Skip to main content

Calculus - Practice Questions (36)

Question 1: 1. ฟังก์ชัน $y = \sqrt [ 5 ] { x ^ { 4 } }$ มีอนุพันธ์เป็น

1. ฟังก์ชัน $y = \sqrt [ 5 ] { x ^ { 4 } }$ มีอนุพันธ์เป็น

  • A. A. $\frac { 1 } { 5 } x ^ { 3 }$
  • B. B. $\frac { 2 } { 5 } x ^ { 3 }$
  • C. C. $\frac { 4 } { 5 } x ^ { - \frac { 1 } { 5 } }$
  • D. D. $- \frac { 4 } { 5 } x ^ { - \frac { 1 } { 5 } }$

Answer: C

Solution: การวิเคราะห์คำถาม: จากสูตรการหาอนุพันธ์ $y ^ { \prime } = \frac { 4 } { 5 } x ^ { - \frac { 1 } { 5 } }$ คำตอบที่ถูกต้องคือข้อ C. ประเด็นสำคัญ: สูตรการหาอนุพันธ์สำหรับเลขชี้กำลัง

Question 2: 2. หาก $f ( x ) = \cos x$ แล้ว ค่าของ $f ^ { \prime } \left( \frac { \pi } { 2 } \right)$ คือ ( )

2. หาก $f ( x ) = \cos x$ แล้ว ค่าของ $f ^ { \prime } \left( \frac { \pi } { 2 } \right)$ คือ ( )

  • A. A. 0
  • B. B. 1
  • C. C. - 1
  • D. D. $\frac { 1 } { 2 }$

Answer: C

Solution: เนื่องจาก $f ( x ) = \cos x$ ดังนั้น $f ^ { \prime } ( x ) = - \sin x$ ดังนั้น $f ^ { \prime } \left( \frac { \pi } { 2 } \right) = - 1$

Question 3: 5. เนื่องจากเส้นสัมผัสของกราฟของฟังก์ชัน $f ( x ) = \frac { 2 } { x } - a x$ ที่จุด $( - 1 , f ( - 1...

5. เนื่องจากเส้นสัมผัสของกราฟของฟังก์ชัน $f ( x ) = \frac { 2 } { x } - a x$ ที่จุด $( - 1 , f ( - 1 ) )$ มีค่าความชันเป็น ${ } _ { 1 }$ ดังนั้นสมการของเส้นสัมผัสนี้คือ

  • A. A. $x - y - 4 = 0$
  • B. B. $x - y - 6 = 0$
  • C. C. $x + y - 4 = 0$
  • D. D. $x + y - 5 = 0$

Answer: A

Solution: ดังนั้น, $f ^ { \prime } ( x ) = - \frac { 2 } { x ^ { 2 } } - a , f ^ { \prime } ( 1 ) = - 2 - a = 1 , a = - 3$ , ดังนั้น $f ( x ) = \frac { 2 } { x } + 3 x , f ( - 1 ) = - 2 - 3 = - 5$ , ดังนั้นสมการของเส้นสัมผัสคือ $y + 5 = x + 1 , x - y - 4 = 0$ .

Question 4: 6. หากฟังก์ชันคือ $f ( x ) = \sin x$ ให้ใช้ $f \left( \frac { \pi } { 4 } \right) + f ^ { \prime } \...

6. หากฟังก์ชันคือ $f ( x ) = \sin x$ ให้ใช้ $f \left( \frac { \pi } { 4 } \right) + f ^ { \prime } \left( \frac { \pi } { 4 } \right) = ( )$

  • A. A. $- \sqrt { 2 }$
  • B. B. $\sqrt { 2 }$
  • C. C. 1
  • D. D. 0

Answer: B

Solution: ตามคำถาม, $f ^ { \prime } ( x ) = \cos x$ , ดังนั้น $f \left( \frac { \pi } { 4 } \right) + f ^ { \prime } \left( \frac { \pi } { 4 } \right) = \sin \frac { \pi } { 4 } + \cos \frac { \pi } { 4 } = \sqrt { 2 }$ ดังนั้น คำตอบที่ถูกต้องคือ: B.

Question 5: 7. "$a \leq 0$" ไม่ใช่เงื่อนไขที่เพียงพอหรือจำเป็นสำหรับฟังก์ชัน $f ( x ) = a x + \ln x$ ในการมีค่าท...

7. "$a \leq 0$" ไม่ใช่เงื่อนไขที่เพียงพอหรือจำเป็นสำหรับฟังก์ชัน $f ( x ) = a x + \ln x$ ในการมีค่าที่สุดโต่ง

  • A. A. เงื่อนไขที่เพียงพอแต่ไม่จำเป็น
  • B. B. เงื่อนไขที่จำเป็นแต่ไม่เพียงพอ
  • C. C. เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอ
  • D. D. ทั้งสอง

Answer: B

Solution: ตามคำถาม ฟังก์ชัน $f ( x )$ มีค่าสูงสุดและต่ำสุด หมายความว่าอนุพันธ์ของมันมีค่าทั้งบวกและลบ $f ^ { \prime } ( x ) = a + \frac { 1 } { x } ( x > 0 )$ เพื่อให้อนุพันธ์มีค่าทั้งบวกและลบ จำเป็นต้องมีเงื่อนไขว่า $a < 0$ เป็นจริง ดังนั้น $a \leq 0$ เป็นเงื่อนไขที่จำเป็นแต่ไม่เพียงพอ ข้อสังเกตสำคัญ: คำถามนี้เน้นศึกษาสองแนวคิดหลัก ได้แก่ วิธีการหาอนุพันธ์และค่าสูงสุด-ต่ำสุด และการกำหนดเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอ คำนิยามของค่าสูงสุดและต่ำสุดกำหนดว่า ค่าสูงสุด (maxima) ต้องมีอนุพันธ์เพิ่มขึ้นทางซ้ายและลดลงทางขวา ส่วนค่าต่ำสุด (minima) ต้องมีอนุพันธ์ลดลงทางซ้ายและเพิ่มขึ้นทางขวา ซึ่งหมายความว่าอนุพันธ์ต้องมีค่าเป็นบวกและลบในปัญหานี้, ค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันคือ $\frac { 1 } { x } \Rightarrow a + \frac { 1 } { x }$, ซึ่งหมายความว่า $\frac { 1 } { x }$ ต้องเลื่อนขึ้นหรือเลื่อนลง เพื่อให้เป็นไปตามข้อกำหนดของค่าสูงสุดหรือต่ำสุด จำเป็นต้องเลื่อนลง ดังนั้นจึงได้ $a < 0$เนื่องจาก $a \leq 0$ ครอบคลุมช่วงที่กว้างกว่าอย่างมาก ช่วงที่กว้างกว่าจึงเป็นเงื่อนไขที่จำเป็นแต่ไม่เพียงพอสำหรับช่วงที่แคบกว่า

Question 6: 8. สมการใดต่อไปนี้ถูกต้อง?

8. สมการใดต่อไปนี้ถูกต้อง?

  • A. A. $[ \ln ( 2 x + 1 ) ] ^ { \prime } = \frac { 1 } { 2 x + 1 }$
  • B. B. $\left( x \cdot 2 ^ { x } \right) ^ { \prime } = 2 ^ { x } ( 1 + x \ln 2 )$
  • C. C. $\left( \frac { \cos x } { x } \right) ^ { \prime } = \frac { x \sin x + \cos x } { x ^ { 2 } }$
  • D. D. $( \sqrt { x } ) ^ { \prime } = - \frac { 1 } { 2 \sqrt { x } }$

Answer: B

Solution: ตัวเลือก A: $[ \ln ( 2 x + 1 ) ] ^ { \prime } = \frac { 2 } { 2 x + 1 }$; ตัวเลือก A ผิด ตัวเลือก B: $\left( x \cdot 2 ^ { x } \right) ^ { \prime } = 1 \cdot 2 ^ { x } + x \cdot 2 ^ { x } \ln 2 = 2 ^ { x } ( 1 + x \ln 2 )$; ตัวเลือก B ถูก ตัวเลือก C: $\left( \frac { \cos x } { x } \right) ^ { \prime } = \frac { - \sin x \cdot x - \cos x } { x ^ { 2 } } = - \frac { x \sin x + \cos x } { x ^ { 2 } }$; ตัวเลือก C ผิด ตัวเลือก D: $( \sqrt { x } ) ^ { \prime } = \left( x ^ { \frac { 1 } { 2 } } \right) ^ { \prime } = \frac { 1 } { 2 } x ^ { - \frac { 1 } { 2 } } = \frac { 1 } { 2 \sqrt { x } }$; ตัวเลือก D ผิด

Question 7: 9. เนื่องจากอนุพันธ์ของฟังก์ชัน $y = f ( x )$ ที่ $x = x _ { 0 }$ คือ $f ^ { \prime } \left( x _ { 0...

