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Sequences - Practice Questions (39)

Question 1: 若首项为 2 的数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 满足 $a _ { n + 1 } = \frac { a _ { n } } { 2 } + \frac { 1 } ...

若首项为 2 的数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 满足 $a _ { n + 1 } = \frac { a _ { n } } { 2 } + \frac { 1 } { 2 n - 1 }$ ,则 $a _ { 4 } = ( )$

  • A. A. $\frac { 4 } { 5 }$
  • B. B. $\frac { 13 } { 15 }$
  • C. C. $\frac { 14 } { 15 }$
  • D. D. 1

Answer: B

Solution: 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项 【分析】直接根据递推关系数列的第四项可得结果. 【详解】因为 $a _ { 1 } = 2 , a _ { n + 1 } = \frac { a _ { n } } { 2 } + \frac { 1 } { 2 n - 1 }$ . 当 $n = 1 , a _ { 2 } = \frac { a _ { 1 } } { 2 } + \frac { 1 } { 2 \times 1 - 1 } = 1 + 1 = 2$ ,当 $n = 2 , a _ { 3 } = \frac { a _ { 2 } } { 2 } + \frac { 1 } { 2 \times 2 - 1 } = 1 + \frac { 1 } { 3 } = \frac { 4 } { 3 }$ , 当 $n = 3 , a _ { 4 } = \frac { a _ { 3 } } { 2 } + \frac { 1 } { 2 \times 3 - 1 } = \frac { 2 } { 3 } + \frac { 1 } { 5 } = \frac { 13 } { 15 }$ .

Question 2: 在等差数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 中 $a _ { 5 } = 11 , a _ { 11 } = 5$ ,则 $a _ { 1 }$ 等于（ ）

在等差数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 中 $a _ { 5 } = 11 , a _ { 11 } = 5$ ,则 $a _ { 1 }$ 等于（ ）

  • A. A. - 15
  • B. B. 15
  • C. C. 25
  • D. D. - 25

Answer: B

Solution: 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算 【分析】利用等差数列的通项公式,代入数据,即可求出 $a _ { 1 } , d$ 值. ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/348b34b2-fc2f-473c-8ef4-a64bf71ee517-05.jpg?height=119&width=1209&top_left_y=1832&top_left_x=324) 故选：B.

Question 3: 数列 $\frac { 1 } { 3 } , \frac { 3 } { 5 } , \frac { 5 } { 7 } , \frac { 7 } { 9 } , \frac { 9 } { 11...

数列 $\frac { 1 } { 3 } , \frac { 3 } { 5 } , \frac { 5 } { 7 } , \frac { 7 } { 9 } , \frac { 9 } { 11 } \cdots$ ,的一个通项公式是 $a _ { n } = ( \quad )$

  • A. A. $\frac { 2 n - 3 } { 2 n - 1 }$
  • B. B. $\frac { 2 n - 1 } { 2 n + 1 }$
  • C. C. $\frac { 2 n + 1 } { 2 n + 3 }$
  • D. D. $\frac { 2 n + 3 } { 2 n + 5 }$

Answer: B

Solution: 【知识点】观察法求数列通项 【分析】根据前 5 项的规律,分析总结,即可得答案. 【详解】数列前 5 项均为分数,其分子是从 1 开始的正奇数,分母比对应分子多 2 ,则第 $n$ 项的分子为 $2 n - 1$ ,对应的分母为 $2 n + 1$ , 所以 $a _ { n } = \frac { 2 n - 1 } { 2 n + 1 }$

Question 4: 已知 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 为等比数列,且 $a _ { 1 } = 3 , q = 2$ ,则 $S _ { 6 } =$（）

已知 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 为等比数列,且 $a _ { 1 } = 3 , q = 2$ ,则 $S _ { 6 } =$（）

  • A. A. 189
  • B. B. 93
  • C. C. 63
  • D. D. 33

Answer: A

Solution: 【知识点】等比数列前 $n$ 项和的基本量计算 【分析】应用等比数列的前 $n$ 项和公式计算求解. 【详解】因为 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 为等比数列,且 $a _ { 1 } = 3 , q = 2$ , 则 $S _ { 6 } = \frac { 3 \left( 1 - 2 ^ { 6 } \right) } { 1 - 2 } = 3 \left( 2 ^ { 6 } - 1 \right) = 3 \times 63 = 189$ .

