; ดังนั้น $S _ { 8 } = a _ { 1 } + a _ { 2 } + a _ { 3 } + a _ { 4 } + a _ { 5 } + a _ { 6 } + a _ { 7 } + a _ { 8 }$ $B B A A , A B B B B , B A B B B , B B A B B , B B B A B , B B B B A , B B B B B B$ ,

Question 28

Question 28: 28. หนังสือคือบันไดแห่งความก้าวหน้าของมนุษย์ และคัมภีร์ทางคณิตศาสตร์ก็ไม่ใช่ข้อยกเว้น คัมภีร์เก้าบทแ...

28. หนังสือคือบันไดแห่งความก้าวหน้าของมนุษย์ และคัมภีร์ทางคณิตศาสตร์ก็ไม่ใช่ข้อยกเว้น คัมภีร์เก้าบทแห่งศิลปะทางคณิตศาสตร์, คัมภีร์คณิตศาสตร์ของซุนจื่อ, จู๋ปี้สุยจิง, และไห่เต่าสุยจิง เป็นผลงานสี่ชิ้นที่มีอิทธิพลลึกซึ้งในคณิตศาสตร์จีนโบราณ ในขณะเดียวกัน ผลงาน "องค์ประกอบ", ผลงานทั้งหมดของอาร์คิมิดีส, และ "ทฤษฎีบทเกี่ยวกับส่วนโค้ง" เป็นที่รู้จักกันในนาม "สามผลงานคณิตศาสตร์ยิ่งใหญ่ของกรีกโบราณ" และ "The Island Arithmetic" เป็นผลงานที่มีอิทธิพลอย่างลึกซึ้งสี่ชิ้นในคณิตศาสตร์จีนโบราณ ในขณะเดียวกัน "The Elements", "The Complete Works of Archimedes" และ "On Conic Sections" ได้รับการยกย่องว่าเป็น "สามผลงานคณิตศาสตร์ยิ่งใหญ่ของกรีกโบราณ" ซึ่งเป็นตัวแทนของจุดสูงสุดของความสำเร็จทางคณิตศาสตร์ของยุโรปก่อนยุคฟื้นฟูศิลปวิทยา ผลงานเหล่านี้มีอิทธิพลอย่างลึกซึ้งและกว้างไกลต่อการพัฒนาคณิตศาสตร์ในรุ่นต่อๆ มา การเลือกสามชิ้นจากเจ็ดชิ้นเอกเหล่านี้ ความน่าจะเป็นที่อย่างน้อยสองเล่มเป็นคัมภีร์คณิตศาสตร์จีนคือ

A. A. $\frac { 1 } { 7 }$
B. B. $\frac { 18 } { 35 }$
C. C. $\frac { 22 } { 35 }$
D. D. $\frac { 4 } { 15 }$

Answer

Answer: C

Solution: จำนวนวิธีทั้งหมดในการเลือกหนังสือสามเล่มจากหนังสือคลาสสิกทั้งเจ็ดเล่มคือ $\mathrm { C } _ { 7 } ^ { 3 } = 35$ (วิธี) จำนวนวิธีในการเลือกหนังสือคลาสสิกทางคณิตศาสตร์ของจีนอย่างน้อยสองเล่มคือ $\mathrm { C } _ { 4 } ^ { 3 } + \mathrm { C } _ { 4 } ^ { 2 } \mathrm { C } _ { 3 } ^ { 1 } = 22$ (วิธี) ดังนั้น ความน่าจะเป็นในการเลือกหนังสือคลาสสิกทางคณิตศาสตร์ของจีนอย่างน้อยสองเล่มจากหนังสือคลาสสิกทั้งเจ็ดเล่มนี้คือ ${ } _ { P } , P = \frac { 22 } { 35 }$

Question 29

Question 29: 29. มีหนังสืออ่านนอกเวลาเรียนอยู่ 5 ประเภท ได้แก่ A, B, C, D และ E โรงเรียนจะสุ่มเลือกหนังสือ 2 เล่ม...