9. เนื่องจากอนุพันธ์ของฟังก์ชัน $y = f ( x )$ ที่ $x = x _ { 0 }$ คือ $f ^ { \prime } \left( x _ { 0 } \right) = - 1$ ดังนั้น $\lim _ { \Delta x \rightarrow 0 } \frac { f \left( x _ { 0 } + 2 \Delta x \right) - f \left( x _ { 0 } \right) } { \Delta x } =$ $\_\_\_\_$

  • A. A. - 1
  • B. B. 1
  • C. C. $\frac { 1 } { 2 }$
  • D. D. - 2

Answer: D

Solution: ตามคำถาม, ค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน $y = f ( x )$ ที่ ${ } ^ { x = x _ { 0 } }$ คือ $f ^ { \prime } \left( x _ { 0 } \right) = - 1$ ในขณะที่ $\lim _ { \Delta x \rightarrow 0 } \frac { f \left( x _ { 0 } + 2 \Delta x \right) - f \left( x _ { 0 } \right) } { \Delta x } = 2 \lim _ { \Delta x \rightarrow 0 } \frac { f \left( x _ { 0 } + 2 \Delta x \right) - f \left( x _ { 0 } \right) } { 2 \Delta x } = 2 f ^ { \prime } \left( x _ { 0 } \right) = - 2$ ,

Question 8: 10. เนื่องจากอนุพันธ์ของฟังก์ชัน $f ( x )$ ที่ $x = 1$ เท่ากับ 1 ดังนั้น $\lim _ { \Delta x \rightar...

10. เนื่องจากอนุพันธ์ของฟังก์ชัน $f ( x )$ ที่ $x = 1$ เท่ากับ 1 ดังนั้น $\lim _ { \Delta x \rightarrow 0 } \frac { f ( 1 + \Delta x ) - f ( 1 ) } { 3 \Delta x } =$

  • A. A. $- \frac { 1 } { 3 }$
  • B. B. 3
  • C. C. $\frac { 1 } { 3 }$
  • D. D. $- \frac { 3 } { 2 }$

Answer: C

Solution: $f ( x )$

Question 9: 11. เนื่องจากอนุพันธ์ของ $f ( x ) = \frac { 2 x + 1 } { x ^ { 2 } }$ คือ $f ^ { \prime } ( x )$ ดังน...

11. เนื่องจากอนุพันธ์ของ $f ( x ) = \frac { 2 x + 1 } { x ^ { 2 } }$ คือ $f ^ { \prime } ( x )$ ดังนั้น $f ^ { \prime } ( i ) = ( i$ คือ หน่วยจินตภาพ $)$

  • A. A. $- 1 - 2 i$
  • B. B. $- 2 - 2 i$
  • C. C. $- 2 + 2 i$
  • D. D. $2 - 2 i$

Answer: D

Solution: $\because f ^ { \prime } ( x ) = \frac { 2 x ^ { 2 } - 2 x ( 2 x + 1 ) } { x ^ { 4 } } = \frac { - 2 x ^ { 2 } - 2 x } { x ^ { 4 } } \quad \therefore f ^ { \prime } ( i ) = 2 - 2 i$ ดังนั้นจึงเลือก D

Question 10: 12. $\int _ { 0 } ^ { 3 } \left( x ^ { 2 } + 4 \right) d x =$

12. $\int _ { 0 } ^ { 3 } \left( x ^ { 2 } + 4 \right) d x =$

  • A. A. 9
  • B. B. 12
  • C. C. 21
  • D. D. 25

Answer: C

Solution: $\int _ { 0 } ^ { 3 } \left( x ^ { 2 } + 4 \right) d x = \left. \left( \frac { 1 } { 3 } x ^ { 3 } + 4 x \right) \right| _ { 0 } ^ { 3 } = \frac { 1 } { 3 } \times 3 ^ { 3 } + 4 \times 3 - \frac { 1 } { 3 } \times 0 ^ { 3 } + 4 \times 0 = 21$

Question 11: 13. หากฟังก์ชัน $y = f ( x )$ สามารถหาอนุพันธ์ได้บน R และสอดคล้องกับ $x f ^ { \prime } ( x ) + f ( x...

13. หากฟังก์ชัน $y = f ( x )$ สามารถหาอนุพันธ์ได้บน R และสอดคล้องกับ $x f ^ { \prime } ( x ) + f ( x ) > 0$ สำหรับทุกค่า แล้วค่าคงที่ ${ } ^ { a }$ จะต้องสอดคล้องกับ $b$ $\_\_\_\_$ $a$), ดังนั้นความไม่เท่าเทียมกันต่อไปนี้จะต้องเป็นจริง:

  • A. A. $\quad a f ( a ) > b f ( b )$
  • B. B. $a f ( b ) > b f ( a )$
  • C. C. $a f ( a ) < b f ( b )$
  • D. D. $a f ( b ) < b f ( a )$

Answer: A

Solution: การวิเคราะห์คำถาม: ให้ $g ( x ) = x f ( x ) , \therefore g ^ { \prime } ( x ) = x f ^ { \prime } ( x ) + f ( x ) > 0$ เป็นจริงสำหรับทุกค่า $\therefore g ( x )$ เป็นฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่องบนช่วง $R$. $\because a > b , \therefore g ( a ) > g ( b )$. ดังนั้น $a f ( a ) > b f ( b )$. ดังนั้น ตัวเลือก A เป็นคำตอบที่ถูกต้อง จุดเน้นของการสอบ: การตรวจสอบความเป็นเส้นตรงของฟังก์ชันโดยใช้อนุพันธ์

Question 12: 14. เนื่องจากฟังก์ชัน $f ( x )$ เป็นฟังก์ชันคี่ที่มีโดเมน R เมื่อ $x > 0$ เป็นจริง $f ^ { \prime } (...

14. เนื่องจากฟังก์ชัน $f ( x )$ เป็นฟังก์ชันคี่ที่มีโดเมน R เมื่อ $x > 0$ เป็นจริง $f ^ { \prime } ( x ) < 0$ ใช้ได้ ดังนั้นเซตคำตอบของอสมการ $f \left( x ^ { 2 } - x \right) - f ( x ) > 0$ คือ

  • A. A. $( 0,1 )$
  • B. B. $( 0,2 )$
  • C. C. $( - 1,1 )$
  • D. D. $( - 2,2 )$

Answer: B

Solution: ตั้งแต่เมื่อใดที่ $x > 0$ มีผล, $f ^ { \prime } ( x ) < 0$ จะตามมา, ดังนั้นฟังก์ชันคู่ ${ } ^ { f ( x ) }$ จึงลดลงอย่างต่อเนื่องบน $^ { ( 0 , + \infty ) }$. ดังนั้น $f \left( x ^ { 2 } - x \right) - f ( x ) > 0$ จึงเปลี่ยนเป็น: $f \left( \left| x ^ { 2 } - x \right| \right) > f ( | x | )$ ดังนั้น $\left| x ^ { 2 } - x \right| < | x |$ และเห็นได้ชัดว่า $x = 0$ ไม่เป็นไปตามความไม่เท่ากัน ให้ผลลัพธ์เป็น: $| x - 1 | < 1$ ดังนั้น $x \in ( 0,2 )$ .