Question 5: 等差数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 中,若 $a _ { 1 } = 12 , a _ { 7 } = 36$ ,则公差 $d$ 的值为（ ）

等差数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 中,若 $a _ { 1 } = 12 , a _ { 7 } = 36$ ,则公差 $d$ 的值为（ ）

  • A. A. $\frac { 3 } { 2 }$
  • B. B. 2
  • C. C. 3
  • D. D. 4

Answer: D

Solution: 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算 【分析】根据等差数列的通项公式计算即可. 【详解】由 $a _ { 7 } = a _ { 1 } + 6 d = 12 + 6 d = 36$ ,解得 $d = 4$ .

Question 6: 设 $S _ { n }$ 为等差数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的前 $n$ 项和,已知 $S _ { 9 } = 72$ ,则 $a _ { 5 }$ 的值为（ ）

设 $S _ { n }$ 为等差数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的前 $n$ 项和,已知 $S _ { 9 } = 72$ ,则 $a _ { 5 }$ 的值为（ ）

  • A. A. 12
  • B. B. 10
  • C. C. 9
  • D. D. 8

Answer: D

Solution: 【知识点】求等差数列前 n 项和,利用等差数列的性质计算 【分析】由等差数列的性质及求和公式即可求解. 【详解】由等差数列的性质可得 $a _ { 1 } + a _ { 9 } = 2 a _ { 5 }$ , 所以 $S _ { 9 } = \frac { \left( a _ { 1 } + a _ { 9 } \right) \times 9 } { 2 } = 9 a _ { 5 } = 72$ ,解得 $a _ { 5 } = 8$ .

Question 7: 已知数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 为等差数列,若 $a _ { 3 } + a _ { 7 } = 12$ ,则 $a _ { 5 }$ 为（ ）

已知数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 为等差数列,若 $a _ { 3 } + a _ { 7 } = 12$ ,则 $a _ { 5 }$ 为（ ）

  • A. A. 4
  • B. B. 5
  • C. C. 6
  • D. D. 7

Answer: C

Solution: 【知识点】等差中项的应用 【分析】由等差中项计算可得. 【详解】由等差数列的性质可得,$a _ { 5 } = \frac { a _ { 3 } + a _ { 7 } } { 2 } = 6$ .

Question 8: 等比数列 $\left\{ a _ { n } \right\} _ { \text {满足 } } a _ { 1013 } = 5$ ,则 $a _ { 1 } a _ { 2025 } =$

等比数列 $\left\{ a _ { n } \right\} _ { \text {满足 } } a _ { 1013 } = 5$ ,则 $a _ { 1 } a _ { 2025 } =$

  • A. A. $\sqrt { 5 }$
  • B. B. 5
  • C. C. 10
  • D. D. 25

Answer: D

Solution: 【知识点】等比数列下标和性质及应用 【分析】根据给定条件,利用等比数列性质求解即得. 【详解】在等比数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 中,由 $a _ { 1013 } = 5$ ,得 $a _ { 1 } a _ { 2025 } = a _ { 1013 } ^ { 2 } = 25$ .

Question 9: 已知等差数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 满足 $a _ { 3 } + a _ { 8 } = a _ { 6 }$ ,则下列各式正确的是（ ）

已知等差数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 满足 $a _ { 3 } + a _ { 8 } = a _ { 6 }$ ,则下列各式正确的是（ ）

  • A. A. $a _ { 4 } = 0$
  • B. B. $a _ { 5 } = 0$
  • C. C. $a _ { 6 } = 0$
  • D. D. $a _ { 7 } = 0$

Answer: B

Solution: 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算 【分析】利用等差数列的通项公式即可求解. 【详解】设等差数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的公差为 $d$ ,则由等差数列的通项公式代入可得 ： $a _ { 3 } + a _ { 8 } = a _ { 6 } \Rightarrow a _ { 1 } + 2 d + a _ { 1 } + 7 d = a _ { 1 } + 5 d \Rightarrow a _ { 1 } + 4 d = 0 \Rightarrow a _ { 5 } = 0$

Question 10: 已知 $S _ { n }$ 是等差数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的前 $n$ 项和,若 $a _ { 2 } + a _ { 10 } = 10$ ,则 $S _ ...

已知 $S _ { n }$ 是等差数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的前 $n$ 项和,若 $a _ { 2 } + a _ { 10 } = 10$ ,则 $S _ { 11 } =$（）

  • A. A. 33
  • B. B. 44
  • C. C. 55
  • D. D. 66

Answer: C

Solution: 【知识点】求等差数列前 n 项和,利用等差数列的性质计算 【分析】根据等差数列下标的性质和等差数列前 $n$ 项求和公式计算即可求解. 【详解】由题意知,$a _ { 1 } + a _ { 11 } = a _ { 2 } + a _ { 10 } = 10$ , 所以 $S _ { 11 } = \frac { 11 } { 2 } \left( a _ { 1 } + a _ { 11 } \right) = 55$ .

