Skip to main content

Analytic Geometry - Practice Questions (38)

Question 1: 1. จากจุด $A ( 1,0 ) , B ( 3,1 )$, หากเส้นตรง $A B$ เป็นเส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นตรง $x - m y + 1 = 0...

1. จากจุด $A ( 1,0 ) , B ( 3,1 )$, หากเส้นตรง $A B$ เป็นเส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นตรง $x - m y + 1 = 0$, ดังนั้น $m =$

  • A. A. - 2
  • B. B. $- \frac { 1 } { 2 }$
  • C. C. $\frac { 1 } { 2 }$
  • D. D. 2

Answer: B

Solution: ตามคำถาม ความชันของเส้นตรง $A B$ คือ $\frac { 1 - 0 } { 3 - 1 } = \frac { 1 } { 2 }$ เนื่องจากเส้นตรง $A B$ เป็นเส้นตั้งฉากกับเส้นตรง $x - m y + 1 = 0$ และค่าความชันของเส้นตรง $x - m y + 1 = 0$ คือ -2 ดังนั้น $\frac { 1 } { m } = - 2$ จากนี้จะได้ $m = - \frac { 1 } { 2 }$

Question 2: 2. จากพาราโบลา $y = \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 }$, สมการของไดเร็กทริกซ์คือ

2. จากพาราโบลา $y = \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 }$, สมการของไดเร็กทริกซ์คือ

  • A. A. $x = - \frac { 1 } { 8 }$
  • B. B. $x = \frac { 1 } { 8 }$
  • C. C. $y = \frac { 1 } { 2 }$
  • D. D. $y = - \frac { 1 } { 2 }$

Answer: D

Solution:

Question 3: 3. สมการของเส้นตรงที่เป็นเส้นขอบของพาราโบลา $x ^ { 2 } = - 4 y$ คือ

3. สมการของเส้นตรงที่เป็นเส้นขอบของพาราโบลา $x ^ { 2 } = - 4 y$ คือ

  • A. A. $x = \frac { 1 } { 16 }$
  • B. B. $x = 1$
  • C. C. $y = 1$
  • D. D. $y = 2$

Answer: C

Solution: เนื่องจาก $x ^ { 2 } = - 4 y$ เป็นพาราโบลาที่หันลงด้านล่าง สมการของเส้นไดเร็กทริกซ์ของมันคือ ${ } ^ { y = 1 }$

Question 4: 4. หากเส้น $y = k x - 2$ ตั้งฉากกับเส้น $y = 3 x$ แล้ว $k =$

4. หากเส้น $y = k x - 2$ ตั้งฉากกับเส้น $y = 3 x$ แล้ว $k =$

  • A. A. 3
  • B. B. $\frac { 1 } { 3 }$
  • C. C. - 3
  • D. D. $- \frac { 1 } { 3 }$

Answer: D

Solution: วิธีแก้: เนื่องจากเส้นตรงสองเส้นตั้งฉากกันโดยมีค่าความชันเป็น $\mathrm { k } _ { 1 } , \mathrm { k } _ { 2 } , \mathrm { C } ^ { \mathrm { k } _ { 1 } } \mathrm { x } _ { 2 } = - 1$ และ $k : 3 = - 1$ ตามลำดับ เราจะได้: $k = - \frac { 1 } { 3 }$

Question 5: 5. ความชันของเส้นตรง $y = \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } x + 7$ คือ

5. ความชันของเส้นตรง $y = \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } x + 7$ คือ

  • A. A. $\frac { \pi } { 3 }$
  • B. B. $\frac { \pi } { 4 }$
  • C. C. $\frac { \pi } { 6 }$
  • D. D. $\frac { \pi } { 2 }$

Answer: C

Solution: ความชันของเส้นตรง $y = \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } x + 7$ คือ $\frac { \sqrt { 3 } } { 3 }$ ให้มุมเอียงเท่ากับ $\alpha ( 0 \leq \alpha < \pi )$ แล้วจะได้ $\tan \alpha = \frac { \sqrt { 3 } } { 3 }$ และ $\therefore \alpha = \frac { \pi } { 6 }$

Question 6: 7. หากวงกลมสองวง $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + 2 \sqrt { m } x + m - 4 = 0 ( m > 0 )$ และ $x ^ { 2 } + y ...

7. หากวงกลมสองวง $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + 2 \sqrt { m } x + m - 4 = 0 ( m > 0 )$ และ $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - 4 \sqrt { n } y - 1 + 4 n = 0 ( n > 0 )$ มีเส้นสัมผัสร่วมกันพอดีสามเส้น ค่าต่ำสุดของ $\frac { 1 } { m } + \frac { 1 } { n }$ คือ

  • A. A. $\frac { 1 } { 9 }$
  • B. B. $\frac { 4 } { 9 }$
  • C. C. 1
  • D. D. 3

Answer: C

Solution: วิธีแก้: จากเงื่อนไขที่กำหนด วงกลมสองวงสัมผัสกันภายนอก สมการมาตรฐานของวงกลมทั้งสองคือ $( x + \sqrt { m } ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 4 , x ^ { 2 } + ( y - 2 \sqrt { n } ) ^ { 2 } = 1$ และ $( - \sqrt { m } , 0 ) , ( 0,2 \sqrt { n } )$ ตามลำดับ โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ $( - \sqrt { m } , 0 ) , ( 0,2 \sqrt { n } )$ และรัศมี 2 และ 1 ตามลำดับ ดังนั้น เราจะได้ $\sqrt { m + 4 n } = 3$ และ $\therefore m + 4 n = 9$ $\therefore \frac { m + 4 n } { 9 } = 1$ $\therefore \frac { 1 } { m } + \frac { 1 } { n } = \frac { m + 4 n } { 9 m } + \frac { m + 4 n } { 9 n }$ $= \frac { 1 } { 9 } + \frac { 4 } { 9 } + \frac { 4 n } { 9 m } + \frac { m } { 9 n } \geq \frac { 5 } { 9 } + 2 \sqrt { \frac { 4 } { 81 } } = 1$ ถ้าและเฉพาะเมื่อ $\frac { 4 n } { 9 m } = \frac { m } { 9 n }$ เป็นจริง นั่นคือ $m = 2 n = 3 ^ { \text {เมื่อเครื่องหมายเท่ากับเป็นจริง} }$

Question 7: 8. ระหว่างการลงพื้นที่ กลุ่มปฏิบัติการทางสังคมได้ค้นพบสะพานหินโค้งเดี่ยว (ตามภาพ) ส่วนโค้งของสะพานมี...

8. ระหว่างการลงพื้นที่ กลุ่มปฏิบัติการทางสังคมได้ค้นพบสะพานหินโค้งเดี่ยว (ตามภาพ) ส่วนโค้งของสะพานมีลักษณะเป็นรูปพาราโบลา มีความยาว 21.6 เมตร จุดยอดโค้งอยู่สูงจากผิวน้ำ 10.9 เมตร และพื้นผิวถนนมีความหนาประมาณ 1 เมตรหากทีมมีแผนที่จะลดกล้องจากขอบหินของสะพานโดยใช้เชือกเพื่อบันทึกภาพ โดยวางตำแหน่งกล้องไว้ที่จุดโฟกัสของเส้นโค้งพาราโบลา ความยาวที่เหมาะสมที่สุดสำหรับเชือกคือ ![](/images/questions/analytic-geometry/image-001.jpg)

  • A. A. 3 เมตร
  • B. B. 4 เมตร
  • C. C. 5 เมตร
  • D. D. 6 เมตร

Answer: B

Solution: สร้างระบบพิกัดเชิงเส้นตรงโดยมีจุดยอดของส่วนโค้งเป็นจุดกำเนิด ให้เส้นแนวนอนเป็นแกน $x$ และเส้นแนวตั้งเป็นแกน $x$ โดยให้แกนชี้ขึ้นด้านบน ให้สมการของพาราโบลาเป็น $x ^ { 2 } = - 2 p y ( p > 0 )$ เห็นได้ชัดเจนว่าพาราโบลาผ่านจุด $( 10.8 , - 10.9 )$ ดังนั้น $10.8 ^ { 2 } = 21.8 p$ จึงบ่งชี้ว่า $p = \frac { 10.8 ^ { 2 } } { 21.8 }$ ดังนั้น $\frac { p } { 2 } = \frac { 5.4 ^ { 2 } } { 10.9 } \approx 2.7$ จึงเป็นจริง และผลที่ตามมาคือ $\frac { p } { 2 } + 1 \approx 3.7$ เป็นจริง

Question 8: 9. หากสมการ $\frac { x ^ { 2 } } { m } + \frac { y ^ { 2 } } { 2 - m } = 1$ แทนไฮเพอร์โบลา ช่วงของค่...