Question 13: 15. ตามที่แสดงในแผนภาพ ภาชนะทรงกระบอกที่เติมน้ำจนเต็มมีรูเปิดอยู่ที่ฐานของมัน หากปริมาตรของน้ำที่ไหล...

15. ตามที่แสดงในแผนภาพ ภาชนะทรงกระบอกที่เติมน้ำจนเต็มมีรูเปิดอยู่ที่ฐานของมัน หากปริมาตรของน้ำที่ไหลออกเท่ากันในช่วงเวลาที่เท่ากัน ให้ความสูงของผิวหน้าของน้ำภายในภาชนะถูกแทนด้วย $h$ เป็นฟังก์ชันของเวลา $t$ มีค่าเท่ากับ $h = f ( t )$ โดยมีโดเมน $D$ ให้ $t _ { 0 } \in D , t _ { 0 } \pm \Delta t \in D , k _ { 1 } , k _ { 2 }$ แสดงอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ $^ { f ( t ) }$ ในช่วง $^ { \left[ t _ { 0 } - \Delta t , t _ { 0 } \right] , \left[ t _ { 0 } , t _ { 0 } + \Delta t \right] ( \Delta t > 0 ) }$ ตามลำดับ จากนั้น ความสัมพันธ์ด้านขนาดสำหรับ ![](/images/questions/calculus/image-001.jpg) คือ

  • A. A. $k _ { 1 } > k _ { 2 }$
  • B. B. $k _ { 1 } < k _ { 2 }$
  • C. C. $k _ { 1 } = k _ { 2 }$
  • D. D. ไม่สามารถกำหนดค่าของ ${ } ^ { k _ { 1 } , k _ { 2 } }$ ได้

Answer: A

Solution: จากรูปร่างของภาชนะ จะเห็นได้ว่าการลดลงของความสูงจะเพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่องภายในช่วงเวลาเดียวกัน นอกจากนี้ อัตราการเปลี่ยนแปลงของความสูง $h$ น้อยกว่าศูนย์ ดังนั้น อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ ${ } ^ { f ( t ) }$ ในช่วง $\left[ t _ { 0 } - \Delta t , t _ { 0 } \right] , \left[ t _ { 0 } , t _ { 0 } + \Delta t \right] ( \Delta t > 0 )$ จะลดลงจากค่าที่ใหญ่กว่าไปเป็นค่าที่เล็กกว่า นั่นคือ $k _ { 1 } > k _ { 2 }$

Question 14: 16. ความชันของเส้นสัมผัสกับเส้นโค้ง $y = \frac { 1 } { x }$ ที่จุด $P$ คือ -4 ดังนั้น พิกัดของจุด $P...

16. ความชันของเส้นสัมผัสกับเส้นโค้ง $y = \frac { 1 } { x }$ ที่จุด $P$ คือ -4 ดังนั้น พิกัดของจุด $P$ คือ

  • A. A. $\left( \frac { 1 } { 2 } , 2 \right)$
  • B. B. $y = \frac { 1 } { x }$ หรือ $P$
  • C. C. $\left( - \frac { 1 } { 2 } , - 2 \right)$
  • D. D. $\left( \frac { 1 } { 2 } , - 2 \right)$

Answer: B

Solution: $\because$ เส้นโค้ง $\mathrm { y } = \frac { 1 } { x } , \therefore \mathrm { y } ^ { \prime } = - \frac { 1 } { x ^ { 2 } }$ ให้ $\mathrm { P } \left( \mathrm { x } _ { 0 } , \frac { 1 } { x _ { 0 } } \right)$ $\because$ ความชันของเส้นสัมผัสที่จุด P คือ $- 4 , \therefore - \frac { 1 } { x _ { 0 } { } ^ { 2 } } = - 4$ ซึ่งให้ค่า $x _ { 0 } = \frac { 1 } { 2 }$ หรือ $x _ { 0 } = - \frac { 1 } { 2 }$ $\therefore$ พิกัดของจุด P คือ $\left( \frac { 1 } { 2 } , 2 \right)$ หรือ $\left( - \frac { 1 } { 2 } , - 2 \right)$

Question 15: 17. ช่วงที่ลดลงอย่างต่อเนื่องสำหรับฟังก์ชัน $y = \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } - \ln x$ คือ ( )

17. ช่วงที่ลดลงอย่างต่อเนื่องสำหรับฟังก์ชัน $y = \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } - \ln x$ คือ ( )

  • A. A. $( - 1,1 ]$
  • B. B. $( 0,1 ]$
  • C. C. $[ 1 , + \infty )$
  • D. D. $[ 0 , + \infty )$

Answer: B

Solution: โดเมนของฟังก์ชันคือ $( 0 , + \infty )$ จาก $y = \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } - \ln x$ เราได้ $y ^ { \prime } = x - \frac { 1 } { x } = \frac { x ^ { 2 } - 1 } { x }$ จาก $y ^ { \prime } = x - \frac { 1 } { x } = \frac { x ^ { 2 } - 1 } { x } < 0$ ให้ผลลัพธ์เป็น $x \left( x ^ { 2 } - 1 \right) < 0$; เนื่องจาก $x > 0$ เป็นจริง เราจึงแก้สมการสำหรับ $0 < x < 1$; ดังนั้น ช่วงที่ฟังก์ชันลดลงอย่างต่อเนื่องคือ $( 0,1 ]$.

Question 16: 18. ฟังก์ชัน $f ( x ) = x ^ { 3 } + a x ^ { 2 } + b x + c$ โดยที่ $a , b , c$ เป็นจำนวนจริง คือ $f (...

18. ฟังก์ชัน $f ( x ) = x ^ { 3 } + a x ^ { 2 } + b x + c$ โดยที่ $a , b , c$ เป็นจำนวนจริง คือ $f ( x )$ บน R เมื่อ $a ^ { 2 } - 3 b < 0$

  • A. A. ฟังก์ชันแบบเพิ่มทีละน้อย
  • B. B. ฟังก์ชันการลด
  • C. C. ค่าคงที่
  • D. D. ไม่สามารถกำหนดความเป็นเชิงเส้นเดียวของฟังก์ชันได้

Answer: A

Solution: วิธีแก้: เนื่องจาก $f ( x ) = x ^ { 3 } + a x ^ { 2 } + b x + c$ เป็นจริง ดังนั้น $f ^ { \prime } ( x ) = 3 x ^ { 2 } + 2 a x + b$ จึงเป็นจริง และเนื่องจาก $\Delta = 4 a ^ { 2 } - 12 b = 4 \left( a ^ { 2 } - 3 b \right) < 0$ เป็นจริง ดังนั้น $f ^ { \prime } ( x ) > 0$ จึงเป็นจริงสำหรับทุก R ดังนั้น $f ( x )$ จึงเพิ่มขึ้นบน R

Question 17: 19. หากฟังก์ชัน $f ( x ) = k x + \mathrm { e } ^ { 2 x }$ เพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่องในช่วง ${ } ^ { ( -...

19. หากฟังก์ชัน $f ( x ) = k x + \mathrm { e } ^ { 2 x }$ เพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่องในช่วง ${ } ^ { ( - 1,1 ) }$ แล้ว ช่วงของจำนวนจริง $k$ คือ ( )

  • A. A. $\left[ - 2 \mathrm { e } ^ { 2 } , + \infty \right)$
  • B. B. $\left[ - 2 \mathrm { e } ^ { - 2 } , + \infty \right)$
  • C. C. $\left[ - \mathrm { e } ^ { 2 } , + \infty \right)$
  • D. D. $\left[ - \mathrm { e } ^ { - 2 } , + \infty \right)$

Answer: B

Solution: ฟังก์ชัน $f ( x ) = k x + \mathrm { e } ^ { 2 x }$ คงที่ จากนั้น $f ^ { \prime } ( x ) = k + 2 \mathrm { e } ^ { 2 x }$ คงที่ เนื่องจากฟังก์ชัน $f ^ { ( x ) }$ เพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่องในช่วง $^ { ( - 1,1 ) }$ ดังนั้น $f ^ { \prime } ( x ) \geq 0$ จึงคงที่ คงอยู่สำหรับทุกค่าในช่วง $( - 1,1 )$; นั่นคือ $k \geq - 2 \mathrm { e } ^ { 2 x }$ คงอยู่สำหรับทุกค่าในช่วง $( - 1,1 )$; เนื่องจาก $y = - 2 \mathrm { e } ^ { 2 x }$ ลดลงอย่างต่อเนื่องในช่วง $( - 1,1 )$ ดังนั้น $y < - 2 \mathrm { e } ^ { - 2 }$ จึงเป็นจริง ดังนั้น $k \geq - 2 \mathrm { e } ^ { - 2 }$ จึงเป็นจริง ซึ่งหมายความว่าช่วงของจำนวนจริง $k$ คือ $\left[ - 2 \mathrm { e } ^ { - 2 } , + \infty \right)$

Question 18: 20. หากฟังก์ชัน $f ( x ) = \ln x + a x ^ { 2 } - 2 x$ เพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่องภายในช่วง $^ { ( 1,2 ) ...