Question 11: 已知等差数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 满足 $a _ { 6 } + a _ { 7 } + a _ { 8 } = 9$ ,则 $a _ { 7 }$ 等于（ ）

已知等差数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 满足 $a _ { 6 } + a _ { 7 } + a _ { 8 } = 9$ ,则 $a _ { 7 }$ 等于（ ）

  • A. A. 9
  • B. B. 6
  • C. C. 3
  • D. D. 2

Answer: C

Solution: 【知识点】等差中项的应用,利用等差数列的性质计算 【分析】利用等差中项即可求解. 【详解】由等差数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 可知：$a _ { 6 } + a _ { 7 } + a _ { 8 } = 9 \Rightarrow 3 a _ { 7 } = 9 \Rightarrow a _ { 7 } = 3$ ,

Question 12: 数列 $\frac { 1 } { 2 } , \frac { 2 } { 5 } , \frac { 3 } { 10 } , \frac { 4 } { 17 } , \cdots$ 的通项公式为...

数列 $\frac { 1 } { 2 } , \frac { 2 } { 5 } , \frac { 3 } { 10 } , \frac { 4 } { 17 } , \cdots$ 的通项公式为 $a _ { n } = ( )$

  • A. A. $\frac { n } { n + 1 }$
  • B. B. $\frac { n } { n ^ { 2 } + 1 }$
  • C. C. $\frac { n + 1 } { n ^ { 2 } + 1 }$
  • D. D. $\frac { n } { n ^ { 2 } + 2 }$

Answer: B

Solution: 【知识点】观察法求数列通项 【分析】根据给定数列前 4 项,利用观察法求出通项公式. 【详解】依题意,$\frac { 1 } { 2 } = \frac { 1 } { 1 ^ { 2 } + 1 } , \frac { 2 } { 5 } = \frac { 2 } { 2 ^ { 2 } + 1 } , \frac { 3 } { 10 } = \frac { 3 } { 3 ^ { 2 } + 1 } , \frac { 4 } { 17 } = \frac { 4 } { 4 ^ { 2 } + 1 } , \cdots$ 由此得 $a _ { n } = \frac { n } { n ^ { 2 } + 1 }$ .

Question 13: 已知等差数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的第二项和第三项分别为 3,1 ,则第 5 项的值为（）

已知等差数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的第二项和第三项分别为 3,1 ,则第 5 项的值为（）

  • A. A. - 3
  • B. B. - 2
  • C. C. 2
  • D. D. - 6

Answer: A

Solution: 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算,利用等差数列通项公式求数列中的项 【分析】设公差为 $d$ ,根据条件,可求得 $d$ 值,代入所求,即可得答案. 【详解】由题意 $a _ { 2 } = 3 , a _ { 3 } = 1$ ,设公差为 $d$ ,所以 $d = a _ { 3 } - a _ { 2 } = - 2$ , 则 $a _ { 5 } = a _ { 3 } + 2 d = 1 + 2 \times ( - 2 ) = - 3$ .

Question 14: 已知数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 为等比数列,$a _ { 1 } a _ { 4 } a _ { 7 } = 64 , a _ { 6 } a _ { 7 } = ...

已知数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 为等比数列,$a _ { 1 } a _ { 4 } a _ { 7 } = 64 , a _ { 6 } a _ { 7 } = 8$ ,则 $a _ { 9 } =$（）

  • A. A. 1
  • B. B. 2
  • C. C. 4
  • D. D. 6

Answer: B

Solution: 【知识点】等比数列下标和性质及应用 【分析】由等比数列的性质求出 $a _ { 4 }$ ,再由 $a _ { 6 } a _ { 7 } = a _ { 4 } a _ { 9 }$ 得出 $a _ { 9 }$ 即可. 【详解】$\because a _ { 1 } a _ { 4 } a _ { 7 } = a _ { 4 } ^ { 3 } = 64 , ~ \therefore a _ { 4 } = 4$ , 又 $\because a _ { 6 } a _ { 7 } = a _ { 4 } a _ { 9 } = 4 a _ { 9 } = 8 \quad , \quad \therefore a _ { 9 } = 2$ .