9. หากสมการ $\frac { x ^ { 2 } } { m } + \frac { y ^ { 2 } } { 2 - m } = 1$ แทนไฮเพอร์โบลา ช่วงของค่าสำหรับจำนวนจริง $m$ คือ

  • A. A. $( 0,2 )$
  • B. B. $( 0,1 ) \cup ( 1,2 )$
  • C. C. $( - \infty , 0 ) \cup ( 2 , + \infty )$
  • D. D. $( 2 , + \infty )$

Answer: C

Solution: หากสมการ $\frac { x ^ { 2 } } { m } + \frac { y ^ { 2 } } { 2 - m } = 1$ แทนไฮเพอร์โบลา สมการ $m ( 2 - m ) < 0$ จะให้ผลลัพธ์: $m < 0$ หรือ $m > 2$ นั่นคือ ช่วงของจำนวนจริง $m < 0$ คือ $m > 2$

Question 9: 10. ให้ความยาวของแกนจริงและความยาวโฟกัสของไฮเพอร์โบลา $C : \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac...

10. ให้ความยาวของแกนจริงและความยาวโฟกัสของไฮเพอร์โบลา $C : \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > 0 , b > 0 )$ เท่ากับ 2 และ 4 ตามลำดับ จากนั้นสมการของเส้นขอบเขตของไฮเพอร์โบลา $C$ คือ

  • A. A. $y = \pm \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } x$
  • B. B. $y = \pm \frac { 1 } { 3 } x$
  • C. C. $y = \pm \sqrt { 3 } x$
  • D. D. $y = \pm 3 x$

Answer: C

Solution: เนื่องจาก $2 a = 2,2 c = 4$ ดังนั้น $a = 1 , c = 2 , b = \sqrt { 3 }$ ดังนั้นสมการแอสยิมป์ของ $C$ คือ $y = \pm \sqrt { 3 } x$

Question 10: 11. จากไฮเพอร์โบลา $\frac { x ^ { 2 } } { 16 } - \frac { y ^ { 2 } } { 9 } = 1$, พิกัดของจุดยอดคือ

11. จากไฮเพอร์โบลา $\frac { x ^ { 2 } } { 16 } - \frac { y ^ { 2 } } { 9 } = 1$, พิกัดของจุดยอดคือ

  • A. A. $( - \sqrt { 7 } , 0 ) , ( \sqrt { 7 } , 0 )$
  • B. B. $( - 5,0 ) , ( 5,0 )$
  • C. C. $( 0 , - 5 ) , ( 0,5 )$
  • D. D. $( 0 , - \sqrt { 7 } ) , ( 0 , \sqrt { 7 } )$

Answer: B

Solution: ตามสมการไฮเพอร์โบลา $\frac { x ^ { 2 } } { 16 } - \frac { y ^ { 2 } } { 9 } = 1$ จุดโฟซีจะอยู่บนแกน $x$ $a ^ { 2 } = 16 , b ^ { 2 } = 9$ $\therefore c ^ { 2 } = a ^ { 2 } + b ^ { 2 } = 16 + 9 = 25$, ซึ่งก็คือ ${ } ^ { c = 5 }$, ดังนั้นจุดสนใจจึงอยู่ที่ $( - 5,0 ) , ( 5,0 )$.

Question 11: 12. ระยะห่างระหว่างเส้นขนาน \$$l _ { 1 } : 2 x - y + 2 = 0 \text { และ }$ l _ { 2 } : m x - y - 3 = ...

12. ระยะห่างระหว่างเส้นขนาน \$$l _ { 1 } : 2 x - y + 2 = 0 \text { และ }$ l _ { 2 } : m x - y - 3 = 0$ คือ

  • A. A. 5
  • B. B. $\frac { 1 } { 5 }\$
  • C. C. $\sqrt { 5 }$
  • D. D. $\frac { \sqrt { 5 } } { 5 }$

Answer: C

Solution: เนื่องจาก $l _ { 1 } \| l _ { 2 }$ ดังนั้น ${ } ^ { 2 \times ( - 1 ) - ( - 1 ) \times m = 0 }$ จึงให้ผลลัพธ์เป็น $m = 2$ และระยะห่างระหว่าง $l _ { 1 } , l _ { 2 }$ กับ $\frac { | 2 + 3 | } { \sqrt { 2 ^ { 2 } + ( - 1 ) ^ { 2 } } } = \sqrt { 5 }$ คือ $\frac { | 2 + 3 | } { \sqrt { 2 ^ { 2 } + ( - 1 ) ^ { 2 } } } = \sqrt { 5 }$

Question 12: 13. เกี่ยวกับวงกลม ${ } ^ { C : } x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - 4 x + 1 = 0$, ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง? ( )

13. เกี่ยวกับวงกลม ${ } ^ { C : } x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - 4 x + 1 = 0$, ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง? ( )

  • A. A. คลิกที่วงกลม ${ } ^ { A ( 1 , - 1 ) }$ ภายใน $C$
  • B. B. จุดศูนย์กลางของวงกลม $C$ อยู่ที่ $( - 2,0 )$
  • C. C. รัศมีของวงกลม $C$ คือ 3
  • D. D. วงกลม $C$ สัมผัสกับเส้นตรง $y = 3$

Answer: A

Solution: สำหรับ A เมื่อแทนจุด $A ( 1 , - 1 )$ ลงในวงกลม $C$ จะได้ $1 ^ { 2 } + ( - 1 ) ^ { 2 } - 4 \times 1 + 1 = - 1 < 0$ ดังนั้น จุด $A ( 1 , - 1 )$ จะอยู่ภายในวงกลม $C$ ดังนั้น A จึงถูกต้อง สำหรับ $\mathrm { B } , \mathrm { C }$, จาก $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - 4 x + 1 = 0$ เราได้ $( x - 2 ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 3$ ดังนั้น จุดศูนย์กลางของวงกลม $C$ มีจุดศูนย์กลาง $( 2,0 )$ และรัศมี $r = \sqrt { 3 }$ ดังนั้น B และ C จึงไม่ถูกต้อง สำหรับ D ระยะทางจากจุดศูนย์กลาง $C ( 2,0 ) _ { \text {ถึงเส้นตรง } } y = 3$ คือ $d = | 3 - 0 | = 3$ ดังนั้น $3 > \sqrt { 3 }$—นั่นคือ $d > r$—ดังนั้น วงกลม $C _ { \text {และ直线 } } { } ^ { y = 3 }$ จึงไม่เชื่อมต่อกัน ดังนั้น D จึงไม่ถูกต้อง

Question 13: 14. พาราโบลา $y ^ { 2 } = 4 x$ เส้นที่ผ่านจุดโฟกัส $F$ ตัดกับพาราโบลาที่จุดสองจุด $A , B$ ให้ $M$ แท...

14. พาราโบลา $y ^ { 2 } = 4 x$ เส้นที่ผ่านจุดโฟกัส $F$ ตัดกับพาราโบลาที่จุดสองจุด $A , B$ ให้ $M$ แทนจุดกึ่งกลางของเซกเมนต์ $A B$ จากนั้น วงกลมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางเป็นเซกเมนต์ $A B$ ต้อง ( )

  • A. A. ผ่านจุดกำเนิด
  • B. B. หลังจากจุด $( - 1,0 )$
  • C. C. เส้นสัมผัสของเส้นตรง $x = - 1$
  • D. D. เส้นสัมผัสของเส้นตรง $y = - 1$

Answer: C

Solution: ให้ $A \left( x _ { 1 } , y _ { 1 } \right) , B \left( x _ { 2 } , y _ { 2 } \right)$. โดยใช้สูตรรัศมีจุดโฟกัส เราจะได้: $| A B | = x _ { 1 } + x _ { 2 } + p$. นอกจากนี้, $^ { M \left( \frac { x _ { 1 } + x _ { 2 } } { 2 } , \frac { y _ { 1 } + y _ { 2 } } { 2 } \right) }$. ดังนั้น, $M$ ระยะทางจากเส้นตรง $x = - 1$ คือ $d = \frac { x _ { 1 } + x _ { 2 } + p } { 2 } = \frac { 1 } { 2 } | A B |$; ดังนั้น วงกลมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง $A B$ จะต้องสัมผัสกับเส้นตรง $x = - 1$