20. หากฟังก์ชัน $f ( x ) = \ln x + a x ^ { 2 } - 2 x$ เพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่องภายในช่วง $^ { ( 1,2 ) }$ แล้ว ช่วงของจำนวนจริง $a$ คือ ( )

  • A. A. $\left( - \infty , \frac { 3 } { 8 } \right]$
  • B. B. $\left( \frac { 3 } { 8 } , \frac { 1 } { 2 } \right)$
  • C. C. $\left( \frac { 1 } { 2 } , + \infty \right)$
  • D. D. $\left[ \frac { 1 } { 2 } , + \infty \right)$

Answer: D

Solution: จากฟังก์ชัน $f ( x ) = \ln x + a x ^ { 2 } - 2 x$ เราจะได้ $f ^ { \prime } ( x ) = \frac { 1 } { x } + 2 a x - 2$ หาก ${ } ^ { f ( x ) }$ เพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่องภายในช่วง $^ { ( 1,2 ) }$ ดังนั้น $f ^ { \prime } ( x ) \geq 0$ จึงเป็นจริงสำหรับทุก $x \in { } ^ { ( 1,2 ) }$, นั่นคือ $a \geq \frac { 1 } { x } - \frac { 1 } { 2 x ^ { 2 } }$ เป็นจริงสำหรับทุก $x \in ( 1,2 )$. ให้ $g ( x ) = \frac { 1 } { x } - \frac { 1 } { 2 x ^ { 2 } } = - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { 1 } { x } - 1 \right) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 }$ โดย $\frac { 1 } { x } \in \left( \frac { 1 } { 2 } , 1 \right)$ และ $\therefore g ( x ) < g ( 1 ) = \frac { 1 } { 2 }$, ดังนั้น $a \geq \frac { 1 } { 2 }$ จึงเป็นจริง ดังนั้น ช่วงของค่าสำหรับจำนวนจริง $a$ คือ $\left[ \frac { 1 } { 2 } , + \infty \right)$

Question 19: 21. ในการกระโดดน้ำสูง ความสูงของจุดศูนย์ถ่วงของนักกีฬาเหนือผิวน้ำ ณ เวลา $t$ (หน่วย: วินาที) คือ $h$...

21. ในการกระโดดน้ำสูง ความสูงของจุดศูนย์ถ่วงของนักกีฬาเหนือผิวน้ำ ณ เวลา $t$ (หน่วย: วินาที) คือ $h$ (หน่วย: เมตร) เมตร) เป็นไปตามความสัมพันธ์ ${ } ^ { h ( t ) = a t ^ { 2 } + 5 t + 11 }$ เมื่อ $1 \leq t \leq 2$ เกิดขึ้น อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ $h$ คือ -10 เมตรต่อวินาที ดังนั้น เมื่อ $t = 3$ เกิดขึ้น อัตราการเปลี่ยนแปลงทันทีของ $h$ คือ ( )

  • A. A. - 15 เมตรต่อวินาที
  • B. B. 15 เมตรต่อวินาที
  • C. C. - 25 เมตรต่อวินาที
  • D. D. 25 เมตรต่อวินาที

Answer: C

Solution: จากเงื่อนไขที่กำหนด เราได้ $\frac { h ( 2 ) - h ( 1 ) } { 2 - 1 } = 3 a + 5 = - 10$ การแก้สมการนี้จะได้ $a = - 5$ ดังนั้น $h ( t ) = - 5 t ^ { 2 } + 5 t + 11$ จึงเป็นจริง ดังนั้น $h ^ { \prime } ( t ) = - 10 t + 5$ จึงเป็นผลตามมา และด้วยเหตุนี้ $h ^ { \prime } ( 3 ) = - 10 \times 3 + 5 = - 25$ จึงเป็นจริง

Question 20: 23. เส้นตรงที่ผ่านจุดยอดของพาราโบลา ${ } ^ { 2 } = 4 y$ และตัดแกน ${ } ^ { y }$ ที่จุด ${ } ^ { M }$...

23. เส้นตรงที่ผ่านจุดยอดของพาราโบลา ${ } ^ { 2 } = 4 y$ และตัดแกน ${ } ^ { y }$ ที่จุด ${ } ^ { M }$ สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด ${ } ^ { M }$ และสัมผัสกับพาราโบลาคือ ( )

  • A. A. ${ } ^ { 2 } = 4 y$ หรือ ${ } ^ { y }$
  • B. B. ${ } ^ { 2 } = 4 y$ หรือ ${ } ^ { y }$
  • C. C. ${ } ^ { 2 } = 4 y$ หรือ ${ } ^ { y }$
  • D. D. ${ } ^ { 2 } = 4 y$ หรือ ${ } ^ { y }$

Answer: D

Solution: วิธีแก้: จากเงื่อนไขที่กำหนด แนวแกนของพาราโบลา $x ^ { 2 } = 4 y$ คือ $y = - 1$ ดังนั้น $M ( 0 , - 1 )$ จาก $x ^ { 2 } = 4 y$ เราได้ $y = \frac { x ^ { 2 } } { 4 }$; เมื่อทำการอนุพันธ์จะได้ $y ^ { \prime } = \frac { x } { 2 }$; ให้พิกัดของจุดสัมผัสเป็น $\left( x _ { 0 } , \frac { x _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 } \right)$ จากนั้น $\frac { \frac { x _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 } + 1 } { x _ { 0 } } = \frac { x _ { 0 } } { 2 }$ จะให้ผลลัพธ์เป็น $x _ { 0 } = \pm 2$ $\therefore$ ความชันของเส้นสัมผัสคือ $k = \pm 1$; $\therefore$ สมการของเส้นสัมผัสคือ $y + 1 = \pm x$; นั่นคือ $y = x - 1$ หรือ $y = - x - 1$

Question 21: 24. เมื่อให้ $f ( x ) = - \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } + 2 x f ^ { \prime } ( 2019 ) - 2019 \ln x$, จ...

24. เมื่อให้ $f ( x ) = - \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } + 2 x f ^ { \prime } ( 2019 ) - 2019 \ln x$, จากนั้น $f ^ { \prime } ( 1 ) =$

  • A. A. 2017
  • B. B. 2018
  • C. C. 2019
  • D. D. 2020

Answer: D

Solution: ให้ $\mathrm { x } = 2019$ เป็น $f ^ { \prime } ( x ) = - x + 2 f ^ { \prime } ( 2019 ) - \frac { 2019 } { x }$, จากนั้นเราจะได้ $f ^ { \prime } ( 2019 ) = 2020$; ดังนั้น, $f ^ { \prime } ( 1 ) = - 1 + 4040 - 2019 = 2020$.

Question 22: 25. จากฟังก์ชัน $f ( x ) = \frac { 1 } { 3 } x ^ { 3 } + x + \cos x$, หาก $f ( 1 ) > f \left( \log _...