29. มีหนังสืออ่านนอกเวลาเรียนอยู่ 5 ประเภท ได้แก่ A, B, C, D และ E โรงเรียนจะสุ่มเลือกหนังสือ 2 เล่มจากหนังสือเหล่านี้ให้นักเรียนอ่านในช่วงปิดเทอมฤดูหนาว ความน่าจะเป็นที่อย่างน้อย 1 เล่มจาก A และ B จะถูกเลือกคือ

A. A. $\frac { 3 } { 10 }$
B. B. $\frac { 1 } { 2 }$
C. C. $\frac { 7 } { 10 }$
D. D. $\frac { 9 } { 10 }$

Answer

Answer: C

Solution: ให้เหตุการณ์ $A$ ถูกกำหนดไว้ว่า: เลือก A หรือเลือก B ดังนั้น เหตุการณ์ $\bar { A }$ คือ: ไม่เลือก A และไม่เลือก B เนื่องจาก $P ( \bar { A } ) = \frac { C _ { 3 } ^ { 2 } } { C _ { 5 } ^ { 2 } } = \frac { 3 } { 10 }$ ดังนั้น $P ( A ) = 1 - P ( \bar { A } ) = 1 - \frac { 3 } { 10 } = \frac { 7 } { 10 }$

Question 30

Question 30: 30. จื่อ จงจื้อ เป็นนักคณิตศาสตร์และนักดาราศาสตร์ที่มีชื่อเสียงในช่วงราชวงศ์เหนือและใต้ของจีน อุทิศช...

30. จื่อ จงจื้อ เป็นนักคณิตศาสตร์และนักดาราศาสตร์ที่มีชื่อเสียงในช่วงราชวงศ์เหนือและใต้ของจีน อุทิศชีวิตให้กับวิทยาศาสตร์ธรรมชาติ ผลงานหลักของเขาครอบคลุมคณิตศาสตร์ ปฏิทินดาราศาสตร์ และวิศวกรรมเครื่องกล ที่โดดเด่นคือในการแสวงหาความแม่นยำของค่าพาย $\pi$ เขาเป็นคนแรกที่ปรับปรุงให้ถูกต้องถึงเจ็ดตำแหน่งทศนิยม $\pi$ถึงเจ็ดตำแหน่งทศนิยม คือ $\pi = 3.1415926$ จากข้อมูลนี้ หากเราสุ่มเลือกตัวเลขสองหลักจากหลักที่สามถึงหลักที่แปดของ "ไพ" $a , ~ b$ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ "$| a - b | \leq 3$" คือ

A. A. $\frac { 1 } { 3 }$
B. B. $\frac { 8 } { 15 }$
C. C. $\frac { 2 } { 3 }$
D. D. $\frac { 7 } { 15 }$

Answer

Answer: B

Question 31

Question 31: 31. ปัจจุบันมีนักเรียนสามคนในชั้น A $A , B , C$ และนักเรียนสองคนในชั้น B $D , E$ หากเลือกนักเรียนสอง...

31. ปัจจุบันมีนักเรียนสามคนในชั้น A $A , B , C$ และนักเรียนสองคนในชั้น B $D , E$ หากเลือกนักเรียนสองคนจากนักเรียนทั้งห้าคนนี้เพื่อเข้าร่วมกิจกรรม ความน่าจะเป็นที่นักเรียนสองคนที่เลือกจะมาจากคนละชั้นคือ

A. A. $\frac { 1 } { 5 }$
B. B. $\frac { 3 } { 10 }$
C. C. $\frac { 2 } { 5 }$
D. D. $\frac { 3 } { 5 }$

Answer

Answer: D

Solution: วิธีแก้ปัญหา: การเลือกนักเรียนสองคนจากห้าคนนี้เพื่อเข้าร่วมกิจกรรมหนึ่งกิจกรรม มีเหตุการณ์พื้นฐานทั้งหมด $n = C _ { 5 } ^ { 2 } = 10$ เหตุการณ์ จำนวนเหตุการณ์พื้นฐานที่นักเรียนทั้งสองคนถูกเลือกจากชั้นเรียนเดียวกันคือ $m = C _ { 3 } ^ { 2 } + C _ { 2 } ^ { 2 } = 4$ $\therefore$ ความน่าจะเป็นในการเลือกนักเรียนสองคนจากคนละชั้นเรียนคือ $P = 1 - \frac { m } { n } = 1 - \frac { 4 } { 10 } = \frac { 3 } { 5 }$

Question 32

Question 32: 33. ลูกคิดเป็นเครื่องมือคำนวณแบบดั้งเดิมของจีน มีรูปร่างเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าพร้อมกรอบไม้ล้อมรอบ มีแท...