Question 14: 15. ข้อใดต่อไปนี้ไม่ถูกต้อง? ( )

15. ข้อใดต่อไปนี้ไม่ถูกต้อง? ( )

  • A. A. จุดตัดของเส้นตรง $y = 5 x - 3$ กับแกน $^ { y }$ คือ ${ } ^ { - 3 }$
  • B. B. เวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง $\sqrt { 3 } x - y + 1 = 0$ คือ $( - \sqrt { 3 } , - 3 )$
  • C. C. หลังจากผ่าน ${ } ^ { ( 3,4 ) }$ และภายใน $x , y _ { \text {轴上的截距相等的直线方程为 } } x + y - 7 = 0$
  • D. D. $A ( 1,3 ) , B ( 2,5 ) , C ( - 2 , - 3 )$ สามจุดที่อยู่ในแนวเดียวกัน

Answer: C

Solution:

Question 15: 16. สมการ $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + m x - 2 y + m + 4 = 0$ แสดงถึงวงกลม ช่วงค่าของ $m$ คือ ( )

16. สมการ $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + m x - 2 y + m + 4 = 0$ แสดงถึงวงกลม ช่วงค่าของ $m$ คือ ( )

  • A. A. $( - \infty , - 2 ) \cup ( 6 , + \infty )$
  • B. B. $( - 2,6 )$
  • C. C. $( - ¥ , - 6 ) \cup ( 2 , + ¥ )$
  • D. D. $( - 6,2 )$

Answer: A

Solution: จากคำถาม เราได้ $m ^ { 2 } + ( - 2 ) ^ { 2 } - 4 ( m + 4 ) > 0$ ซึ่งเทียบเท่ากับ $m ^ { 2 } - 4 m - 12 > 0$ การแก้สมการนี้จะได้ $m < - 2$ หรือ $m > 6$ ดังนั้น คำตอบที่ถูกต้องคือ: ก

Question 16: 17. สมการมาตรฐานของวงรีที่มีจุดยอดเดียวกันกับวงรี $\frac { x ^ { 2 } } { 25 } + \frac { y ^ { 2 } } ...

17. สมการมาตรฐานของวงรีที่มีจุดยอดเดียวกันกับวงรี $\frac { x ^ { 2 } } { 25 } + \frac { y ^ { 2 } } { 9 } = 1$ และผ่านจุด $( 5,3 )$ คือ ( )

  • A. A. $\frac { x ^ { 2 } } { 24 } + \frac { y ^ { 2 } } { 40 } = 1$
  • B. B. $\frac { x ^ { 2 } } { 40 } + \frac { y ^ { 2 } } { 24 } = 1$
  • C. C. $\frac { x ^ { 2 } } { 36 } + \frac { y ^ { 2 } } { 20 } = 1$
  • D. D. $\frac { x ^ { 2 } } { 40 } + \frac { y ^ { 2 } } { 26 } = 1$

Answer: B

Solution: วิธีแก้: ตามที่ระบุในโจทย์ จุดโฟกัสของวงรี $\frac { x ^ { 2 } } { 25 } + \frac { y ^ { 2 } } { 9 } = 1$ คือ $( - 4,0 )$ และ $( 4,0 )$ โดยมีข้อกำหนดว่าจุดโฟกัสของวงรีต้องอยู่บนแกน $x$ และ ${ } ^ { c = 4 }$. นอกจากนี้ เนื่องจากวงรีผ่านจุด $( 5,3 )$, เราจึงมี $2 a = \sqrt { 81 + 9 } = \sqrt { 1 + 9 } = 4 \sqrt { 10 }$; ดังนั้น $a = 2 \sqrt { 10 }$; ดังนั้น $b = \sqrt { a ^ { 2 } - c ^ { 2 } } = \sqrt { 40 - 16 } = \sqrt { 24 }$. ดังนั้น สมการมาตรฐานที่ต้องการของวงรีคือ $\frac { x ^ { 2 } } { 40 } + \frac { y ^ { 2 } } { 24 } = 1$

Question 17: 18. หากระยะทางจากจุดบนไฮเพอร์โบลา $\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2...

18. หากระยะทางจากจุดบนไฮเพอร์โบลา $\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > 0 , b > 0 )$ ถึงจุดโฟกัส $( - \sqrt { 5 } , 0 )$ มากกว่าระยะทางถึงจุดโฟกัส $( \sqrt { 5 } , 0 )$ โดยมีอัตราส่วนเท่ากับ $b$ สมการของไฮเพอร์โบลาคือ ( )

  • A. A. $\frac { x ^ { 2 } } { 4 } - y ^ { 2 } = 1$
  • B. B. $\frac { x ^ { 2 } } { 2 } - y ^ { 2 } = 1$
  • C. C. $x ^ { 2 } - \frac { y ^ { 2 } } { 2 } = 1$
  • D. D. $x ^ { 2 } - \frac { y ^ { 2 } } { 4 } = 1$

Answer: D

Solution: จาก $c = \sqrt { 5 }$ ในคำถาม และตามนิยามของไฮเพอร์โบลา เราจะได้ $2 a = b$ และ $a ^ { 2 } + b ^ { 2 } = c ^ { 2 }$ ดังนั้น $5 a ^ { 2 } = 5$ จึงเป็นจริง ให้ผลลัพธ์เป็น $a ^ { 2 } = 1 , b ^ { 2 } = 4$ ดังนั้น สมการของไฮเพอร์โบลาคือ $x ^ { 2 } - \frac { y ^ { 2 } } { 4 } = 1$

Question 18: 19. "$0 < a < 3$" คือ ( ) ของ "ความเยื้องศูนย์กลางของไฮเพอร์โบลา $\frac { x ^ { 2 } } { a } - \frac ...

19. "$0 < a < 3$" คือ ( ) ของ "ความเยื้องศูนย์กลางของไฮเพอร์โบลา $\frac { x ^ { 2 } } { a } - \frac { y ^ { 2 } } { 9 } = 1 ( a > 0 )$ มากกว่า 2"

  • A. A. เงื่อนไขที่เพียงพอแต่ไม่จำเป็น
  • B. B. เงื่อนไขที่จำเป็นแต่ไม่เพียงพอ
  • C. C. เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอ
  • D. D. ไม่ใช่ทั้งเงื่อนไขที่เพียงพอและเงื่อนไขที่จำเป็น

Answer: C

Solution: หากค่าความเยื้องศูนย์ของไฮเพอร์โบลา $0 < a < 3$ มีค่ามากกว่า $\frac { x ^ { 2 } } { a } - \frac { y ^ { 2 } } { 9 } = 1 ( a > 0 )$ แล้ว $\frac { x ^ { 2 } } { a } - \frac { y ^ { 2 } } { 9 } = 1 ( a > 0 )$ จะถูกต้อง ซึ่งให้ผลลัพธ์เป็น ${ } _ { 2 }$ ดังนั้น " $0 < a < 3$ เป็นเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับ "ความเยื้องศูนย์ของไฮเพอร์โบลา $\frac { x ^ { 2 } } { a } - \frac { y ^ { 2 } } { 9 } = 1 ( a > 0 )$ ที่มากกว่า 2";

Question 19: 20. ระยะทางจากจุดศูนย์กลางของวงกลม $C : x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - 2 y = 1$ ถึงเส้นตรงที่ขนานกับเส้นโค้...

20. ระยะทางจากจุดศูนย์กลางของวงกลม $C : x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - 2 y = 1$ ถึงเส้นตรงที่ขนานกับเส้นโค้งไฮเพอร์โบลา $E : \frac { x ^ { 2 } } { 4 } - y ^ { 2 } = 1$ คือ ( )

  • A. A. $\frac { \sqrt { 5 } } { 5 }$
  • B. B. $\frac { 2 \sqrt { 5 } } { 5 }$
  • C. C. $\frac { 3 \sqrt { 5 } } { 5 }$
  • D. D. $\frac { 4 \sqrt { 5 } } { 5 }$

Answer: B

Solution: จุดศูนย์กลางของวงกลม $C : x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - 2 y = 1$ คือ $( 0,1 )$; เส้นขนานของไฮเพอร์โบลา $E : \frac { x ^ { 2 } } { 4 } - y ^ { 2 } = 1$ คือ $y = \pm \frac { 1 } { 2 } x$ ซึ่งก็คือ $x \pm 2 y = 0$ ดังนั้น ระยะทางจากจุดศูนย์กลางถึงเส้นเอียงคือ $\frac { | 2 | } { \sqrt { 5 } } = \frac { 2 \sqrt { 5 } } { 5 }$

Question 20: 21. ความชันของเส้นตรง ${ } ^ { x + \sqrt { 3 } y + 2 = 0 }$ คือ ().