25. จากฟังก์ชัน $f ( x ) = \frac { 1 } { 3 } x ^ { 3 } + x + \cos x$, หาก $f ( 1 ) > f \left( \log _ { 2 } x \right)$ เป็นจริง, ช่วงของจำนวนจริง ${ } _ { x }$ คือ ( )

  • A. A. $( 0,2 )$
  • B. B. $( 0,1 )$
  • C. C. $( 2 , + \infty )$
  • D. D. $( 1 , + \infty )$

Answer: A

Solution: เนื่องจาก $f ( x ) = \frac { 1 } { 3 } x ^ { 3 } + x + \cos x$ ดังนั้น $f ^ { \prime } ( x ) = x ^ { 2 } + 1 - \sin x > 0$ ดังนั้น ฟังก์ชัน $y = f ( x )$ จึงเพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่องบน R ดังนั้น $f ( 1 ) > f \left( \log _ { 2 } x \right)$ จึงเทียบเท่ากับ $\left\{ \begin{array} { l } \log _ { 2 } x < 1 \\ x > 0 \end{array} \right.$ ซึ่งให้ผลลัพธ์เป็น $0 < x < 2$

Question 23: 26. เมื่อให้ฟังก์ชัน $f ( x ) = e ^ { x } + f ^ { \prime } ( 0 ) x ^ { 2 } + 3 x + 2$ แล้ว ให้ใช้ $f...

26. เมื่อให้ฟังก์ชัน $f ( x ) = e ^ { x } + f ^ { \prime } ( 0 ) x ^ { 2 } + 3 x + 2$ แล้ว ให้ใช้ $f ^ { \prime } ( 1 ) = ( )$

  • A. A. $e + 5$
  • B. B. $e + 8$
  • C. C. $e + 11$
  • D. D. $e + 12$

Answer: C

Solution: จากคำถามนี้ $f ^ { \prime } ( x ) = e ^ { x } + 2 f ^ { \prime } ( 0 ) x + 3$, ดังนั้น $f ^ { \prime } ( 0 ) = e ^ { 0 } + 0 + 3 = 4$ และ $f ^ { \prime } ( 1 ) = e + 2 \times 4 + 3 = e + 11$.

Question 24: 27. เนื่องจากกราฟของฟังก์ชัน $f ( x ) = a e ^ { x } + b x - 1$ เป็นเส้นสัมผัสกับแกน $x$ ที่จุดกำเนิด...

27. เนื่องจากกราฟของฟังก์ชัน $f ( x ) = a e ^ { x } + b x - 1$ เป็นเส้นสัมผัสกับแกน $x$ ที่จุดกำเนิด ค่าของ $a$ และ $b$ คือ ( )

  • A. A. $a = - 1 , b = 1$
  • B. B. $a = 1 , b = - 1$
  • C. C. $a = - 1 , b = 0$
  • D. D. $a = 0 , b = - 1$

Answer: B

Solution: เนื่องจาก $f ( x ) = a e ^ { x } + b x - 1$ ดังนั้น $f ^ { \prime } ( x ) = a e ^ { x } + b$ จากเงื่อนไขที่ทราบ เราได้ $\left\{ \begin{array} { l } f ( 0 ) = a - 1 = 0 \\ f ^ { \prime } ( 0 ) = a + b = 0 \end{array} \right.$ จากนั้นแก้สมการเพื่อหาค่า $\left\{ \begin{array} { l } a = 1 \\ b = - 1 \end{array} \right.$

Question 25: 28. เนื่องจาก $x = \ln 3$ เป็นจุดต่ำสุดของฟังก์ชัน $f ( x ) = \mathrm { e } ^ { x } + a x$, ดังนั้น ...

28. เนื่องจาก $x = \ln 3$ เป็นจุดต่ำสุดของฟังก์ชัน $f ( x ) = \mathrm { e } ^ { x } + a x$, ดังนั้น $a =$ ( )

  • A. A. $\ln 3$
  • B. B. $- \ln 3$
  • C. C. 3
  • D. D. - 3

Answer: D

Solution: เนื่องจาก $f ( x ) = \mathrm { e } ^ { x } + a x$ ดังนั้น $f ^ { \prime } ( x ) = \mathrm { e } ^ { x } + a$ เนื่องจาก $x = \ln 3$ เป็นจุดต่ำสุดของ $f ( x )$ ดังนั้น $f ^ { \prime } ( \ln 3 ) = 3 + a = 0$ การแก้สมการให้ผลลัพธ์เป็น $a = - 3$ เมื่อ $a = - 3$ มีผล, $f ^ { \prime } ( x ) = \mathrm { e } ^ { x } - 3$ จะถูกนำมาใช้; เมื่อ $x > \ln 3$ เป็นจริง $f ^ { \prime } ( x ) > 0 , f ( x )$ จะเพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่อง; เมื่อ $x < \ln 3$ เป็นจริง $f ^ { \prime } ( x ) < 0 , f ( x )$ จะลดลงอย่างต่อเนื่อง ดังนั้น เมื่อ $a = - 3$ เป็นจริง $x = \ln 3$ จะเป็นจุดต่ำสุดเฉพาะที่สำหรับ $f ( x )$ ดังนั้น $a = - 3$

Question 26: 29. เมื่อพิจารณาฟังก์ชัน $f ( x ) = \frac { 1 } { x }$ แล้ว $\lim _ { \Delta x \rightarrow 0 } \frac...

29. เมื่อพิจารณาฟังก์ชัน $f ( x ) = \frac { 1 } { x }$ แล้ว $\lim _ { \Delta x \rightarrow 0 } \frac { f ( 1 + \Delta x ) - f ( 1 ) } { \Delta x } = ( )$

  • A. A. - 1
  • B. B. 1
  • C. C. $- \frac { 1 } { x ^ { 2 } }$
  • D. D. $\frac { 1 } { x ^ { 2 } }$

Answer: A

Solution: เนื่องจาก $f ( 1 + \Delta x ) = \frac { 1 } { 1 + \Delta x } , f ( 1 ) = \frac { 1 } { 1 } = 1$ ดังนั้น $f ( 1 + \Delta x ) - f ( 1 ) = \frac { 1 } { 1 + \Delta x } - 1 = \frac { - \Delta x } { 1 + \Delta x }$ ดังนั้น $\lim _ { \Delta x \rightarrow 0 } \frac { f ( 1 + \Delta x ) - f ( 1 ) } { \Delta x } = \lim _ { \Delta x \rightarrow 0 } \frac { - 1 } { 1 + \Delta x } = - 1$

Question 27: 31. การดำเนินการแยกแยะต่อไปนี้ข้อใดถูกต้อง?

31. การดำเนินการแยกแยะต่อไปนี้ข้อใดถูกต้อง?

  • A. A. $\left( x + \frac { 1 } { x } \right) ^ { \prime } = 1 + \frac { 1 } { x ^ { 2 } }$
  • B. B. $\left( \log _ { 2 } x \right) ^ { \prime } = \frac { 1 } { x \ln 2 }$
  • C. C. $\left( 3 ^ { x } \right) ^ { \prime } = 3 ^ { x } \cdot \log _ { 3 } \mathrm { e }$
  • D. D. $\left( \frac { x ^ { 2 } } { \mathrm { e } ^ { x } } \right) ^ { \prime } = \frac { 2 x + x ^ { 2 } } { \mathrm { e } ^ { x } }$

Answer: B

Solution: A. $\left( x + \frac { 1 } { x } \right) ^ { \prime } = 1 - \frac { 1 } { x ^ { 2 } }$ , A ผิด; B. $\left( \log _ { 2 } x \right) ^ { \prime } = \frac { 1 } { x \ln 2 }$ , B ถูก; C. $\left( 3 ^ { x } \right) ^ { \prime } = 3 ^ { x } \cdot \ln 3 = 3 ^ { x } \cdot \frac { 1 } { \log _ { 3 } \mathrm { e } }$ , C ผิด; D. $\left( \frac { x ^ { 2 } } { \mathrm { e } ^ { x } } \right) ^ { \prime } = \frac { 2 x - x ^ { 2 } } { \mathrm { e } ^ { x } }$ ดังนั้น D ผิด

Question 28: 32. หากกราฟของฟังก์ชัน $y = f ( x )$ มีจุดสองจุดที่ทำให้เส้นสัมผัสของกราฟที่จุดเหล่านี้ตั้งฉากกันเอง...