33. ลูกคิดเป็นเครื่องมือคำนวณแบบดั้งเดิมของจีน มีรูปร่างเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าพร้อมกรอบไม้ล้อมรอบ มีแท่งแนวตั้งที่เรียกว่า 'แท่ง' ติดตั้งอยู่ภายในกรอบ มีคานขวางพาดผ่านแท่งเหล่านี้ โดยมีลูกปัดสองลูกอยู่ด้านบน แต่ละลูกแทนค่าห้ามีลูกปัดห้าลูกอยู่ใต้เส้นบาร์ แต่ละลูกแทนหนึ่งหน่วย ลูกปัดที่อยู่เหนือเส้นบาร์เรียกว่าลูกปัดบน ในขณะที่ลูกปัดที่อยู่ใต้เส้นบาร์เรียกว่าลูกปัดล่าง ตัวอย่างเช่น การเลื่อนลูกปัดล่างหนึ่งลูกในหลักร้อยพร้อมกับลูกปัดบนหนึ่งลูกที่มีลูกปัดล่างสองลูกในหลักสิบ จะแทนตัวเลข 170 ในหลักหน่วย, หลักสิบ, หลักร้อย, และหลักพัน หากมีการเคลื่อนลูกปัดด้านบนหนึ่งลูกแบบสุ่มในหลักใดหลักหนึ่งก่อน ตามด้วยการเคลื่อนลูกปัดด้านล่างหนึ่งลูกแบบสุ่มในอีกสองหลักที่เหลือ ความน่าจะเป็นที่ผลลัพธ์จะเป็นจำนวนมากกว่า 500 คือ ( ) พัน ร้อย สิบ หน่วย หน่วย หน่วย ![](/images/questions/probability-statistics/image-001.jpg)

A. A. $\frac { 1 } { 2 }$
B. B. $\frac { 2 } { 3 }$
C. C. $\frac { 1 } { 4 }$
D. D. $\frac { 3 } { 4 }$

Answer

Answer: D

Solution: ตามคำถาม จำนวนตัวเลขที่สามารถกดได้ทั้งหมดมี $\mathrm { C } _ { 4 } ^ { 1 } \mathrm { C } _ { 4 } ^ { 2 } = 24$ ความเป็นไปได้ ซึ่งหมายความว่าพื้นที่ตัวอย่างมีจุดตัวอย่าง ${ } ^ { 24 }$ จุด สำหรับหมายเลขที่กดแล้วมากกว่า 500 จะต้อง: (1) หากลูกปัดด้านบนถูกตั้งค่าไว้ที่ตำแหน่งพันหรือร้อย ตัวเลขที่เลือกจะต้องมากกว่า ${ } ^ { 500 }$; มีกรณีเช่นนี้ $C _ { 2 } ^ { 1 } C _ { 4 } ^ { 2 } = 12$ กรณี; (2) หากลูกปัดบนถูกตั้งไว้ที่ตำแหน่งหลักสิบหรือหลักหน่วย จะต้องเลือกตำแหน่งเพิ่มเติมอีกสองตำแหน่งโดยสุ่ม โดยหนึ่งในนั้นต้องเป็นตำแหน่งหลักพัน มีกรณีเช่นนี้ทั้งหมด $\mathrm { C } _ { 2 } ^ { 1 } \mathrm { C } _ { 3 } ^ { 1 } = 6$ กรณี ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่ตัวเลขที่เลือกจะมีค่ามากกว่า 1000 คือ $\frac { 12 + 6 } { 24 } = \frac { 3 } { 4 }$

Question 33

Question 33: 34. โรงเรียนมัธยมศึกษาตอนปลายแห่งหนึ่งมีนักเรียนชาย 410 คน โดยมีหมายเลขประจำตัวนักเรียนเป็น $001,002...