Question 15: 在等差数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 中,$a _ { 3 } + a _ { 5 } = 20$ ,则 $a _ { 4 } =$（ ）

在等差数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 中,$a _ { 3 } + a _ { 5 } = 20$ ,则 $a _ { 4 } =$（ ）

  • A. A. 20
  • B. B. 15
  • C. C. 10
  • D. D. 5

Answer: C

Solution: 【知识点】利用等差数列的性质计算 【分析】利用等差数列下标和的性质即可求解. 【详解】由等差数列的性质可知,$a _ { 3 } + a _ { 5 } = 2 a _ { 4 } = 20$ ,解得 $a _ { 4 } = 10$ .

Question 16: 已知数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 为等差数列, $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S _ { n } , a _ { ...

已知数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 为等差数列, $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S _ { n } , a _ { 1 } + a _ { 4 } + a _ { 7 } = 1 , S _ { 5 } = 5$ ,则 $a _ { 5 } =$

  • A. A.
  • B. B. $- \frac { 1 } { 3 }$
  • C. C. $\frac { 1 } { 2 }$
  • D. D. 3

Answer: B

Solution: 【知识点】等差数列前 $n$ 项和的基本量计算,等差数列通项公式的基本量计算 【分析】根据等差数列的项与和的基本量运算列式,求出数列的首项和公差,即可求得. 【详解】设等差数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的公差为 $d$ , 则 $a _ { 1 } + a _ { 4 } + a _ { 7 } = 3 a _ { 1 } + 9 d = 1$ ,即 $a _ { 1 } + 3 d = \frac { 1 } { 3 }$ , 又 又 $^ { S _ { 5 } } = 5 a _ { 1 } + 10 d = 5$ ,即 $a _ { 1 } + 2 d = 1$ , 则由 $\left\{ \begin{array} { l } a _ { 1 } + 3 d = \frac { 1 } { 3 } \text { 解得 } \left\{ \begin{array} { l } a _ { 1 } = \frac { 7 } { 3 } \\ a _ { 1 } + 2 d = 1 \end{array} \right\} \\ d = - \frac { 2 } { 3 } \end{array} \right.$ , 则 $a _ { 5 } = \frac { 7 } { 3 } + 4 \times \left( - \frac { 2 } { 3 } \right) = - \frac { 1 } { 3 }$ .

Question 17: 已知等差数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S _ { n } , a _ { 3 } = 1 , a _ { 2 } + a _ { 8 } = ...

已知等差数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S _ { n } , a _ { 3 } = 1 , a _ { 2 } + a _ { 8 } = 6$ ,则 $a _ { 1 } =$（）

  • A. A. 0
  • B. B. - 1
  • C. C. - 2
  • D. D. - 3

Answer: B

Solution: 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算,等差中项的应用 【分析】根据等差数列的相关概念,利用等差中项以及公差的计算,可得答案. 【详解】由数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 为等差数列,则 $a _ { 2 } + a _ { 8 } = 2 a _ { 5 } = 6$ ,解得 $a _ { 5 } = 3$ , 可得公差 $d = \frac { a _ { 5 } - a _ { 3 } } { 5 - 3 } = \frac { 3 - 1 } { 2 } = 1$ ,所以 $a _ { 1 } = a _ { 3 } - 2 d = 1 - 2 \times 1 = - 1$ .

Question 18: 等差数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 中,$a _ { 3 } + a _ { 7 } = 10$ ,则 $a _ { 5 } =$（ ）

等差数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 中,$a _ { 3 } + a _ { 7 } = 10$ ,则 $a _ { 5 } =$（ ）

  • A. A. 4
  • B. B. 5
  • C. C. 6
  • D. D. 7

Answer: B

Solution: 【知识点】利用等差数列的性质计算 【分析】直接根据等差数列的性质得到答案. 【详解】由于数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 是等差数列, 所以 $a _ { 3 } + a _ { 7 } = 2 a _ { 5 } = 10$ , 故 $a _ { 5 } = 5$ .

Question 19: 已知等差数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 中,$a _ { 4 } + a _ { 7 } = 8$ ,则前 10 项和 $S _ { 10 }$ 的值为（）

已知等差数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 中,$a _ { 4 } + a _ { 7 } = 8$ ,则前 10 项和 $S _ { 10 }$ 的值为（）

  • A. A. 80
  • B. B. 40
  • C. C. 20
  • D. D. 10

Answer: B

Solution: 【知识点】求等差数列前 n 项和,利用等差数列的性质计算 【分析】利用等差数列的项的性质与求和公式计算即得. 【详解】因 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 是等差数列,则 $a _ { 4 } + a _ { 7 } = a _ { 1 } + a _ { 10 } = 8$ , 故 $S _ { 10 } = \frac { 10 \left( a _ { 1 } + a _ { 10 } \right) } { 2 } = 5 \times 8 = 40$ .