21. ความชันของเส้นตรง ${ } ^ { x + \sqrt { 3 } y + 2 = 0 }$ คือ ().

  • A. A. $150 ^ { \circ }$
  • B. B. $120 ^ { \circ }$
  • C. C. $60 ^ { \circ }$
  • D. D. $- 30 ^ { \circ }$

Answer: A

Solution: เนื่องจากความชันของเส้นตรง $x + \sqrt { 3 } y + 2 = 0$ คือ $k = - \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } = - \frac { \sqrt { 3 } } { 3 }$ ดังนั้นความชันของเส้นตรง $x + \sqrt { 3 } y + 2 = 0$ จึงเท่ากับ $150 ^ { \circ }$

Question 21: 22. หากความยาวของเส้นตรงที่ถูกตัดโดยวงกลม $^ { ( x - a ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 4 }$ จากเส้นตรง ${ } ...

22. หากความยาวของเส้นตรงที่ถูกตัดโดยวงกลม $^ { ( x - a ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 4 }$ จากเส้นตรง ${ } ^ { x - y - 2 = 0 }$ คือ ${ } ^ { 2 \sqrt { 2 } }$, ดังนั้นจำนวนจริง $a _ { \text {的值为( )} }$

  • A. A. - 1 หรือ 3
  • B. B. 1 หรือ 3
  • C. C. 0 หรือ 4
  • D. D. - 2 หรือ 6

Answer: C

Solution: วิธีแก้: จากวงกลม $( x - a ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 4$, เราได้จุดศูนย์กลาง $( a , 0 )$ และรัศมี $r = 2$. ระยะทางจากจุดศูนย์กลางถึงเส้นตรงคือ $d = \frac { | a - 2 | } { \sqrt { 2 } }$, และความยาวของเส้นผ่านศูนย์กลางคือ $= 2 \sqrt { r ^ { 2 } - d ^ { 2 } } = 2 \sqrt { 4 - \frac { ( a - 2 ) ^ { 2 } } { 2 } } = 2 \sqrt { 2 }$. เมื่อแก้สมการจะได้:$( a , 0 )$ .

Question 22: 23. เมื่อจุดโฟกัสซ้ายและขวาของไฮเพอร์โบลา $\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } {...

23. เมื่อจุดโฟกัสซ้ายและขวาของไฮเพอร์โบลา $\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > 0 , b > 0 )$ คือ $F _ { 1 } , F _ { 2 } , P$ (จุดบนแขนงขวาของไฮเพอร์โบลา) และ $P F _ { 2 } \perp F _ { 1 } F _ { 2 } , O H \perp P F _ { 1 } 于 _ { H } , O H = \frac { 1 } { 3 } O F _ { 1 }$ ตามลำดับ สมการของเส้นขนานของไฮเพอร์โบลาคือ

  • A. A. $y = \pm 4 x$
  • B. B. $y = \pm 3 x$
  • C. C. $y = \pm 2 x$
  • D. D. $y = \pm x$

Answer: D

Solution: วิธีแก้: เมื่อ $x = c$ มีค่าจริง การแทนค่าลงในไฮเพอร์โบลาจะได้ $y = \pm \frac { b ^ { 2 } } { a }$ ดังนั้น $\left| P F _ { 2 } \right| = \frac { b ^ { 2 } } { a }$ และ $\left| P F _ { 1 } \right| - \left| P F _ { 2 } \right| = 2 a$ จะตามมา ซึ่งนำไปสู่ $\left| P F _ { 1 } \right| = 2 a + \frac { b ^ { 2 } } { a }$ เนื่องจาก $P F _ { 2 } \perp F _ { 1 } F _ { 2 } , ~ O H \perp P F _ { 1 }$ เป็นจริง ดังนั้น $\triangle F _ { 1 } O H \sim \triangle F _ { 1 } P F _ { 2 }$ ตามทฤษฎีบทของสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน $\frac { | O H | } { \left| P F _ { 2 } \right| } = \frac { \left| O F _ { 1 } \right| } { \left| P F _ { 1 } \right| }$ เป็นจริง เนื่องจาก $O H = \frac { 1 } { 3 } O F _ { 1 }$ ดังนั้น $\frac { 1 } { 3 } = \frac { \frac { b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } { 2 a + \frac { b ^ { 2 } } { a } }$ และ $\therefore \frac { 2 } { 3 } a ^ { 2 } + \frac { 1 } { 3 } b ^ { 2 } = b ^ { 2 }$ จึงเป็นจริง ซึ่งหมายความว่า $a = b$ ดังนั้นสมการเส้นขนานของไฮเปอร์โบลาคือ $y = \pm x$

Question 23: 24. หาก $\odot C _ { 1 } : x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - 2 x - 2 y - 14 = 0 , \odot C _ { 2 } : x ^ { 2 } ...

24. หาก $\odot C _ { 1 } : x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - 2 x - 2 y - 14 = 0 , \odot C _ { 2 } : x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + 4 x + 6 y + 4 = 0$ แล้ว จำนวนเส้นสัมผัสร่วมระหว่าง $\oplus C _ { 1 }$ และ $\odot C _ { 2 }$ คือ

  • A. A. 1
  • B. B. 2
  • C. C. 3
  • D. D. 4

Answer: B

Solution: $\odot C _ { 1 } : x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - 2 x - 2 y - 14 = 0$ กล่าวคือ $\odot C _ { 1 } : ( x - 1 ) ^ { 2 } + ( y - 1 ) ^ { 2 } = 16$ โดยมีจุดศูนย์กลางที่ $C _ { 1 } ( 1,1 ) , r _ { 1 } = 4$ $\odot C _ { 2 } : x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + 4 x + 6 y + 4 = 0$ นั่นคือ $\odot C _ { 2 } : ( x + 2 ) ^ { 2 } + ( y + 3 ) ^ { 2 } = 9$ โดยมีจุดศูนย์กลางที่ $C _ { 2 } ( - 2 , - 3 ) , r _ { 1 } = 3$; จากนั้น $\left| C _ { 1 } C _ { 2 } \right| = \sqrt { 3 ^ { 2 } + 4 ^ { 2 } } = 5$; ดังนั้น $r _ { 1 } - r _ { 2 } < 5 < r _ { 1 } + r _ { 2 }$; ดังนั้น วงกลมทั้งสองจึงตัดกันและมีเส้นสัมผัสร่วมสองเส้น

Question 24: 25. เนื่องจากสมการทั่วไปของวงกลมคือ $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + 4 x - 2 y - 4 = 0$ ดังนั้นรัศมีของวงกลม...

25. เนื่องจากสมการทั่วไปของวงกลมคือ $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + 4 x - 2 y - 4 = 0$ ดังนั้นรัศมีของวงกลมคือ

  • A. A. 1
  • B. B. 2
  • C. C. 3
  • D. D. 4

Answer: C

Solution: จาก $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + 4 x - 2 y - 4 = 0$ เราได้สมการมาตรฐานของวงกลม: $( x + 2 ) ^ { 2 } + ( y - 1 ) ^ { 2 } = 9$ ดังนั้นรัศมีของวงกลมคือ 3

Question 25: 26. โดยที่จุดโฟกัสซ้ายและขวาของวงรี $C : \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b...