34. โรงเรียนมัธยมศึกษาตอนปลายแห่งหนึ่งมีนักเรียนชาย 410 คน โดยมีหมายเลขประจำตัวนักเรียนเป็น $001,002 , ~ \mathrm {~L} , ~ 410$ และมีนักเรียนหญิง 290 คน โดยมีหมายเลขประจำตัวนักเรียนคือ 411, 412, L, 700การสำรวจโดยใช้แบบสอบถามได้ดำเนินการในกลุ่มนักเรียนชั้นปีที่ 13 โดยใช้การสุ่มตัวอย่างแบบระบบตามหมายเลขประจำตัวนักเรียน ได้คัดเลือกนักเรียน 10 คน จากนักเรียนทั้งหมด 700 คน (กลุ่มแรกได้ใช้การสุ่มตัวอย่างแบบง่าย โดยได้หมายเลข 030) จากนั้น ได้คัดเลือกนักเรียน 3 คน จากกลุ่ม 10 คนนี้เพื่อใช้ในการวิเคราะห์ข้อมูล ความน่าจะเป็นที่นักเรียน 3 คนนี้จะมีทั้งนักเรียนชายและนักเรียนหญิงคือ

A. A. $\frac { 1 } { 5 }$
B. B. $\frac { 3 } { 10 }$
C. C. $\frac { 7 } { 10 }$
D. D. $\frac { 4 } { 5 }$

Answer

Answer: D

Question 34

Question 34: 35. ในคำนำของบรรณาธิการสำหรับหนังสือเรียนคณิตศาสตร์ฉบับบังคับของสำนักพิมพ์การศึกษาประชาชน เล่มที่ 1 ...

35. ในคำนำของบรรณาธิการสำหรับหนังสือเรียนคณิตศาสตร์ฉบับบังคับของสำนักพิมพ์การศึกษาประชาชน เล่มที่ 1 วลีที่ว่า "ศึกษาคณิตศาสตร์ในขณะที่คุณยังเยาว์วัย" ได้สร้างความประทับใจอย่างลึกซึ้งแก่นักเรียนที่โรงเรียนมัธยมศึกษาตอนปลายเจียงเซี่ยทดลอง ความน่าจะเป็นในการจัดเรียงตัวอักษรทั้งหกนี้ใหม่เพื่อสร้างวลี "ศึกษาคณิตศาสตร์ในขณะที่คุณยังเยาว์วัย" คือ

A. A. $\frac { 1 } { 6 \times 5 \times 4 \times 3 }$
B. B. $\frac { 1 } { 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 }$
C. C. $\frac { 1 } { 6 ^ { 4 } }$
D. D. $\frac { 2 } { 6 ^ { 6 } }$

Answer

Answer: A

Solution: การจัดเรียงตัวอักษรทั้งหกใน "เรียนรู้คณิตศาสตร์ตั้งแต่ยังเยาว์" เทียบเท่ากับการเลือกตัวอักษรสี่ตัวจากหกตำแหน่ง เริ่มต้นด้วยการจัดเรียงตัวอักษรสี่ตัว "数趁年轻" จากนั้น ตำแหน่งที่เหลืออีกสองตำแหน่งจะถูกเติมด้วยอักขระ "学" เนื่องจากมีการจัดเรียงที่เป็นไปได้เพียงหนึ่งรูปแบบสำหรับอักขระ "学" สองตัว จึงมีการจัดเรียงที่เป็นไปได้ทั้งหมด $\mathrm { C } _ { 6 } ^ { 4 } \mathrm {~A} ^ { 4 }$ รูปแบบ ในจำนวนนี้ การจัดเรียงที่สร้างเป็น ""เรียนรู้คณิตศาสตร์ตั้งแต่อายุน้อย" เป็นหนึ่งอย่างถูกต้อง ดังนั้น ความน่าจะเป็นของการสร้าง "เรียนรู้คณิตศาสตร์ตั้งแต่อายุน้อย" อย่างถูกต้องคือ $\frac { 1 } { \mathrm { C } _ { 6 } ^ { 4 } \mathrm {~A} _ { 4 } ^ { 4 } } = \frac { 1 } { 6 \times 5 \times 4 \times 3 }$

Question 35

Question 35: 36. กล่องหนึ่งมีลูกบอลสีแดง 1 ลูก หลังจากใส่ลูกบอลสีดำจำนวน ${ } ^ { n } \left( n \in N ^ { * } \rig...