32. หากกราฟของฟังก์ชัน $y = f ( x )$ มีจุดสองจุดที่ทำให้เส้นสัมผัสของกราฟที่จุดเหล่านี้ตั้งฉากกันเอง ฟังก์ชัน ${ } ^ { y = f ( x ) }$ จะถูกกล่าวว่ามีสมบัติ $T$ ฟังก์ชันใดต่อไปนี้ที่มีสมบัติ $T$

  • A. A. $y = \cos x$
  • B. B. $y = \ln x$
  • C. C. $y = \mathrm { e } ^ { x }$
  • D. D. $y = x ^ { 3 }$

Answer: A

Solution: จากคำถามนี้ สามารถสรุปได้ว่า ${ } ^ { y = f ( x ) }$ มีสมบัติ $T$ คือ มี ${ } ^ { x _ { 1 } , x _ { 2 } }$ ที่ทำให้ $f ^ { \prime } \left( x _ { 1 } \right) \cdot f ^ { \prime } \left( x _ { 2 } \right) = - 1$ สำหรับ $\mathrm { A } , ~ y ^ { \prime } = - \sin x$, มีอยู่ $x _ { 1 } = \frac { \pi } { 2 } , ~ x _ { 2 } = - \frac { \pi } { 2 }$ ที่ทำให้ $f ^ { \prime } \left( x _ { 1 } \right) \cdot f ^ { \prime } \left( x _ { 2 } \right) = \left( - \sin \frac { \pi } { 2 } \right) \left[ - \sin \left( - \frac { \pi } { 2 } \right) \right] = - 1$ เป็นจริง; A ถูกต้อง สำหรับ B, $y = \ln x$ มีโดเมนเป็น $( 0 , + \infty ) , y ^ { \prime } = \frac { 1 } { x } > 0$; ดังนั้น ไม่มี ${ } ^ { x _ { 1 } , x _ { 2 } }$ ที่ทำให้ $f ^ { \prime } \left( x _ { 1 } \right) \cdot f ^ { \prime } \left( x _ { 2 } \right) = - 1$ เป็นจริงได้ B ไม่ถูกต้อง; สำหรับ C, $y ^ { \prime } = \mathrm { e } ^ { x } > 0$ เป็นจริง ดังนั้นจึงไม่มี ${ } ^ { x _ { 1 } , x _ { 2 } }$ ที่ทำให้ $f ^ { \prime } \left( x _ { 1 } \right) \cdot f ^ { \prime } \left( x _ { 2 } \right) = - 1$ เป็นจริง; C ไม่ถูกต้อง; สำหรับ D, $y ^ { \prime } = 3 x ^ { 2 } \geq 0$ มีอยู่ ดังนั้น ${ } ^ { x _ { 1 } , x _ { 2 } }$ จึงไม่สามารถมีอยู่ได้ นำไปสู่ $f ^ { \prime } \left( x _ { 1 } \right) \cdot f ^ { \prime } \left( x _ { 2 } \right) = - 1$; D ไม่ถูกต้อง

Question 29: 33. ให้ฟังก์ชัน $f ( x ) = \ln x - \frac { 1 } { 3 } a x ^ { 3 }$ ลดลงอย่างต่อเนื่องบน $( 1 , + \inf...

33. ให้ฟังก์ชัน $f ( x ) = \ln x - \frac { 1 } { 3 } a x ^ { 3 }$ ลดลงอย่างต่อเนื่องบน $( 1 , + \infty )$ จากนั้นช่วงของจำนวนจริง $a$ คือ

  • A. A. $( 0,1 ]$
  • B. B. $[ 1 , + \infty )$
  • C. C. $( 0,1 )$
  • D. D. $( 0 , + \infty )$

Answer: B

Solution: เนื่องจาก $f ( x ) = \ln x - \frac { 1 } { 3 } a x ^ { 3 }$ เป็นจริง ดังนั้น $f ^ { \prime } ( x ) = \frac { 1 } { x } - a x ^ { 2 }$ จึงเป็นจริง จากโจทย์ที่กำหนดไว้ $f ^ { \prime } ( x ) \leq 0$ เป็นจริงสำหรับทุก $x > 1$ ดังนั้น $a \geq \frac { 1 } { x ^ { 3 } }$ เป็นจริงสำหรับทุก $x > 1$ เมื่อ $x > 1$ เป็นจริง, $\frac { 1 } { x ^ { 3 } } \in ( 0,1 ) , \therefore a \geq 1$ .

Question 30: 34. พื้นที่ของรูปทรงสี่เหลี่ยมที่ล้อมรอบโดยเส้นตรง $x = - 2 , x = 2 , y = 0$ และเส้นโค้ง $y = x ^ { ...

34. พื้นที่ของรูปทรงสี่เหลี่ยมที่ล้อมรอบโดยเส้นตรง $x = - 2 , x = 2 , y = 0$ และเส้นโค้ง $y = x ^ { 2 } - x$ คือ ( )

  • A. A. $\frac { 16 } { 3 }$
  • B. B. $\frac { 17 } { 3 }$
  • C. C. $\frac { 8 } { 3 }$
  • D. D. $\frac { 5 } { 3 }$

Answer: B

Solution: การวิเคราะห์: วาดกราฟของฟังก์ชัน $y = x ^ { 2 } - x$ และเส้นตรง $x = - 2 , x = 2$ เพื่อกำหนดขอบเขตบนและขอบเขตล่างของการอินทิเกรต คำอธิบายโดยละเอียด: ตามที่แสดงในรูป ![](/images/questions/calculus/image-002.jpg) $S = \int _ { - 2 } ^ { 0 } \left( x ^ { 2 } - x \right) d x + \int _ { 0 } ^ { 1 } \left( - x ^ { 2 } + x \right) d x + \int _ { 1 } ^ { 2 } \left( x ^ { 2 } - x \right) d x$ $= \left. \left( \frac { 1 } { 3 } x ^ { 3 } - \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } \right) \right| _ { - 2 } ^ { 0 } + \left. \left( - \frac { 1 } { 3 } x ^ { 3 } + \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } \right) \right| _ { 0 } ^ { 1 } + \left. \left( \frac { 1 } { 3 } x ^ { 3 } - \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } \right) \right| _ { 1 } ^ { 2 } = \frac { 17 } { 3 }$

Question 31: 35. หากฟังก์ชัน $f ( x ) = \sin 2 x - k \sin x + x$ ลดลงอย่างต่อเนื่องในช่วง $\left( 0 , \frac { \pi...

35. หากฟังก์ชัน $f ( x ) = \sin 2 x - k \sin x + x$ ลดลงอย่างต่อเนื่องในช่วง $\left( 0 , \frac { \pi } { 2 } \right)$ แล้ว ช่วงของค่าสำหรับ $k$ คือ ( )

  • A. A. $[ - 3 , + \infty )$
  • B. B. $[ 3 , + \infty )$
  • C. C. $[ 0 , + \infty )$
  • D. D. $[ - 3,3 ]$

Answer: B

Solution:

Question 32: 36. จากฟังก์ชัน $f ( x ) = x ^ { 2 } + 2 \cos x$, ชุดคำตอบของอสมการ $f ( 2 x - 1 ) < f ( 3 x )$ คือ ...