Question 20: 已知等差数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 满足 $a _ { 1 } + a _ { 5 } + a _ { 7 } + a _ { 11 } = 36$ ,则 $a _...

已知等差数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 满足 $a _ { 1 } + a _ { 5 } + a _ { 7 } + a _ { 11 } = 36$ ,则 $a _ { 6 } =$（ ）

  • A. A. 7
  • B. B. 8
  • C. C. 9
  • D. D. 10

Answer: C

Solution: 【知识点】等差中项的应用 【分析】根据等差中项的性质,分析计算,即可得答案 【详解】由等差中项的性质可得 $a _ { 1 } + a _ { 11 } = a _ { 5 } + a _ { 7 } = 2 a _ { 6 }$ ,故 $4 a _ { 6 } = 36$ ,解得 $a _ { 6 } = 9$ ,

Question 21: 正项等比数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的公比为 $q , a _ { 1 } , a _ { 2 } , a _ { 3 }$ 成等差数列,则 $q$ 值为（ ）

正项等比数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的公比为 $q , a _ { 1 } , a _ { 2 } , a _ { 3 }$ 成等差数列,则 $q$ 值为（ ）

  • A. A. $\frac { \sqrt { 5 } - 1 } { 2 }$
  • B. B. 1 或 $\frac { \sqrt { 5 } + 1 } { 2 }$
  • C. C. 1
  • D. D. 1 或 $\frac { \sqrt { 5 } - 1 } { 2 }$

Answer: C

Solution: 【知识点】等差中项的应用,等比数列通项公式的基本量计算 【分析】利用等比数列的基本量,结合等差中项的性质列方程,即可得解. 【详解】因为 $a _ { 1 } , a _ { 2 } , a _ { 3 }$ 成等差数列,故 $a _ { 1 } + a _ { 3 } = 2 a _ { 2 }$ , 即 $a _ { 1 } + a _ { 1 } q ^ { 2 } = 2 a _ { 1 } q$ , 两边消去 $a _ { 1 }$ ,得 $q ^ { 2 } - 2 q + 1 = 0$ , 得 $q = 1$ .

Question 22: 数列 $\{ 1 - 3 n \}$ 的第 6 项为（ ）

数列 $\{ 1 - 3 n \}$ 的第 6 项为（ ）

  • A. A. - 19
  • B. B. - 17
  • C. C. - 14
  • D. D. 19

Answer: B

Solution: 【知识点】判断或写出数列中的项 【分析】令项数 $n = 6$ ,即可求解. 【详解】当 $n = 6$ 时, $1 - 3 \times 6 = - 17$ , 所以数列 $\{ 1 - 3 n \}$ 的第 6 项为 - 17 .

Question 23: 等差数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的首项 $a _ { 1 } = - 1$ ,且 $\left( a _ { 3 } + a _ { 4 } \right) : \...

等差数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的首项 $a _ { 1 } = - 1$ ,且 $\left( a _ { 3 } + a _ { 4 } \right) : \left( a _ { 6 } + a _ { 7 } \right) = 2 : 5$ ,则 $a _ { 2025 } =$（）.

  • A. A. 4044
  • B. B. 4045
  • C. C. 4046
  • D. D. 4047

Answer: D

Solution: 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算 【分析】根据等差数列通项公式列方程可求得公差,进而可得解. 【详解】因为 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 是等差数列,设其公差为 $d$ , 所以 $\left( a _ { 3 } + a _ { 4 } \right) : \left( a _ { 6 } + a _ { 7 } \right) = \frac { a _ { 1 } + 2 d + a _ { 1 } + 3 d } { a _ { 1 } + 5 d + a _ { 1 } + 6 d } = \frac { 2 } { 5 }$ , 又 $a _ { 1 } = - 1$ ,所以 $\frac { - 2 + 5 d } { - 2 + 11 d } = \frac { 2 } { 5 }$ ,解得 $d = 2$ , 所以 $a _ { 2025 } = a _ { 1 } + 2024 d = - 1 + 4048 = 4047$ ,

Question 24: 等比数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 满足 $a _ { 1013 } = 3$ ,则 $a _ { 1 } a _ { 2025 } =$（ ）

等比数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 满足 $a _ { 1013 } = 3$ ,则 $a _ { 1 } a _ { 2025 } =$（ ）

  • A. A. $\sqrt { 3 }$
  • B. B. 3
  • C. C. 6
  • D. D. 9

Answer: D

Solution: 【知识点】等比数列下标和性质及应用 【分析】根据给定条件,利用等比数列性质求解即得. 【详解】在等比数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 中,由 $a _ { 1013 } = 3$ ,得 $a _ { 1 } a _ { 2025 } = a _ { 1013 } ^ { 2 } = 9$ .