36. กล่องหนึ่งมีลูกบอลสีแดง 1 ลูก หลังจากใส่ลูกบอลสีดำจำนวน ${ } ^ { n } \left( n \in N ^ { * } \right)$ ลูกเข้าไปในกล่อง แล้วสุ่มหยิบลูกบอลออกมา 1 ลูก ให้จำนวนลูกบอลสีแดงที่หยิบได้เป็น ${ } ^ { \xi }$ เมื่อ ${ } ^ { n } \left( n \in N ^ { * } \right)$ เพิ่มขึ้น ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง?

A. A. $E ( \xi ) _ { \text {减小 } } , D ( \xi ) _ { \text {增加 } }$
B. B. $E ( \xi ) _ { \text {增加 } } , D ( \xi ) _ { \text {减小 } }$
C. C. $E ( \xi ) _ { \text {增加,} } D ( \xi ) _ { \text {增加 } }$
D. D. $E ( \xi ) _ { \text {减小 } } , D ( \xi ) _ { \text {减小 } }$

Answer

Answer: D

Solution: จำนวนลูกบอลสีแดงที่จับได้ $\xi$ มีลักษณะตามการแจกแจงแบบไบนอมิออล $B ( 1 , p )$ โดยที่ $p = \frac { 1 } { n + 1 }$ , ดังนั้น $E ( \xi ) = \frac { 1 } { n + 1 }$; ชัดเจนว่า $E ( \xi )$ ลดลงเมื่อ $n$ เพิ่มขึ้น $D ( \xi ) = \frac { 1 } { n + 1 } \left( 1 - \frac { 1 } { n + 1 } \right) = \frac { n } { ( n + 1 ) ^ { 2 } }$, ให้ $f ( x ) = \frac { x } { ( x + 1 ) ^ { 2 } } = \frac { x + 1 } { ( x + 1 ) ^ { 2 } } - \frac { 1 } { ( x + 1 ) ^ { 2 } } = \frac { 1 } { x + 1 } - \frac { 1 } { ( x + 1 ) ^ { 2 } }$ และ $f ^ { \prime } ( x ) = - \frac { 1 } { ( x + 1 ) ^ { 2 } } + \frac { 2 } { ( x + 1 ) ^ { 3 } } = \frac { - x + 1 } { ( x + 1 ) ^ { 3 } }$. เมื่อ $x \geq 1$ เป็นจริง $f ( x ) \leq 0$ จะตามมา ดังนั้น $f ( x )$ จึงลดลงอย่างต่อเนื่องบน $^ { [ 1 , + \infty ) }$. และส่งผลให้ลดลงเมื่อ $n \in N ^ { * }$ เพิ่มขึ้น

Question 36

Question 36: 37. ภายใต้เงื่อนไขที่ตัวแปรสุ่ม $\xi \sim B ( 12 , p )$ และ $E ( 2 \xi - 3 ) = 5$ เป็นจริง แล้ว $D (...

37. ภายใต้เงื่อนไขที่ตัวแปรสุ่ม $\xi \sim B ( 12 , p )$ และ $E ( 2 \xi - 3 ) = 5$ เป็นจริง แล้ว $D ( 3 \xi ) _ { \text {等于( )} }$

A. A. 24
B. B. 36
C. C. 48
D. D. 72

Answer

Answer: A

Solution: จาก $\xi \sim B ( 12 , p )$, เราได้ $E ( \xi ) = 12 p , E ( 2 \xi - 3 ) = 24 p - 3 = 5$; เมื่อแก้สมการนี้จะได้ $p = \frac { 1 } { 3 }$; ดังนั้น $D ( 3 \xi ) = 9 \times 12 \times \frac { 1 } { 3 } \times \frac { 2 } { 3 } = 24$.