26. โดยที่จุดโฟกัสซ้ายและขวาของวงรี $C : \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 \quad ( a > b > 0 )$ อยู่ ณ จุด $F _ { 1 } , F _ { 2 } , P$ และ $\angle F _ { 1 } P F _ { 2 } = 60 ^ { \circ }$ ตามลำดับบนวงรี $\angle F _ { 1 } P F _ { 2 } = 60 ^ { \circ }$ และระยะทางจากจุดกำเนิด $O$ ถึง $P F _ { 1 }$ คือ $\frac { \sqrt { 3 } } { 6 } a$ ดังนั้น ความเยื้องศูนย์ของวงรีคือ

  • A. A. $\frac { \sqrt { 2 } } { 5 }$
  • B. B. $\frac { \sqrt { 6 } } { 3 }$
  • C. C. $\frac { \sqrt { 7 } } { 3 }$
  • D. D. $\frac { \sqrt { 3 } } { 3 }$

Answer: D

Solution: ให้ $\left| P F _ { 1 } \right| = m , \left| P F _ { 2 } \right| = n$ ถูกกำหนดเป็น ${ } ^ { O N \perp P F _ { 1 } } , \quad F _ { 2 } M \perp P F _ { 1 }$ และ ![](/images/questions/analytic-geometry/image-003.jpg) จากโจทย์ปัญหา เราได้ $| O N | = \frac { \sqrt { 3 } } { 6 } a , \left| F _ { 2 } M \right| = \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } a , \angle F _ { 1 } P F _ { 2 } = 60 ^ { \circ }$ ดังนั้นจึงได้ $| P M | = \frac { 1 } { 3 } a , \left| P F _ { 2 } \right| = \frac { 2 } { 3 } a$ จาก $m + n = 2 a$ เราได้ $\left| M F _ { 1 } \right| = a$ เนื่องจาก $\left| F _ { 1 } F _ { 2 } \right| = 2 c$ เป็นจริง ในสามเหลี่ยมมุมฉาก $F _ { 1 } M F _ { 2 }$ ทฤษฎีบทพีทาโกรัสให้ $a ^ { 2 } + \left( \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } a \right) ^ { 2 } = 4 c ^ { 2 }$ ซึ่งจากนี้เราจะได้ $e = \frac { c } { a } = \frac { \sqrt { 3 } } { 3 }$

Question 26: 27. เมื่อให้ $a _ { 1 } , a _ { 2 } , b _ { 1 } , b _ { 2 } , c _ { 1 } , c _ { 2 } \in \mathbf { R ...

27. เมื่อให้ $a _ { 1 } , a _ { 2 } , b _ { 1 } , b _ { 2 } , c _ { 1 } , c _ { 2 } \in \mathbf { R }$ และเส้นตรง ${ } ^ { l } : a _ { 1 } x + b _ { 1 } y + c _ { 1 } = 0 , l _ { 2 } : a _ { 2 } x + b _ { 2 } y + c _ { 2 } = 0$ แล้ว "$\frac { a _ { 1 } } { a _ { 2 } } = \frac { b _ { 1 } } { b _ { 2 } }$" คือ "เส้นตรง $l _ { 1 }$ ขนานกับ $l _ { 2 }$"

  • A. A. ไม่จำเป็นอย่างยิ่ง
  • B. B. เงื่อนไขที่จำเป็นแต่ไม่เพียงพอ
  • C. C. เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอ
  • D. D. ไม่ใช่ทั้งเงื่อนไขที่เพียงพอและเงื่อนไขที่จำเป็น

Answer: D

Solution: เมื่อ $\frac { a _ { 1 } } { b _ { 1 } } = \frac { a _ { 2 } } { b _ { 2 } }$ เป็นจริง เส้นสองเส้นอาจขนานกันหรือมาบรรจบกันก็ได้ ดังนั้นเงื่อนไขนี้จึงไม่เพียงพอ เมื่อ $l _ { 1 } / / l _ { 2 }$ เป็นจริง ทั้ง $b _ { 1 }$ และ $b _ { 2 }$ อาจเท่ากับ 0 ดังนั้น $\frac { a _ { 1 } } { b _ { 1 } } = \frac { a _ { 2 } } { b _ { 2 } }$ ไม่จำเป็นต้องเป็นจริง ส่งผลให้ไม่สามารถพิสูจน์ความเพียงพอได้ โดยสรุป, $\frac { a _ { 1 } } { b _ { 1 } } = \frac { a _ { 2 } } { b _ { 2 } }$ ไม่ใช่เงื่อนไขที่เพียงพอหรือจำเป็นสำหรับ $l _ { 1 } / / l _ { 2 }$.

Question 27: 29. เนื่องจากจุดโฟกัสของพาราโบลา $C : y = \frac { 1 } { 4 } x ^ { 2 }$ คือ $F , P$ และเป็นจุดบนพาราโ...

29. เนื่องจากจุดโฟกัสของพาราโบลา $C : y = \frac { 1 } { 4 } x ^ { 2 }$ คือ $F , P$ และเป็นจุดบนพาราโบลา $C$ ซึ่งทำให้ $| P F | = 3$ ดังนั้น ระยะทางจากจุด ${ } _ { P }$ ถึงจุดกำเนิดของพิกัดคือ ( ). $O$ คือ ( )

  • A. A. 2
  • B. B. $2 \sqrt { 2 }$
  • C. C. $2 \sqrt { 3 }$
  • D. D. 4

Answer: C

Solution: $4 y = x ^ { 2 }$ ดังนั้นสมการของเส้นตรงที่ตัดคือ ${ } ^ { y = - 1 }$ ให้ $P ( m , n )$ จากเงื่อนไขที่กำหนด เราได้ $n + 1 = 3$ เมื่อแก้สมการจะได้ $n = 2$ ดังนั้น $m ^ { 2 } = 8$ ดังนั้น ระยะทางจากจุด $P$ ถึงจุดกำเนิดพิกัด $O$ คือ $\sqrt { m ^ { 2 } + n ^ { 2 } } = \sqrt { 8 + 4 } = 2 \sqrt { 3 }$

Question 28: 30. เมื่อจุดโฟกัสซ้ายและขวาของไฮเพอร์โบลา $C : \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 }...

30. เมื่อจุดโฟกัสซ้ายและขวาของไฮเพอร์โบลา $C : \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a , b > 0 )$ คือ $F _ { 1 } ( - c , 0 ) , F _ { 2 } ( c , 0 )$ ตามลำดับ หากมีจุด $P$ อยู่บนแขนงซ้ายของไฮเพอร์โบลาซึ่งทำให้ $\left| P F _ { 2 } \right| = \frac { 3 } { 2 } C - 2 a$ เป็นจริง ช่วงของค่าสำหรับค่าความรีคือ ( )

  • A. A. $( 1,4 ]$
  • B. B. $[ 6 , + \infty )$
  • C. C. $[ 4 , + \infty )$
  • D. D. $[ 2 , + \infty )$

Answer: B

Solution:

Question 29: 31. ให้ $F$ เป็นจุดโฟกัสด้านขวาของวงรี $\frac { x ^ { 2 } } { 4 } + y ^ { 2 } = 1$ หากระยะทางสูงสุดร...

31. ให้ $F$ เป็นจุดโฟกัสด้านขวาของวงรี $\frac { x ^ { 2 } } { 4 } + y ^ { 2 } = 1$ หากระยะทางสูงสุดระหว่างจุด $F$ คือ $M$ และระยะทางขั้นต่ำคือ $m$ ดังนั้น จุดบนวงรีที่มีระยะทางไปยังจุด ${ } _ { F }$ เท่ากับ $\frac { 1 } { 2 } ( M + m )$ จะมีพิกัดเป็น ( ).

  • A. A. $( 0 , \pm 2 )$
  • B. B. $( 0 , \pm 1 )$
  • C. C. $\left( \sqrt { 3 } , \pm \frac { 1 } { 2 } \right)$
  • D. D. $\left( \sqrt { 2 } , \pm \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } \right)$

Answer: B

Solution: วิธีแก้: $\because \frac { x ^ { 2 } } { 4 } + y ^ { 2 } = 1$ ดังนั้น $a = 2 , b = 1 , c = \sqrt { a ^ { 2 } - b ^ { 2 } } = \sqrt { 3 }$ นอกจากนี้ ระยะทางสูงสุดจากจุดใด ๆ บนวงกลมไปยังจุดโฟกัสด้านขวาคือ $F$ ซึ่งมีค่าเป็น $M$ ในขณะที่ระยะทางต่ำสุดคือ $m$ $\therefore M = a + c , n = a - c$, $\therefore \frac { 1 } { 2 } ( M + m ) = a = 2$, ดังนั้นจุดบนวงรีที่มีระยะห่างจากจุดโฟกัสด้านขวา $F$ เท่ากับ $\frac { 1 } { 2 } ( M + m )$ จะเป็นจุดยอดของแกนเล็ก โดยมีพิกัด $( 0 , \pm 1 )$

Question 30: 32. ให้ $M \left( x _ { 0 } , y _ { 0 } \right)$ แทนจุดบนวงกลม $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 1$ ที่ไม่ใช่...