Question 25: 已知等比数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的公比 $q = 2 , a _ { 4 } = - 8$ ,则首项 $a _ { 1 } = ( )$

已知等比数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的公比 $q = 2 , a _ { 4 } = - 8$ ,则首项 $a _ { 1 } = ( )$

  • A. A. - 2
  • B. B. - 1
  • C. C. 1
  • D. D. 2

Answer: B

Solution: 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算 【分析】由等比数列通项公式求解即可. 【详解】由题意知首项 $a _ { 1 } = \frac { a _ { 4 } } { q ^ { 3 } } = - 1$ .

Question 26: 在等差数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 中,$a _ { 1 } = - 1 , a _ { 6 } = 9$ ,则公差 $d =$（ ）

在等差数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 中,$a _ { 1 } = - 1 , a _ { 6 } = 9$ ,则公差 $d =$（ ）

  • A. A. - 2
  • B. B. - 1
  • C. C. 1
  • D. D. 2

Answer: D

Solution: 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算 【分析】利用等差数列的性质即可求解. 【详解】由题知公差 $d = \frac { a _ { 6 } - a _ { 1 } } { 6 - 1 } = 2$ .

Question 27: 已知等差数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的公差为 2 ,前 $n$ 项和为 $S _ { n }$ ,若 $a _ { 1 } , a _ { 3 } , a _ { ...

已知等差数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的公差为 2 ,前 $n$ 项和为 $S _ { n }$ ,若 $a _ { 1 } , a _ { 3 } , a _ { 4 }$ 成等比数列,则 $S _ { 10 } =$（）

  • A. A. 10
  • B. B. 8
  • C. C. 0
  • D. D. - 6

Answer: A

Solution: 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算,等比中项的应用 【分析】利用等比中项的定义,结合等差数列的通项公式可得 $\left( a _ { 1 } + 4 \right) ^ { 2 } = a _ { 1 } \left( a _ { 1 } + 6 \right)$ ,计算 可求得 $a _ { 1 }$ ,进而利用等差数列的前 $n$ 项和公式即可求解. 【详解】因为 $a _ { 1 } , a _ { 3 } , a _ { 4 }$ 成等比数列,所以 $a _ { 3 } ^ { 2 } = a _ { 1 } a _ { 4 }$ , 又因为数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 是公差为 2 的等差数列,所以 $\left( a _ { 1 } + 4 \right) ^ { 2 } = a _ { 1 } \left( a _ { 1 } + 6 \right)$ ,解得 $a _ { 1 } = - 8$ . 所以 $S _ { 10 } = - 8 \times 10 + \frac { 10 \times 9 } { 2 } \times 2 = 10$ .

Question 28: 数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的前 $n$ 项和 $S _ { n } = 3 n ^ { 2 } + n$ ,则 $a _ { 9 } =$（ ）

数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的前 $n$ 项和 $S _ { n } = 3 n ^ { 2 } + n$ ,则 $a _ { 9 } =$（ ）

  • A. A. 140
  • B. B. 120
  • C. C. 40
  • D. D. 52

Answer: D

Solution: 【知识点】利用 an 与 sn 关系求通项或项 【分析】利用 ${ } ^ { S _ { n } }$ 与 ${ } ^ { a _ { n } }$ 的关系即可求解. 【详解】由 $S _ { n } = 3 n ^ { 2 } + n$ ,得 $a _ { 9 } = S _ { 9 } - S _ { 8 } = 3 \times 9 ^ { 2 } + 9 - \left( 3 \times 8 ^ { 2 } + 8 \right) = 52$ .

Question 29: 已知等比数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 中,$a _ { 1 } = 2 , a _ { 3 } = 8$ ,则 $a _ { 4 } =$（ ）

已知等比数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 中,$a _ { 1 } = 2 , a _ { 3 } = 8$ ,则 $a _ { 4 } =$（ ）

  • A. A. 16
  • B. B. 16 或－ 16
  • C. C. 32
  • D. D. 32 或－ 32

Answer: B

Solution: 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算 【分析】求出公比后可求 ${ } ^ { a _ { 4 } }$ 的值. 【详解】设等比数列的公比为 $q$ ,则 $q ^ { 2 } = \frac { a _ { 3 } } { a _ { 1 } } = 4$ ,故 $q = \pm 2$ , 故 $a _ { 4 } = a _ { 3 } q = \pm 16$ ,

Question 30: 已知等比数列 $\left\{ a _ { n } \right\} , a _ { 2 } = 2 , a _ { 4 } = 8$ ,则 $a _ { 6 } =$