Question 37

Question 37: 38. คุณภาพของผลิตภัณฑ์เป็นรากฐานสำคัญของทุกองค์กร และการตรวจสอบผลิตภัณฑ์เป็นงานที่ขาดไม่ได้ในกระบวนก...

38. คุณภาพของผลิตภัณฑ์เป็นรากฐานสำคัญของทุกองค์กร และการตรวจสอบผลิตภัณฑ์เป็นงานที่ขาดไม่ได้ในกระบวนการผลิต เพื่อให้มั่นใจในคุณภาพของผลิตภัณฑ์ โรงงานจึงใช้วิธีการตรวจสอบที่แตกต่างกันสองวิธี พนักงานสองคนจะสุ่มเลือกผลิตภัณฑ์จำนวนเท่ากันจากสายการผลิต โดยแต่ละคนเลือกจากชุดผลิตภัณฑ์ที่แตกต่างกัน เป็นที่ทราบกันว่าชุดผลิตภัณฑ์ที่พนักงานทั้งสองเลือกมีสินค้าที่มีข้อบกพร่องอยู่ห้าชิ้นจากนั้นพนักงาน A เลือกสินค้า 3 ชิ้นจากชุดนี้แบบสุ่มโดยสามารถเลือกซ้ำได้ ในขณะที่พนักงาน B เลือกสินค้า 3 ชิ้นจากชุดเดียวกันแบบสุ่มโดยไม่สามารถเลือกซ้ำได้ ให้จำนวนสินค้าที่มีข้อบกพร่องใน 3 ชิ้นที่เลือกโดยพนักงาน A เป็น $X$ และจำนวนสินค้าที่มีข้อบกพร่องใน 3 ชิ้นที่เลือกโดยพนักงาน B เป็น $Y , k = 0,1,2,3$ ตัวเลือกใดต่อไปนี้ ไม่ถูกต้อง? ( ) (อ้างอิง: การแจกแจงแบบไฮเพอร์จีโอเมตริกมีค่าเฉลี่ยเป็น $E ( X ) = \frac { n M } { N }$)

A. A. ตัวแปรสุ่ม $X$ มีลักษณะตามการแจกแจงแบบทวินาม
B. B. ตัวแปรสุ่ม $Y$ มีลักษณะตามการแจกแจงแบบไฮเพอร์จีโอเมตริก
C. C. $E ( X ) = E ( Y )$
D. D. $P ( X = k ) < P ( Y = k )$

Answer

Answer: D

Solution: สำหรับ A, หากพนักงาน A เลือกสินค้า 3 รายการแบบสุ่มโดยสามารถเลือกซ้ำได้จากชุดผลิตภัณฑ์นี้ ตัวแปรสุ่ม $X$ จะมีการแจกแจงแบบไบนอมิออล; คำตอบ A ถูกต้อง สำหรับข้อ B หากพนักงาน B เลือกสินค้า 3 ชิ้นจากชุดนี้แบบสุ่มโดยไม่คืนของกลับเข้าไป ตัวแปรสุ่ม $Y$ จะมีการแจกแจงแบบไฮเพอร์จีโอเมตริก; คำตอบ B ถูกต้อง สำหรับ C ชุดข้อมูลประกอบด้วย ${ } _ { M }$ รายการ ดังนั้น $E ( X ) = 3 \cdot \frac { 5 } { M } = \frac { 15 } { M }$ และ $E ( Y ) = \sum _ { k = 0 } ^ { 3 } \frac { k \mathrm { C } _ { M - 5 } ^ { 3 - k } \mathrm { C } _ { 5 } ^ { k } } { \mathrm { C } _ { M } ^ { 3 } } = \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } \frac { k \mathrm { C } _ { M - 5 } ^ { 3 - k } \mathrm { C } _ { 5 } ^ { k } } { \mathrm { C } _ { M } ^ { 3 } } = \frac { 15 ( M - 1 ) ( M - 2 ) } { M ( M - 1 ) ( M - 2 ) } = \frac { 15 } { M }$ จึงเป็นจริง; C ถูกต้อง สำหรับ D, $E ( X ) = \sum _ { k = 0 } ^ { 3 } k P ( X = k ) , E ( Y ) = \sum _ { k = 0 } ^ { 3 } k P ( Y = k )$ เป็นจริง หาก $P ( X = k ) < P ( Y = k )$ เป็นจริง, ${ } ^ { E ( X ) < E ( Y ) }$ จะตามมา, ซึ่งขัดแย้งกับตัวเลือก C. ดังนั้น, D ไม่ถูกต้อง.