32. ให้ $M \left( x _ { 0 } , y _ { 0 } \right)$ แทนจุดบนวงกลม $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 1$ ที่ไม่ใช่จุดศูนย์กลาง แล้วความสัมพันธ์เชิงตำแหน่งระหว่างเส้นตรง $x _ { 0 } x + y _ { 0 } y = 1$ กับวงกลมนี้คือ

  • A. A. เส้นสัมผัส
  • B. B. ตัดกัน
  • C. C. แยกจากกัน
  • D. D. สัมผัสหรือตัดกัน

Answer: C

Solution: จากคำถาม เราทราบว่า $M \left( x _ { 0 } , y _ { 0 } \right)$ เป็นจุดบนวงกลม $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 1$ ซึ่งไม่ใช่จุดศูนย์กลางของวงกลม ดังนั้น $x _ { 0 } ^ { 2 } + y _ { 0 } ^ { 2 } < 1$ จึงเป็นจริง นอกจากนี้ ระยะทางจากจุดศูนย์กลางของวงกลม: $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 1$ ถึงเส้นตรง $x _ { 0 } x + y _ { 0 } y = 1$ คือ $d = \frac { 1 } { \sqrt { x _ { 0 } ^ { 2 } + y _ { 0 } ^ { 2 } } } > 1 = r$ ดังนั้น ความสัมพันธ์เชิงตำแหน่งระหว่างเส้นตรง $x _ { 0 } x + y _ { 0 } y = 1$ กับวงกลมนี้คือไม่สัมผัสกัน

Question 31: 33. เมื่อให้ไฮเพอร์โบลา $C : \frac { x ^ { 2 } } { 12 } - \frac { y ^ { 2 } } { 4 } = 1$ และจุด $F$ ...

33. เมื่อให้ไฮเพอร์โบลา $C : \frac { x ^ { 2 } } { 12 } - \frac { y ^ { 2 } } { 4 } = 1$ และจุด $F$ เป็นจุดโฟกัสขวาของ $C$ หากจุด $P$ เป็นจุดเคลื่อนที่บนแขนงซ้ายของ $C$ และให้ระยะห่างจากจุด $P$ ถึง $C$ คือ $d$, ดังนั้นค่าต่ำสุดของ $d + | P F |$ คือ ( )

  • A. A. $2 + 4 \sqrt { 3 }$
  • B. B. $6 \sqrt { 3 }$
  • C. C. 8
  • D. D. 10

Answer: A

Solution: จากไฮเพอร์โบลา $C : \frac { x ^ { 2 } } { 12 } - \frac { y ^ { 2 } } { 4 } = 1$, เราได้ $a = 2 \sqrt { 3 } , b = 2 , F ( 40 )$. ให้จุดโฟกัสด้านซ้ายของไฮเพอร์โบลาเป็น $F ^ { \prime } ( - 40 )$. โดยไม่สูญเสียความทั่วไป, ให้เส้นสัมผัสหนึ่งเป็น $l : y = - \frac { b } { a } x = - \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } x$, นั่นคือ $x + \sqrt { 3 } y = 0$. วาด $P E \perp l$ โดยมีจุดฐานของเส้นตั้งฉากอยู่ที่ $E$, ให้ได้ $| P E | = d$; วาด $_ { F \prime } H \perp l$ โดยให้เท้าอยู่ที่ $H$; จากนั้น $\left| F ^ { \prime } H \right| = \frac { | - 4 | } { \sqrt { 1 ^ { 2 } + ( \sqrt { 3 } ) ^ { 2 } } } = 2$ และ ![](/images/questions/analytic-geometry/image-004.jpg) เนื่องจากจุด $P$ เป็นจุดที่เคลื่อนที่บนสาขาซ้ายของ $C$ ดังนั้น $| P F | - \left| P F ^ { \prime } \right| = 2 a$ จึงเป็นจริง ดังนั้น $| P F | = 2 a + \left| P F ^ { \prime } \right|$ จึงได้รับ และดังนั้น ${ } ^ { d + | F P | = | P E | + 2 a + \left| P F ^ { \prime } \right| = 2 a + | P E | + \left| P F ^ { \prime } \right| \text { ,} }$ จากแผนภาพ จะเห็นได้ว่าเมื่อจุดสามจุด $P , F ^ { \prime } , E$ อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน กล่าวคือ เมื่อจุด $E$ และ $H$ ตรงกัน ค่าต่ำสุดของ $2 a + | P E | + \left| P F ^ { \prime } \right| _ { \text {取得最小值,} }$ คือ $2 \times 2 \sqrt { 3 } + \left| F ^ { \prime } H \right| = 4 \sqrt { 3 } + 2$ ซึ่งคือ $d + | P F | _ { \text {มีค่าต่ำสุดเป็น } } 4 \sqrt { 3 } + 2$

Question 32: 34. ให้ $F _ { 1 } , F _ { 2 }$ แทนจุดโฟกัสซ้ายและขวาของไฮเพอร์โบลา $C : x ^ { 2 } - \frac { y ^ { 2...

34. ให้ $F _ { 1 } , F _ { 2 }$ แทนจุดโฟกัสซ้ายและขวาของไฮเพอร์โบลา $C : x ^ { 2 } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1$ ตามลำดับ วาดเส้นผ่าน $F _ { 2 }$ โดยให้ แกนของ $x$ ตัดกับ $C$ ที่จุด $A$ และ $B$ หาก $\triangle A B F _ { 1 }$ เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า แล้ว ( )

  • A. A. $b = 2$
  • B. B. ความยาวโฟกัสของ $C$ คือ $2 \sqrt { 3 }$
  • C. C. ความเยื้องศูนย์ของ $C$ คือ $\frac { \sqrt { 6 } } { 3 }$
  • D. D. พื้นที่ของ $\triangle A B F _ { 1 }$ คือ $2 \sqrt { 2 }$

Answer: B

Solution: จากไฮเพอร์โบลา $C : x ^ { 2 } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1$, เราได้ $c = \sqrt { 1 + b ^ { 2 } } , ~ \therefore F _ { 1 } \left( - \sqrt { 1 + b ^ { 2 } } , ~ 0 \right) , ~ F _ { 2 } \left( \sqrt { 1 + b ^ { 2 } } , ~ 0 \right)$. เมื่อแทนค่า $x = \sqrt { 1 + b ^ { 2 } }$ ลงในสมการไฮเพอร์โบลาจะได้: $1 + b ^ { 2 } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1$, จากนั้นแก้สมการเพื่อหาค่า $y = \pm b ^ { 2 }$. ให้เราใช้ $A \left( \sqrt { 1 + b ^ { 2 } } , b ^ { 2 } \right) , B \left( \sqrt { 1 + b ^ { 2 } } , - b ^ { 2 } \right)$ และ $\triangle A B F _ { 1 }$ เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า $\tan \angle A F _ { 1 } F _ { 2 } = \tan 30 ^ { \circ } = \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } = \frac { \left| A F _ { 2 } \right| } { \left| F _ { 1 } F _ { 2 } \right| } = \frac { b ^ { 2 } } { 2 \sqrt { 1 + b ^ { 2 } } }$ ให้ผลลัพธ์ $b ^ { 2 } = 2$, $\therefore b = \sqrt { 2 } , ~ c = \sqrt { 3 } , ~ 2 c = 2 \sqrt { 3 } , e = \frac { c } { a } = \sqrt { 3 }$, และ $S _ { \triangle A B F _ { 1 } } = \frac { 1 } { 2 } \times 2 c \times 2 b ^ { 2 } = 4 \sqrt { 3 }$

Question 33: 35. เมื่อให้ไฮเพอร์โบลา $\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 (...