已知等比数列 $\left\{ a _ { n } \right\} , a _ { 2 } = 2 , a _ { 4 } = 8$ ,则 $a _ { 6 } =$

  • A. A. 14
  • B. B. 32
  • C. C. 16
  • D. D. 54

Answer: B

Solution: 【知识点】等比数列下标和性质及应用 【分析】由等比数列的下标和性质即可得出答案. 【详解】由题意可知 $a _ { 2 } a _ { 6 } = a _ { 4 } ^ { 2 } \Rightarrow a _ { 6 } = \frac { a _ { 4 } ^ { 2 } } { a _ { 2 } } = \frac { 64 } { 2 } = 32$ .

Question 31: 记 $S _ { n }$ 为等差数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的前 $n$ 项和.若 $2 a _ { 7 } - a _ { 9 } = 4$ ,则 $S _ {...

记 $S _ { n }$ 为等差数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的前 $n$ 项和.若 $2 a _ { 7 } - a _ { 9 } = 4$ ,则 $S _ { 9 } =$

  • A. A. 12
  • B. B. 24
  • C. C. 36
  • D. D. 48

Answer: C

Solution: 【知识点】求等差数列前 n 项和,利用等差数列的性质计算 【分析】利用等差数列的性质及前 $n$ 项和公式即可求解. 【详解】$$ \because 2 a _ { 7 } - a _ { 9 } = 4 , \therefore a _ { 5 } + a _ { 9 } - a _ { 9 } = 4 , \therefore a _ { 5 } = 4 \text {, } $$ $\therefore S _ { 9 } = \frac { 9 \left( a _ { 1 } + a _ { 9 } \right) } { 2 } = \frac { 9 \times 2 a _ { 5 } } { 2 } = 9 a _ { 5 } = 9 \times 4 = 36$ .

Question 32: 在等差数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 中,$a _ { 2 } = 3 , a _ { 4 } = 13$ .则公差 $d =$

在等差数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 中,$a _ { 2 } = 3 , a _ { 4 } = 13$ .则公差 $d =$

  • A. A. - 10
  • B. B. - 5
  • C. C. 10
  • D. D. 5

Answer: D

Solution: 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算 【分析】由等差数列的通项公式求解即可. 【详解】公差 $d = \frac { a _ { 4 } - a _ { 2 } } { 4 - 2 } = 5$ .

Question 33: 已知数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 为等差数列,若 $a _ { 1 } + a _ { 2025 } = 2026$ ,则 $a _ { 1013 } =$

已知数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 为等差数列,若 $a _ { 1 } + a _ { 2025 } = 2026$ ,则 $a _ { 1013 } =$

  • A. A. 2026
  • B. B. 2025
  • C. C. 1013
  • D. D.

Answer: C

Solution: 【知识点】利用等差数列的性质计算 【分析】根据给定条件,利用等差数列性质求解. 【详解】数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 为等差数列,所以 $a _ { 1013 } = \frac { a _ { 1 } + a _ { 2025 } } { 2 } = 1013$ .

Question 34: 5 35.等差数列 $- 5 , - 9 , - 13 , \cdots$ 的第 100 项是

5 35.等差数列 $- 5 , - 9 , - 13 , \cdots$ 的第 100 项是

  • A. A. - 393
  • B. B. - 397
  • C. C. - 401
  • D. D. - 405

Answer:

Solution: 5 35.等差数列 $- 5 , - 9 , - 13 , \cdots$ 的第 100 项是

Question 35: 已知 $S _ { n }$ 是等比数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的前 $n$ 项和,若 $a _ { 2 } = 2 , a _ { 9 } = 8 a _ { 6...

已知 $S _ { n }$ 是等比数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的前 $n$ 项和,若 $a _ { 2 } = 2 , a _ { 9 } = 8 a _ { 6 }$ ,则 $S _ { 10 } =$

  • A. A. 1022
  • B. B. 1023
  • C. C. 1024
  • D. D. 1025

Answer: B

Solution: 【知识点】求等比数列前 n 项和 【分析】设等比数列的公比为 $q ( q \neq 0 )$ ,根据等比数列的通项公式得到方程组,解得首项和公比,代入等比数列的前 n 项和公式可求； 【详解】设等比数列的公比为 $q ( q \neq 0 )$ ,由题意可得 $\left\{ \begin{array} { l } a _ { 1 } q = 2 \\ a _ { 1 } q ^ { 8 } = 8 a _ { 1 } q ^ { 5 } \end{array} \right.$ 解得 $\left\{ \begin{array} { l } a _ { 1 } = 1 \\ q = 2 \end{array} \right.$ , 则 $S _ { 10 } = \frac { a _ { 1 } \left( 1 - q ^ { 10 } \right) } { 1 - q } = \frac { 1 \times \left( 1 - 2 ^ { 10 } \right) } { 1 - 2 } = 2 ^ { 10 } - 1 = 1023$