Question 38

Question 38: 39. หากมีคนสะกดคำว่า "every" ในภาษาอังกฤษโดยใช้ตัวอักษรหนึ่งตัว $\mathrm { v } , \mathrm { r } , \ma...

39. หากมีคนสะกดคำว่า "every" ในภาษาอังกฤษโดยใช้ตัวอักษรหนึ่งตัว $\mathrm { v } , \mathrm { r } , \mathrm { y }$ และตัวอักษร e สองตัว ความน่าจะเป็นที่พวกเขาจะสะกดคำภาษาอังกฤษนี้ผิดคือ ( )

A. A. $\frac { 119 } { 120 }$
B. B. $\frac { 9 } { 10 }$
C. C. $\frac { 19 } { 20 }$
D. D. $\frac { 59 } { 60 }$

Answer

Answer: D

Solution: การจัดเรียงตัวอักษร $e , v , e , r , y 5$ กล่าวคือ การวางตัวอักษร $e , v , e , r , y$ ให้อยู่ในตำแหน่งคงที่ 5 ตำแหน่ง ต้องเลือกตำแหน่ง 2 ตำแหน่งจาก 5 ตำแหน่งก่อน เพื่อวางตัวอักษร e จำนวน 2 ตัว มีวิธีเลือกได้ $\mathrm { C } _ { 5 } ^ { 2 }$ วิธี จากนั้นนำตัวอักษรที่เหลืออีก 3 ตัวไปวางในตำแหน่งที่เหลืออีก 2 ตำแหน่ง โดยมีวิธีวางได้ ${ } ^ { \mathrm { A } ^ { 3 } }$ วิธี ตำแหน่ง, ให้ผลลัพธ์เป็น ${ } ^ { \mathrm { A } ^ { 3 } }$ เมธอด ดังนั้น มีวิธีทั้งหมด $\mathrm { C } _ { 5 } ^ { 2 } \mathrm {~A} _ { 3 } ^ { 3 } = 60$ วิธี อย่างไรก็ตาม มีเพียงวิธีเดียวที่ถูกต้อง ดังนั้น มีวิธีที่เขาสามารถสะกดคำภาษาอังกฤษนี้ผิดได้ $60 - 1 = 59$ วิธี ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่เขาจะสะกดคำภาษาอังกฤษนี้ผิดคือ $P = \frac { 59 } { 60 }$

Question 39

Question 39: 40. ข้อเสนอสี่ข้อต่อไปนี้: (1) การสุ่มตัวอย่างผลิตภัณฑ์หนึ่งชิ้นทุก ๆ 30 นาทีจากสายการผลิตที่เป็นแบบ...