35. เมื่อให้ไฮเพอร์โบลา $\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > 0 , b > 0 )$ ที่มีจุดยอด $F _ { 1 } , F _ { 2 } , c$ คือระยะกึ่งโฟกัส และ $P$ คือจุดบนไฮเพอร์โบลาที่แตกต่างจากจุดปลายของแกนจริง โดยต้องเป็นไปตามเงื่อนไข $c \tan \angle P F _ { 1 } F _ { 2 } = a \tan \angle P F _ { 2 } F _ { 1 }$ จากนั้นช่วงค่าของค่าความเยื้องศูนย์ของไฮเพอร์โบลา $e$ คือ

  • A. A. บี.
  • B. B. บี.
  • C. C. $( \sqrt { 2 } , 1 + \sqrt { 2 } )$
  • D. D. $( 1,1 + \sqrt { 2 } )$

Answer: B

Solution: เนื่องจาก $c \tan \angle P F _ { 1 } F _ { 2 } = a \tan \angle P F _ { 2 } F _ { 1 }$ ดังนั้น $e = \frac { c } { a } = \frac { \tan \angle P F _ { 2 } F _ { 1 } } { \tan \angle P F _ { 1 } F _ { 2 } }$ ให้ $P ( m , n ) , F _ { 1 } ( - c , 0 ) , F _ { 2 } ( c , 0 )$ ดังนั้น $c \tan \angle P F _ { 1 } F _ { 2 } = a \tan \angle P F _ { 2 } F _ { 1 }$; เนื่องจาก $e$ เป็นจริง ดังนั้น $c \tan \angle P F _ { 1 } F _ { 2 } = a \tan \angle P F _ { 2 } F _ { 1 }$ จึงเป็นจริงตามไปด้วย; ดังนั้น $e = \frac { c } { a } = \frac { \tan \angle P F _ { 2 } F _ { 1 } } { \tan \angle P F _ { 1 } F _ { 2 } }$ จึงเป็นจริง ซึ่งเท่ากับ $P ( m , n ) , F _ { 1 } ( - c , 0 ) , F _ { 2 } ( c , 0 )$; เมื่อแก้สมการจะได้ $e = \frac { \tan \angle P F _ { 2 } F _ { 1 } } { \tan \angle P F _ { 1 } F _ { 2 } } = - \frac { n } { m - c } \cdot \frac { m + c } { n } = - \frac { m + c } { m - c } = - 1 - \frac { 2 c } { m - c }$.

Question 34: 36. ให้เส้นตรง $2 x + ( k - 3 ) y - 2 k + 6 = 0$ ผ่านจุดคงที่ $P$ จากนั้นพิกัดของจุด $P$ คือ ( ).

36. ให้เส้นตรง $2 x + ( k - 3 ) y - 2 k + 6 = 0$ ผ่านจุดคงที่ $P$ จากนั้นพิกัดของจุด $P$ คือ ( ).

  • A. A. $( 3,0 )$
  • B. B. $( 0,2 )$
  • C. C. $( 0,3 )$
  • D. D. $( 2,0 )$

Answer: B

Solution: แสดงสมการเส้นตรงเป็น $( 2 x - 3 y + 6 ) + k ( y - 2 ) = 0$ เมื่อ $\left\{ \begin{array} { l } y - 2 = 0 \\ 2 x - 3 y + 6 = 0 \text { 即 } \end{array} \left\{ \begin{array} { l } x = 0 \\ y = 2 \text { ,直线 } 2 x + ( k - 3 ) y - 2 k + 6 = 0 \text { 恒过定点 } ( 0,2 ) \text { ,} \end{array} \right. \right.$

Question 35: 37. จากข้อเสนอ $p :$ ว่าเส้นตรง $l : y = m x - 2$ ผ่านจุดคงที่ $( 0,2 )$ และข้อเสนอ $q : n = 1$ เป็น...

37. จากข้อเสนอ $p :$ ว่าเส้นตรง $l : y = m x - 2$ ผ่านจุดคงที่ $( 0,2 )$ และข้อเสนอ $q : n = 1$ เป็นเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับเส้นตรง $l _ { 1 } : x + n y - 1 = 0$ ที่จะตั้งฉากกับเส้นตรง $l _ { 2 } : y = n x + 1$ ข้อใดต่อไปนี้จึงเป็นจริง?

  • A. A. $p ^ { \wedge } q$
  • B. B. $p ^ { \wedge } \neg q$
  • C. C. $\neg p ^ { \wedge } q$
  • D. D. $\neg p ^ { \vee } q$

Answer: D

Solution: วิธีแก้: ข้อเสนอ $p$: เส้นตรง $^ { l : y = m x - 2 }$ ผ่านจุดคงที่ $^ { ( 0 , - 2 ) }$. ดังนั้น ข้อเสนอ $p$ เป็นเท็จ และ $\neg p$ เป็นจริง เนื่องจาก ${ } ^ { n - n } = 0$ เป็นจริงสำหรับทุก ${ } ^ { n \in \mathrm { R } }$ ดังนั้น บรรทัด ${ } ^ { l }$ ตั้งฉากกับเส้นตรง ${ } ^ { l }$ ดังนั้น ข้อเสนอ $q : n = 1$ เป็นเงื่อนไขที่เพียงพอแต่ไม่จำเป็นสำหรับเส้นตรง $l _ { 1 } : x + n y - 1 = 0$ ที่จะตั้งฉากกับเส้นตรง $l _ { 2 } : y = n x + 1$ ดังนั้น ข้อเสนอ $q$ เป็นข้อเสนอที่เท็จ และ $\neg q$ เป็นข้อเสนอที่จริง ดังนั้น $p ^ { \wedge } q , p ^ { \wedge } \neg q , ~ \neg p ^ { \wedge } q$ จึงเป็นข้อเสนอที่เท็จ และ $\neg p ^ { \wedge } q$ เป็นข้อเสนอที่จริง

Question 36: 38. ในระบบพิกัดเชิงเส้นตรง $x O y$ โดยที่ $A ( - 3,0 ) , B ( 1,0 ) , P$ เป็นจุดที่เคลื่อนที่บนวงกลม ...

38. ในระบบพิกัดเชิงเส้นตรง $x O y$ โดยที่ $A ( - 3,0 ) , B ( 1,0 ) , P$ เป็นจุดที่เคลื่อนที่บนวงกลม $C : ( x - 3 ) ^ { 2 } + ( y - 3 ) ^ { 2 } = 1$ ค่าต่ำสุดของ $| P A | ^ { 2 } + | P B | ^ { 2 }$ คือ ( )

  • A. A. 34
  • B. B. 40
  • C. C. 44
  • D. D. 48

Answer: B

Solution: ให้ $P ( x , y )$ ถูกกำหนดไว้ก่อน แล้ว $| P A | ^ { 2 } + | P B | ^ { 2 } = ( x + 3 ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } + ( x - 1 ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 2 x ^ { 2 } + 2 y ^ { 2 } + 4 x + 10$ $= 2 \left[ ( x + 1 ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right] + 8$ นั่นคือว่า, $| P A | ^ { 2 } + | P B | ^ { 2 }$ เทียบเท่ากับสองเท่าของกำลังสองของระยะทางจากจุด $P$ ถึงจุด $Q ( - 1,0 )$ บวกแปด และ $| P Q | \geq | Q C | - | P C | = \sqrt { ( 3 + 1 ) ^ { 2 } + 3 ^ { 2 } } - 1 = 5 - 1 = 4$ เทียบเท่ากับ $| P A | ^ { 2 } + | P B | ^ { 2 } \geq 2 \times 4 ^ { 2 } + 8 = 40$.

Question 37: 39. เมื่อให้วงรี $C _ { 1 } : \frac { x ^ { 2 } } { 13 } + y ^ { 2 } = 1$ และไฮเพอร์โบลา $C _ { 2 } ...

39. เมื่อให้วงรี $C _ { 1 } : \frac { x ^ { 2 } } { 13 } + y ^ { 2 } = 1$ และไฮเพอร์โบลา $C _ { 2 } : \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a , b > 0 )$ ถ้าวงกลมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางเป็นแกนหลักของ $C _ { 1 }$ ตัดกับหนึ่งในเส้นตรงที่ขนานกับเส้นโค้งของ ${ } ^ { C _ { 2 } }$ ที่สองจุด $A , B$ และวงรี ${ } ^ { C _ { 1 } }$ แบ่งเซกเมนต์ $A B$ ออกเป็นสามส่วนเท่ากันที่จุดตัดสองจุดกับเส้นตรงขนานนี้ แล้ว ความเยื้องศูนย์ของ $C _ { 2 }$ คือ