Question 36: 数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的前 $n$ 项和 $S _ { n } = 3 n ^ { 2 } + n$ ,则 $a _ { 7 } =$

数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的前 $n$ 项和 $S _ { n } = 3 n ^ { 2 } + n$ ,则 $a _ { 7 } =$

  • A. A. 140
  • B. B. 120
  • C. C. 40
  • D. D. 50

Answer: C

Solution: 【知识点】利用 an 与 sn 关系求通项或项 【分析】根据 $S _ { n } , a _ { n }$ 的关系即可求解. 【详解】由 $S _ { n } = 3 n ^ { 2 } + n$ 可得 $a _ { 7 } = S _ { 7 } - S _ { 6 } = 3 \times 7 ^ { 2 } + 7 - \left( 3 \times 6 ^ { 2 } + 6 \right) = 40$ ,

Question 37: 已知等差数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 中,$a _ { 2 } = 4 , a _ { 5 } = 12$ ,则 $S _ { 6 }$ 等于

已知等差数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 中,$a _ { 2 } = 4 , a _ { 5 } = 12$ ,则 $S _ { 6 }$ 等于

  • A. A. 48
  • B. B. 49
  • C. C. 55
  • D. D. 54

Answer: A

Solution: 【知识点】利用等差数列的性质计算,等差数列前 $n$ 项和的基本量计算 【分析】利用等差数列的性质求和. 【详解】等差数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 中,$a _ { 2 } = 4 , a _ { 5 } = 12$ , 所以 $S _ { 6 } = \frac { 6 \left( a _ { 1 } + a _ { 6 } \right) } { 2 } = 3 \left( a _ { 2 } + a _ { 5 } \right) = 48$ .

Question 38: 数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 满足 $a _ { n + 1 } = a _ { n } - 2$ ,且 $a _ { 1 } = 8$ ,则 $a _ { 3 }$...

数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 满足 $a _ { n + 1 } = a _ { n } - 2$ ,且 $a _ { 1 } = 8$ ,则 $a _ { 3 }$ 的值是

  • A. A. 2
  • B. B. 3
  • C. C. 4
  • D. D. 5

Answer: C

Solution: 【知识点】利用定义求等差数列通项公式 【分析】由等差数列定义得 $a _ { n } = - 2 n + 10$ ,代入 ${ } ^ { n = 3 }$ 计算即可. 【详解】因为 $a _ { n + 1 } = a _ { n } - 2$ ,所以 $a _ { n + 1 } - a _ { n } = - 2$ , 而 $a _ { 1 } = 8$ ,从而数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 是首项为 8 ,公差为 - 2 的等差数列, 所以 $a _ { n } = a _ { 1 } + ( n - 1 ) d = 8 - 2 ( n - 1 ) = - 2 n + 10$ , 所以 $a _ { 3 } = - 2 \times 3 + 10 = 4$ .

Question 39: 若数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的前 4 项依次为 $20,11,2 , - 7$ ,则数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的一个通项公式...

若数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的前 4 项依次为 $20,11,2 , - 7$ ,则数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的一个通项公式为

  • A. A. $a _ { n } = ( - 1 ) ^ { n + 1 } \times 2 n$
  • B. B. $a _ { n } = - 9 n + 29$
  • C. C. $a _ { n } = 9 n + 11$
  • D. D. $a _ { n } = 9 n - 18$ 参考

Answer: B

Solution: 【知识点】利用定义求等差数列通项公式,观察法求数列通项 【分析】观察前 4 项规律,写出通项公式,可判断 B,对A,C,D 举反例说明. 【详解】对于 B,从前四项看,这是一个以 20 为首项,以 - 9 为公差的等差数列, 由等差数列的通项公式有 $a _ { n } = - 9 n + 29$ ,故 B 正确； 对于 A ,当 ${ } ^ { n = 1 }$ 时,$a _ { 1 } = 2$ ,这与条件不符,故 A 错误； 对于 C ,当 ${ } ^ { n = 2 }$ 时,$a _ { 2 } = 29$ ,这与条件不符,故 C 错误； 对于 D ,当 ${ } ^ { n = 1 }$ 时,$a _ { 1 } = - 9$ ,这与条件不符,故 D 错误.
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