40. ข้อเสนอสี่ข้อต่อไปนี้: (1) การสุ่มตัวอย่างผลิตภัณฑ์หนึ่งชิ้นทุก ๆ 30 นาทีจากสายการผลิตที่เป็นแบบสม่ำเสมอเพื่อการตรวจสอบถือเป็นการสุ่มตัวอย่างแบบแบ่งชั้น; (2) การสำรวจความสูงของนักเรียนชายระดับมัธยมศึกษาตอนปลายทั่วทั้งเมืองพบว่าความสูงของนักเรียนชายระดับมัธยมศึกษาตอนปลายจำนวน 30,000 คนในเมืองนั้นมีการแจกแจงแบบปกติ $\xi$ (หน่วย: $c m )$) มีการแจกแจงแบบปกติ $N \left( 172 , \sigma ^ { 2 } \right)$ และ $P ( 172 < \xi \leq 180 ) = 0.4$ เป็นจริง ดังนั้น จำนวนนักเรียนชายมัธยมศึกษาตอนปลายในเมืองที่สูงกว่า $180 c m$ โดยประมาณคือ 3000 คน (3) ตัวแปรสุ่ม $X$ มีลักษณะตามการแจกแจงแบบทวินาม $B ( 100,0.4 )$ หากตัวแปรสุ่ม $Y = 2 X + 1$ ถูกกำหนดไว้แล้ว ค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของ $Y$ คือ $E ( Y ) = 81$ พร้อมด้วยส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน $D ( Y ) = 48$ (4) ตัวแปรเชิงหมวดหมู่ $X$ และ $Y$ มีตัวแปรสุ่ม $K ^ { 2 }$ ที่มีค่าสังเกตได้ $k$ ยิ่ง $k$ เล็กเท่าใด ความแน่นอนยิ่งมากขึ้นเท่านั้นว่า$X$ และ $Y$ มากกว่า จำนวนคำตอบที่ถูกต้องคือ ( ) การบ้านคณิตศาสตร์มัธยมปลาย, 29 ตุลาคม 2568

A. A. 1
B. B. 2
C. C. 3
D. D. 4

Answer

Answer: A

Solution: วิธีแก้ปัญหา: (1) เนื่องจากช่วงการสุ่มตัวอย่างเท่ากันและไม่มีข้อแตกต่างที่มีนัยสำคัญระหว่างตัวอย่าง (1) จึงต้องเป็นการสุ่มตัวอย่างแบบเป็นระบบ ดังนั้น (1) จึงเป็นข้อเสนอที่ไม่ถูกต้อง (2) เมืองหนึ่งได้ทำการสำรวจความสูงของนักเรียนชายระดับมัธยมศึกษาทั้งหมด ข้อมูลแสดงให้เห็นว่าความสูงของนักเรียนชายระดับมัธยมศึกษาในเมืองจำนวน 30,000 คน คือ $\xi$ (หน่วย: $c m )$) ซึ่งมีการแจกแจงแบบปกติ $N \left( 172 , \sigma ^ { 2 } \right)$ และสอดคล้องกับ $P ( 172 < \xi \leq 180 ) = 0.4$ ดังนั้น $P ( \xi > 180 ) = \frac { 1 } { 2 } - P ( 172 < \xi \leq 180 ) = 0.1$ เป็นจริง ดังนั้น จำนวนนักเรียนชายระดับมัธยมศึกษาตอนปลายในเมืองที่มีความสูงเกินกว่า ${ } _ { 180 \mathrm {~cm} }$ คือประมาณ $30000 \times 0.1 = 3000$ คน ดังนั้น ข้อ (2) เป็นข้อความจริง (3) ตัวแปรสุ่ม $X$ มีลักษณะตามการแจกแจงแบบทวินาม $B ( 100,0.4 )$; จากนั้น $E ( X ) = 100 \times 0.4 = 40$, $D ( X ) = 100 \times 0.4 \times ( 1 - 0.4 ) = 24$. หากตัวแปรสุ่ม $Y = 2 X + 1$, แล้วค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของ $Y$ คือ $E ( Y ) = 2 E ( X ) + 1 = 81$ และความแปรปรวน $D ( Y ) = 2 ^ { 2 } D ( X ) = 96$; ดังนั้น (3) จึงเป็นข้อเสนอที่ไม่จริง; (4) สำหรับตัวแปรสุ่ม $K ^ { 2 }$ ของตัวแปรเชิงหมวดหมู่ $X$ และ $Y$ ยิ่ง $k$ มีค่าน้อยลงเท่าใด ความไม่แน่นอนที่ว่า "$X$ และ $Y$ มีความสัมพันธ์กัน" ก็จะยิ่งเพิ่มขึ้นเท่านั้น ดังนั้น (4) จึงเป็นข้อเสนอที่ไม่ถูกต้อง

Probability and Statistics

ภาพรวมหัวข้อ

ประเด็นสำคัญ

เคล็ดลับการเรียน

ทำโจทย์เป็น ≠ สอบผ่าน

แหล่งข้อมูลการเรียนรู้ที่เกี่ยวข้อง