  • A. A. $\sqrt { 3 }$
  • B. B. 3
  • C. C. $\sqrt { 5 }$
  • D. D. 5

Answer: A

Solution: ให้ $O A _ { \text {的方程为 } } y = k x \left( k > 0 , x _ { 0 } > 0 \right)$ และ $\therefore _ { \text {设 } } A \left( x _ { 0 } , k x _ { 0 } \right)$ เป็นค่าที่กำหนดไว้ ซึ่งจะได้ $| O A | = \sqrt { 13 }$ นั่นคือ $\sqrt { 1 + k ^ { 2 } } x _ { 0 } = \sqrt { 13 }$ ให้ผลลัพธ์เป็น $x _ { 0 } = \frac { \sqrt { 13 } } { \sqrt { 1 + k ^ { 2 } } }$ ดังนั้น $A \left( \frac { \sqrt { 13 } } { \sqrt { 1 + k ^ { 2 } } } , \frac { \sqrt { 13 } k } { \sqrt { 1 + k ^ { 2 } } } \right)$ และ $\therefore A B$ จึงมีพิกัดจุดสามจุดเดียวคือ $\left( \frac { \sqrt { 13 } } { 3 \sqrt { 1 + k ^ { 2 } } } , \frac { \sqrt { 13 } k } { 3 \sqrt { 1 + k ^ { 2 } } } \right)$ ซึ่งอยู่บนวงรี $\therefore \frac { \left( \frac { \sqrt { 13 } } { 3 \sqrt { 1 + k ^ { 2 } } } \right) ^ { 2 } } { 13 } + \left( \frac { \sqrt { 13 } k } { 3 \sqrt { 1 + k ^ { 2 } } } \right) ^ { 2 } = 1$ ซึ่งก็คือ $1 + 13 k ^ { 2 } = 9 \left( 1 + k ^ { 2 } \right)$ ให้ผลลัพธ์เป็น $k ^ { 2 } = 2$ ดังนั้น $\frac { b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } = 2 , b ^ { 2 } = 2 a ^ { 2 }$ ให้ผลลัพธ์เป็น $e = \frac { c } { a } = \sqrt { \frac { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } = \sqrt { 3 }$

Question 38: 40. ความยาวขอบของลูกบาศก์ $A B C D - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } D _ { 1 }$ คือ 5 จุด $M$ อยู่บนขอ...

40. ความยาวขอบของลูกบาศก์ $A B C D - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } D _ { 1 }$ คือ 5 จุด $M$ อยู่บนขอบ $A B$ โดยที่ $A M = 2$ และจุด $P$ เป็นจุดเคลื่อนที่ภายในพื้นผิวด้านล่างของลูกบาศก์ $A B C D$ (รวมถึงขอบเขตด้วย) ความแตกต่างระหว่างกำลังสองของระยะทางจากจุดเคลื่อนที่ $P$ ไปยังเส้น ${ } ^ { A _ { 1 } D _ { 1 } }$ กับกำลังสองของระยะทางจากจุด $P$ ไปยังจุด $M$ เท่ากับ 25 แล้ว ค่าต่ำสุดของระยะทางจากจุดเคลื่อนที่ $P$ ไปยังจุด $B$ คือ "การบ้านคณิตศาสตร์มัธยมปลาย, 29 ตุลาคม 2568"

  • A. A. $\frac { 7 } { 2 }$
  • B. B. $2 \sqrt { 3 }$
  • C. C. $\sqrt { 6 }$
  • D. D. $\sqrt { 2 }$

Answer: B

Solution: ดังที่แสดงในรูป ให้วาด ${ } ^ { P Q \perp A D } , Q$ เป็นจุดฐานของเส้นตั้งฉาก จากนั้น ${ } ^ { P Q \perp }$ แผนที่ $^ { A D D _ { 1 } A _ { 1 } }$ ผ่านจุด $Q$ วาด ${ } ^ { Q R \perp A D }$ ตัดกับ ${ } ^ { A } D _ { 1 }$ ที่ $R$ จากนั้น ${ } ^ { A } D _ { 1 } \perp$ คือระนาบ $P Q R$ ดังนั้น $P R$ คือระยะทางจาก $P$ ไปยังเส้นตรง ${ } ^ { A } D _ { 1 }$ เนื่องจาก $P R ^ { 2 } - P M ^ { 2 } = 25$ และ $P R ^ { 2 } - P Q ^ { 2 } = R Q ^ { 2 } = 25$ ดังนั้น $P M = P Q$ ดังนั้น ตำแหน่งของจุด $P$ คือพาราโบลาที่มีเส้นตรงนำทาง $A D$ และจุดโฟกัส $M$ ![](/images/questions/analytic-geometry/image-006.jpg) เมื่อกำหนดระบบพิกัดเชิงเส้นตรงตามภาพที่แสดง สมการของเส้นที่ผ่านจุด $P$ คือ $y ^ { 2 } = 4 x ( 0 \leq y \leq 4 )$ จุด $_ { A ( - 1,0 ) , B ( 4,0 ) }$ เป็นไปตาม $P \left( \frac { y ^ { 2 } } { 4 } , y \right)$ ดังนั้น $| P B | = \sqrt { \left( \frac { y ^ { 2 } } { 4 } - 4 \right) ^ { 2 } + y ^ { 2 } } = \sqrt { \frac { y ^ { 4 } } { 16 } - y ^ { 2 } + 16 }$ $= \sqrt { \frac { 1 } { 16 } \left( y ^ { 2 } - 8 \right) ^ { 2 } + 12 }$ ดังนั้น เมื่อ $y ^ { 2 } = 8 , | P B |$ มีค่าต่ำสุดที่ $2 \sqrt { 3 }$
กลับไปที่หัวข้อ

Analytic Geometry

平面解析几何

38 คำถามฝึกหัด

ฝึกฝนกับโจทย์ภาษาจีนเพื่อเตรียมสอบ CSCA คุณสามารถเปิด/ปิดคำแปลได้ขณะฝึก

ภาพรวมหัวข้อ

เรขาคณิตวิเคราะห์เป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่ศึกษาคุณสมบัติของรูปทรงเรขาคณิตผ่านระบบพิกัด โดยเน้นการนำเสนอในรูปแบบสมการของเส้นตรง วงกลม รูปทรงพาราโบลา รูปทรงกรวย และความสัมพันธ์ระหว่างรูปทรงเหล่านี้ในการสอบ CSCA คำถามในส่วนนี้มักจะประเมินการประยุกต์ใช้สูตรพื้นฐาน การกำหนดความสัมพันธ์เชิงตำแหน่งทางเรขาคณิต (เช่น ความขนานและความตั้งฉาก) และการสอดคล้องระหว่างสมการมาตรฐานกับสมบัติทางเรขาคณิต รูปแบบคำถามส่วนใหญ่เกี่ยวข้องกับการคำนวณและการหาอนุพันธ์สมการ ซึ่งต้องอาศัยความเข้าใจอย่างถ่องแท้เกี่ยวกับสมการมาตรฐานและลักษณะทางเรขาคณิตของเส้นโค้งประเภทต่างๆ

จำนวนคำถาม:38

ประเด็นสำคัญ

  • 1สมการเชิงเส้นและความสัมพันธ์เชิงตำแหน่ง (ขนาน ตั้งฉาก จุดตัด)
  • 2สมการมาตรฐานของวงกลมและการคำนวณจุดศูนย์กลางและรัศมี
  • 3สมการมาตรฐานและสมบัติทางเรขาคณิตของรูปทรงกรวย (วงรี, ไฮเพอร์โบลา, พาราโบลา)
  • 4การประยุกต์ใช้สูตรระยะทางและสูตรพิกัดจุดกลาง

เคล็ดลับการเรียน

ขอแนะนำให้จดจำสมการมาตรฐานของเส้นโค้งประเภทต่าง ๆ และพารามิเตอร์ทางเรขาคณิตของเส้นโค้งเหล่านั้นให้ขึ้นใจ พร้อมทั้งฝึกฝนเพื่อเสริมสร้างความสัมพันธ์ระหว่างรูปแบบกราฟกับสมการให้แน่นแฟ้นยิ่งขึ้น

ทำโจทย์เป็น ≠ สอบผ่าน

ข้อสอบจำลองฉบับเต็ม ตามหลักสูตรทางการ รวมหลายหัวข้อเหมือนสอบจริง

รับข้อสอบจำลอง →

ไม่มีบัตรเครดิต? อีเมลหาเรา: kaiguo370@gmail.com

แหล่งข้อมูลการเรียนรู้ที่เกี่ยวข้อง

คู่มือคณิตศาสตร์
เอกสารเตรียมสอบฉบับสมบูรณ์
คำศัพท์คณิตศาสตร์
ทบทวนคำศัพท์และแนวคิดที่เกี่ยวข้อง

สำรวจการฝึกหัดวิชาอื่นๆ:

ฝึกฟิสิกส์ฝึกเคมี