36. จากฟังก์ชัน $f ( x ) = x ^ { 2 } + 2 \cos x$, ชุดคำตอบของอสมการ $f ( 2 x - 1 ) < f ( 3 x )$ คือ ( )

  • A. A. $\left( - 1 , \frac { 1 } { 5 } \right)$
  • B. B. $\left( - \frac { 1 } { 5 } , 1 \right)$
  • C. C. $( - \infty , - 1 ) \cup \left( \frac { 1 } { 5 } , + \infty \right)$
  • D. D. $\left( - \infty , - \frac { 1 } { 5 } \right) \cup ( 1 , + \infty )$

Answer: C

Solution: เนื่องจากโดเมนของฟังก์ชัน $y = f ( x )$ คือ $R , f ( - x ) = ( - x ) ^ { 2 } + 2 \cos ( - x ) = x ^ { 2 } + 2 \cos x = f ( x )$, ฟังก์ชัน $y = f ( x )$ จึงเป็นฟังก์ชันคู่. เมื่อ $x \geq 0$ เป็นจริง $f ^ { \prime } ( x ) = 2 x - 2 \sin x = g ( x ) , g ^ { \prime } ( x ) = 2 - 2 \cos x \geq 0$ จะตามมา ดังนั้น $f ^ { \prime } ( x ) = 2 x - 2 \sin x$ จะเพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่องใน $[ 0 , + \infty )$; ดังนั้น $f ^ { \prime } ( x ) \geq f ^ { \prime } ( 0 ) = 0$ จึงหมายความว่า $y = f ( x )$ จะเพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่องใน $[ 0 , + \infty )$; โดย $f ( 2 x - 1 ) < f ( 3 x )$ดังนั้น $f ^ { \prime } ( x ) \geq f ^ { \prime } ( 0 ) = 0$ จึงเป็นจริง และฟังก์ชัน $y = f ( x )$ เพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่องบน $[ 0 , + \infty )$ จาก $f ( 2 x - 1 ) < f ( 3 x )$ เราได้ $f ( | 2 x - 1 | ) < f ( | 3 x | )$ จากนั้น $| 2 x - 1 | < | 3 x |$ เมื่อยกกำลังสองทั้งสองข้างของอสมการจะได้ $9 x ^ { 2 } > ( 2 x - 1 ) ^ { 2 }$ จากนี้จะได้ $( x + 1 ) ( 5 x - 1 ) > 0$ จากนั้นแก้สมการสำหรับ $x < - 1$ หรือ $x > \frac { 1 } { 5 }$ ดังนั้น ชุดคำตอบสำหรับไม่เท่ากัน $f ( 2 x - 1 ) < f ( 3 x )$ คือ $( - \infty , - 1 ) \cup \left( \frac { 1 } { 5 } , + \infty \right)$

Question 33: 37. เมื่อพาราโบลา $C : x ^ { 2 } = 4 y$ ผ่านจุด $M ( 0,4 )$ ตัดกันที่จุดสองจุด $C$ และ $A , B$ และ $...

37. เมื่อพาราโบลา $C : x ^ { 2 } = 4 y$ ผ่านจุด $M ( 0,4 )$ ตัดกันที่จุดสองจุด $C$ และ $A , B$ และ $C _ { \text {在 } } A , B$ เส้นสัมผัสที่จุด $C _ { \text {在 } } A , B$ ตัดกันที่จุด $N$ ในสี่จุดต่อไปนี้ จุดใดสามารถเป็นจุดกึ่งกลางของเส้นตรง $M N$ ได้บ้าง? ( )

  • A. A. $( 0,1 )$
  • B. B. $\left( \frac { 1 } { 2 } , 0 \right)$
  • C. C. $\left( \frac { 1 } { 2 } , 1 \right)$
  • D. D. $\left( 1 , - \frac { 1 } { 2 } \right)$

Answer: B

Solution: ให้เราตั้งค่า $A \left( x _ { 1 } , y _ { 1 } \right) , B \left( x _ { 2 } , y _ { 2 } \right) , N \left( x _ { 0 } , y _ { 0 } \right)$ จาก $x ^ { 2 } = 4 y$ เราจะได้ $y = \frac { 1 } { 4 } x ^ { 2 }$ ดังนั้นจะได้ $y ^ { \prime } = \frac { 1 } { 2 } x$ ดังนั้น สมการของเส้นสัมผัสของพาราโบลาที่จุด $A$ คือ $y - y _ { 1 } = \frac { 1 } { 2 } x _ { 1 } \left( x - x _ { 1 } \right)$ เนื่องจาก $x _ { 1 } ^ { 2 } = 4 y _ { 1 }$ เมื่อลดรูปสมการจะได้: $x _ { 1 } x = 2 \left( y + y _ { 1 } \right)$ ในทำนองเดียวกัน สมการของเส้นสัมผัสของพาราโบลาที่จุด ${ } ^ { B }$ คือ $x _ { 2 } x = 2 \left( y + y _ { 2 } \right)$ เนื่องจากเส้นสัมผัสทั้งสองตัดกันที่จุด $N \left( x _ { 0 } , y _ { 0 } \right)$ เราจึงได้ $\left\{ \begin{array} { l } x _ { 1 } x _ { 0 } = 2 \left( y _ { 0 } + y _ { 1 } \right) \\ x _ { 2 } x _ { 0 } = 2 \left( y _ { 0 } + y _ { 2 } \right) \end{array} \right.$ ดังนั้น จุด $A , B$ จึงอยู่บนเส้นตรง $x _ { 0 } x - 2 y - 2 y _ { 0 } = 0$ ซึ่งเทียบเท่ากับสมการของเส้นตรง $A B$ ที่เป็น $x _ { 0 } x - 2 y - 2 y _ { 0 } = 0$ เนื่องจากจุด $M ( 0,4 )$ อยู่บนเส้นตรง $A B$, เมื่อแทนค่าจะได้ $y _ { 0 } = - 4$, ดังนั้นจะได้ $N \left( x _ { 0 } , - 4 \right)$. ดังนั้น จุดกึ่งกลางของเส้นตรง $M N$ คือ $N \left( \frac { x _ { 0 } } { 2 } , 0 \right)$ ในบรรดาตัวเลือก จุดกึ่งกลางของเส้นตรง $M N$ คือ $\left( \frac { 1 } { 2 } , 0 \right)$ ![](/images/questions/calculus/image-003.jpg)

Question 34: 38. เนื่องจากฟังก์ชัน $f ( x ) = 2 ( x - 1 ) \mathrm { e } ^ { x } - x ^ { 2 } - a x$ มีค่าเพิ่มขึ้น...

38. เนื่องจากฟังก์ชัน $f ( x ) = 2 ( x - 1 ) \mathrm { e } ^ { x } - x ^ { 2 } - a x$ มีค่าเพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่องบน R ค่าสูงสุดของ $a$ คือ ( )

  • A. A. 0
  • B. B. $\frac { 1 } { 6 }$
  • C. C. อี
  • D. D. 3

Answer: A

Solution: จากฟังก์ชัน $f ( x ) = 2 ( x - 1 ) \mathrm { e } ^ { x } - x ^ { 2 } - a x$, เราได้ $f ^ { \prime } ( x ) = 2 x \mathrm { e } ^ { x } - 2 x - a$. เนื่องจาก $f ( x )$ เพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่องบน R, $f ^ { \prime } ( x ) = 2 x \mathrm { e } ^ { x } - 2 x - a \geq 0$ จึงเป็นจริงสำหรับทุกค่า, ซึ่งหมายความว่า $a \leq 2 x \mathrm { e } ^ { x } - 2 x$ เป็นจริงสำหรับทุกค่า. ให้ $g ( x ) = 2 x \mathrm { e } ^ { x } - 2 x$ เป็นจริง แล้ว $g ^ { \prime } ( x ) = ( 2 x + 2 ) \mathrm { e } ^ { x } - 2$ จะเป็นจริง เมื่อ $x < 0$ เป็นจริง $g ^ { \prime } ( x ) < 0$ จะเป็นจริงเมื่อ $x > 0$ เป็นจริง $g ^ { \prime } ( x ) > 0$ จะตามมา ซึ่งหมายความว่า $g ^ { ( x ) }$ จะลดลงอย่างต่อเนื่องบน $^ { ( - \infty , 0 ) }$ และเพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่องบน $( 0 , + \infty )$ ดังนั้น $g ( x ) _ { \text {min } } = g ( 0 ) = 0$ จึงเป็นจริง กล่าวคือ $a \leq 0$ เป็นจริง ดังนั้น ค่าสูงสุดของจำนวนจริง $a$ คือ 0

Question 35: 39. เนื่องจากเส้นตรง $y = a x + b$ เป็นเส้นสัมผัสกับเส้นโค้ง $\mathrm { y } = \mathrm { x } + \frac ...

39. เนื่องจากเส้นตรง $y = a x + b$ เป็นเส้นสัมผัสกับเส้นโค้ง $\mathrm { y } = \mathrm { x } + \frac { 1 } { \mathrm { x } }$ ค่าสูงสุดของ $2 a + b$ คือ ( )

  • A. A. $\frac { 1 } { 2 }$
  • B. B. 2
  • C. C. $\frac { 5 } { 2 }$
  • D. D. 5

Answer: C

Solution: ให้แกนของจุดสัมผัสของฟังก์ชันแทนเจนต์เป็น $m ( m \neq 0 )$ การหาอนุพันธ์จะได้: $\mathrm { y } = \mathrm { x } + \frac { 1 } { \mathrm { x } }$ ซึ่งให้ผลลัพธ์เป็น $y ^ { \prime } = 1 - \frac { 1 } { x ^ { 2 } }$ จากเงื่อนไขที่กำหนด เราจะได้ $\left\{ \begin{array} { l } a = 1 - \frac { 1 } { m ^ { 2 } } \\ a m + b = m + \frac { 1 } { m } \end{array} \right.$ เมื่อแก้สมการสำหรับ: $\left\{ \begin{array} { l } a = 1 - \frac { 1 } { m ^ { 2 } } \\ b = \frac { 2 } { m } \end{array} \right.$ ดังนั้น, $2 a + b = - \frac { 2 } { m ^ { 2 } } + \frac { 2 } { m } + 2 = - 2 \left( \frac { 1 } { m } - \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } + \frac { 5 } { 2 }$ ดังนั้น, เมื่อ $m = 2$ ค่าสูงสุดของ $2 a + b$ คือ $\frac { 5 } { 2 }$.

Question 36: 40. เนื่องจากฟังก์ชัน $f ( x ) = \sin \left( \omega x + \frac { \pi } { 6 } \right) ( \omega > 0 )$ ...

40. เนื่องจากฟังก์ชัน $f ( x ) = \sin \left( \omega x + \frac { \pi } { 6 } \right) ( \omega > 0 )$ มีค่าลดลงอย่างต่อเนื่องบน $( 1,2 )$ และมีค่าเพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่องบน $( 2,3 )$ และวงกลม $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = r ^ { 2 } ( r > 0 )$ มีจุดสามจุดที่สอดคล้องกับจุดสุดขีดของ $f ( x )$ อย่างแน่นอน ดังนั้นช่วงค่าของ $r$ คือ ( ) "การบ้านคณิตศาสตร์มัธยมปลาย, 29 ตุลาคม 2025"

  • A. A. $[ 2 , \sqrt { 5 } )$
  • B. B. $\left( \sqrt { 5 } , \frac { \sqrt { 29 } } { 2 } \right]$
  • C. C. $( \sqrt { 5 } , 3 ]$
  • D. D. $\left[ \sqrt { 5 } , \frac { \sqrt { 53 } } { 2 } \right]$

Answer: B

Solution: เนื่องจาก $f ( x )$ มีค่าต่ำสุดที่ $x = 2$, $\therefore \sin \left( 2 \omega + \frac { \pi } { 6 } \right) = - 1 , \therefore 2 \omega + \frac { \pi } { 6 } = 2 k \pi - \frac { \pi } { 2 } ( k \in \mathbf { Z } )$ ให้ผลลัพธ์เป็น $\omega = k \pi - \frac { \pi } { 3 } ( k \in \mathbf { Z } )$; ฟังก์ชัน $\because$ มีค่าลดลงอย่างต่อเนื่องบน ${ } ^ { f ( x ) }$ เมื่อพิจารณาตาม $^ { ( 1,2 ) }$, $\therefore \frac { T } { 2 } \geq 1$, ซึ่งก็คือ $\frac { \pi } { \omega } \geq 1 , ~ \therefore 0 < \omega \leq \pi$ เมื่อ ${ } _ { k = 1 }$ และ $\omega = \frac { 2 \pi } { 3 } , ~ T = 3$ ซึ่งสอดคล้องกับเงื่อนไข $\therefore f ( x ) = \sin \left( \frac { 2 \pi } { 3 } x + \frac { \pi } { 6 } \right)$ จากกราฟ, ${ } ^ { y }$ ด้านขวาของแกนประกอบด้วยสองจุดที่สอดคล้องกับค่าสูงสุดหรือต่ำสุด ในขณะที่ด้านซ้ายประกอบด้วยหนึ่งจุดที่สอดคล้องกับค่าสูงสุดหรือต่ำสุด ช่วงของ ![](/images/questions/calculus/image-004.jpg) มีค่ามากกว่าจุดที่สอดคล้องกับค่าสูงสุดหรือต่ำสุดที่สองทางด้านขวาของจุดกำเนิด $( 2 , - 1 ) _ { \text {到原点的距离,小于等于原点左侧第二个极值对应的点 } } \left( - \frac { 5 } { 2 } , 1 \right)$ ไปยังจุดกำเนิด คือ $r \in \left( \sqrt { 5 } , \frac { \sqrt { 29 } } { 2 } \right]$,
กลับไปที่หัวข้อ

Calculus

导数与微积分

36 คำถามฝึกหัด

ฝึกฝนกับโจทย์ภาษาจีนเพื่อเตรียมสอบ CSCA คุณสามารถเปิด/ปิดคำแปลได้ขณะฝึก

ภาพรวมหัวข้อ

อนุพันธ์และแคลคูลัสเป็นเครื่องมือหลักของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ โดยมุ่งเน้นการตรวจสอบอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน ความชันของเส้นสัมผัส และการคำนวณพื้นที่ ในการสอบ CSCA ส่วนนี้มักจะปรากฏในรูปแบบของปัญหาเชิงคำนวณและการประยุกต์ใช้ ซึ่งต้องการให้ผู้เข้าสอบแสดงความสามารถในการใช้กฎการอนุพันธ์พื้นฐาน การตีความทางเรขาคณิตของอนุพันธ์ และการดำเนินการอินทิกรัลเบื้องต้น คำถามมีความยากปานกลาง โดยเน้นการประยุกต์ใช้สูตรพื้นฐานและความแม่นยำในการคำนวณ

จำนวนคำถาม:36

ประเด็นสำคัญ

  • 1สูตรอนุพันธ์และกฎสำหรับฟังก์ชันพื้นฐานเบื้องต้น
  • 2ความหมายเชิงเรขาคณิตของอนุพันธ์ (ความชันของเส้นสัมผัสและสมการเส้นสัมผัส)
  • 3วิธีการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงประกอบและฟังก์ชันแฝง
  • 4การวิเคราะห์ความเป็นเชิงเส้นเดียวและค่าที่สุดของฟังก์ชันโดยใช้อนุพันธ์

เคล็ดลับการเรียน

ขอแนะนำให้รวมสูตรการหาอนุพันธ์ให้สมบูรณ์ผ่านแบบฝึกหัดที่จัดหมวดหมู่ โดยให้ความสำคัญเป็นพิเศษกับกฎลูกโซ่สำหรับการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันผสม และวิธีการมาตรฐานในการแก้สมการของเส้นสัมผัส

ทำโจทย์เป็น ≠ สอบผ่าน

ข้อสอบจำลองฉบับเต็ม ตามหลักสูตรทางการ รวมหลายหัวข้อเหมือนสอบจริง

รับข้อสอบจำลอง →

ไม่มีบัตรเครดิต? อีเมลหาเรา: kaiguo370@gmail.com

แหล่งข้อมูลการเรียนรู้ที่เกี่ยวข้อง

คู่มือคณิตศาสตร์
เอกสารเตรียมสอบฉบับสมบูรณ์
คำศัพท์คณิตศาสตร์
ทบทวนคำศัพท์และแนวคิดที่เกี่ยวข้อง

สำรวจการฝึกหัดวิชาอื่นๆ:

ฝึกฟิสิกส์ฝึกเคมี